Binomische Formeln Rechner: Alle 3 Formeln mit Rechenweg

Die drei binomischen Formeln sind algebraische Identitäten für das Ausmultiplizieren und Faktorisieren quadratischer Ausdrücke mit zwei Variablen a und b.

Die erste lautet (a+b)² = a²+2ab+b² (Quadrat einer Summe), die zweite (a−b)² = a²−2ab+b² (Quadrat einer Differenz) und die dritte (a+b)(a−b) = a²−b² (Differenz zweier Quadrate).

Nur die dritte Formel hat keinen mittleren Term, weil sich +ab und −ab beim Ausmultiplizieren gegenseitig aufheben.

Für a = 3 und b = 2 liefert die erste Formel 25, die zweite 1 und die dritte 5 – nachprüfbar durch direktes Ausmultiplizieren von (3+2)·(3+2), (3−2)·(3−2) und (3+2)·(3−2).

Die Formeln gelten uneingeschränkt für alle reellen Zahlen, auch für negative und gebrochene Werte.

Nutze sie, um quadratische Ausdrücke ohne vollständiges Ausmultiplizieren zu vereinfachen, Terme zu faktorisieren und Nullstellen quadratischer Gleichungen direkt abzulesen.

Der Binomische-Formeln-Rechner berechnet alle drei Formeln gleichzeitig für beliebige Werte und zeigt jeden Zwischenschritt einzeln an.

Die erste binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² ergibt sich durch Ausmultiplizieren von (a+b)·(a+b): a·a + a·b + b·a + b·b = a²+ab+ba+b². Weil Multiplikation kommutativ ist, fasst man die mittleren Terme zu 2ab zusammen.

Geometrisch entspricht das einem Quadrat mit Seitenlänge (a+b), das sich in ein a×a-Quadrat, zwei Rechtecke der Fläche a·b und ein b×b-Quadrat zerlegen lässt – zusammen a²+2ab+b².

Für a = 5 und b = 3 bestätigt das die Rechnung: (5+3)² = 64 = 25+30+9, wobei 2ab = 2·5·3 = 30 den mittleren Term stellt. Achte darauf, diesen mittleren Term nicht zu vergessen, denn a²+b² allein ergibt nur 34 und damit ein falsches Ergebnis.

Dieselbe Herleitung überträgt sich auf die zweite Formel (a−b)² = a²−2ab+b², nur wechselt der mittlere Term dort das Vorzeichen, weil beim Ausmultiplizieren von (a−b)·(a−b) zwei negative Kreuzterme entstehen.

Die zweite binomische Formel lautet (a−b)² = a²−2ab+b² und beschreibt das Quadrat einer Differenz.

Im Unterschied zur ersten Formel ist hier der mittlere Term negativ, weil beim Ausmultiplizieren von (a−b)·(a−b) zwei negative Kreuzterme −ab entstehen, die sich zu −2ab summieren.

Für a = 12 und b = 5 ergibt sich (12−5)² = 49, und die ausmultiplizierte Kontrolle bestätigt 144−120+25 = 49.

Gebraucht wird die Formel vor allem bei der quadratischen Ergänzung, mit der sich quadratische Gleichungen ohne Mitternachtsformel lösen lassen, sowie beim schnellen Quadrieren runder Zahlen minus einem kleinen Rest, etwa 19² = (20−1)² = 400−40+1 = 361.

Achte auf das Vorzeichen: (a−b)² ist wegen des Quadrats immer größer oder gleich null, auch wenn a kleiner als b ist, denn dann wird lediglich b−a quadriert.

Der Rechner zeigt für jede Eingabe automatisch alle drei Formeln parallel an, sodass sich die zweite Formel direkt mit der ersten vergleichen lässt.

Rückwärts angewendet lautet die dritte binomische Formel a²−b² = (a+b)(a−b) und zerlegt eine Differenz zweier Quadrate in zwei Faktoren.

Erkennst du einen Ausdruck der Form „Quadrat minus Quadrat“, identifizierst du a und b und schreibst sofort das Produkt: x²−9 = x²−3² = (x+3)(x−3). Bei 4x²−25 setzt man a = 2x und b = 5, also (2x)²−5² = (2x+5)(2x−5).

Diese Faktorisierung liefert Nullstellen direkt, ohne die Mitternachtsformel zu bemühen: Aus (x+3)(x−3) = 0 folgt x = 3 oder x = −3. Auch beim Kürzen von Brüchen hilft die Rückwärtsrichtung, etwa (x²−4)/(x−2) = (x+2)(x−2)/(x−2) = x+2.

Wichtig ist die Grenze: Nur eine echte Differenz zweier Quadrate lässt sich so zerlegen, eine Summe wie a²+b² faktorisiert über den reellen Zahlen nicht auf diese Weise.

Numerisch bestätigt der Rechner das Prinzip für a = 9 und b = 4 mit (9+4)(9−4) = 65 = 81−16.

Der mit Abstand häufigste Fehler ist das Weglassen des mittleren Terms 2ab: Viele schreiben (a+b)² = a²+b² statt a²+2ab+b², weil sie fälschlich term-weise statt das Produkt (a+b)·(a+b) quadrieren.

Ein zweiter Fehler betrifft das Vorzeichen bei der zweiten Formel: (a−b)² = a²−2ab+b², nicht a²+2ab+b².

Bei der dritten Formel wird manchmal das Vorzeichen vertauscht, obwohl (a+b)(a−b) = a²−b² korrekt ist, weil sich die gemischten Terme +ab und −ab gegenseitig aufheben.

Zur Kontrolle hilft ein numerischer Test: Für a = 4 und b = 2 ergibt (4+2)² = 36, während die fehlerhafte Kurzformel a²+b² nur 20 liefert – ein Unterschied von 16, der den fehlenden Term 2ab exakt widerspiegelt.

Ein weiterer, häufig unsichtbarer Fehler betrifft Koeffizienten: In (2x+3)² ist der erste Term (2x)² = 4x² und nicht 2x², weil der Vorfaktor mitquadriert wird.

Prüfe jedes Ergebnis deshalb immer durch vollständiges Ausmultiplizieren aller vier Produktterme a·a, a·b, b·a und b·b.

Die binomischen Formeln gelten uneingeschränkt für alle reellen Zahlen a und b – positive und negative Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und null eingeschlossen.

Bei negativen Werten ist das Vorzeichen entscheidend: Für a = 3 und b = −2 ergibt sich (a+b)² = 1² = 1, und die Formel bestätigt das mit 9+2·3·(−2)+4 = 9−12+4 = 1.

Für dieselben Werte liefert die zweite Formel (a−b)² = 5² = 25, denn 9−2·3·(−2)+4 = 9+12+4 = 25 – das Minuszeichen vor 2ab wird bei negativem b zum Plus. Auch Wurzeln funktionieren: (√2+√3)² = 2+2√6+3 = 5+2√6.

Die Formeln gelten außerdem für Polynome als a oder b, etwa (x²+1)² = x⁴+2x²+1 mit a = x² und b = 1.

Nur die numerische Eingabe im Rechner ist auf Dezimalzahlen begrenzt; Brüche müssen deshalb als Dezimalwert wie 0,5 statt als Bruchstrich eingegeben werden, sonst wird nur der führende Zahlteil ausgewertet.

Binomische Formeln und quadratische Gleichungen sind eng verknüpft: Die zweite binomische Formel (a−b)² = a²−2ab+b² entspricht dem Muster der quadratischen Ergänzung, mit der sich die Mitternachtsformel herleiten und manche Gleichungen ohne sie lösen lassen.

Erkennt man x²−6x+9 als vollständiges Quadrat (x−3)² = 0, folgt sofort die doppelte Nullstelle x = 3, ohne die Diskriminante zu berechnen.

Bei x²−9 = 0 liefert die dritte binomische Formel rückwärts die Faktorisierung (x+3)(x−3) = 0 und damit x = 3 oder x = −3.

Diese direkten Faktorisierungen sind schneller als die Mitternachtsformel, setzen aber voraus, dass das Formelmuster sicher erkannt wird – liegt kein vollständiges Quadrat oder keine reine Quadratdifferenz vor, führt kein Weg an der allgemeinen Lösungsformel vorbei.

Für die Normalform x²+px+q = 0 gilt: Ist (p/2)² = q, liegt ein vollständiges Quadrat (x+p/2)² vor. Der Quadratische-Gleichung-Rechner löst alle Fälle automatisch, auch wenn kein binomisches Muster erkennbar ist.

Ja, die binomischen Formeln gelten auch für Terme mit Vorfaktoren wie (2x+3)² oder (5a−2b)², wenn man den gesamten Teilausdruck als a oder b interpretiert. Für (2x+3)² setzt man a = 2x und b = 3: (2x+3)² = (2x)²+2·(2x)·3+3² = 4x²+12x+9.

Für (5a−2b)² ergibt sich analog 25a²−20ab+4b². Bei der dritten Formel mit Koeffizienten liefert (3x+7)(3x−7) = (3x)²−7² = 9x²−49.

Entscheidend ist: (2x)² = 4x², nicht 2x², weil der Koeffizient mitquadriert wird – dieser Fehler tritt in der Praxis besonders häufig auf.

Bei trigonometrischen Ausdrücken funktioniert dasselbe Prinzip: (sin θ+cos θ)² = sin²θ+2·sinθ·cosθ+cos²θ = 1+sin 2θ, weil sin²θ+cos²θ = 1 gilt.

Nutze diese Technik, um Terme vor dem eigentlichen Rechnen zu vereinfachen, prüfe aber immer, welcher Teilausdruck als a beziehungsweise b eingesetzt wird, bevor du quadrierst oder multiplizierst.

Drei Erkennungsregeln entscheiden, welche binomische Formel passt. Erstens: Ein Ausdruck mit drei Termen a²+2ab+b², bei dem alle Vorzeichen positiv sind und der mittlere Term genau das Doppelte des Produkts der Wurzeln ist, gehört zur ersten Formel.

Zweitens: Bei drei Termen mit negativem mittlerem Term, also a²−2ab+b², liegt die zweite Formel vor.

Drittens: Fehlt der mittlere Term ganz und stehen nur zwei Quadrate mit Minuszeichen dazwischen, also a²−b², ist die dritte Formel anzuwenden – ebenso beim Produkt aus einer Summe und einer Differenz derselben zwei Werte.

Ein Praxisbeispiel: 49−x² erkennt man als 7²−x² und damit als (7+x)(7−x). Prüfe bei drei Termen zusätzlich, ob Wurzeln vorkommen, denn (√x+√y)² = x+2√(xy)+y folgt ebenfalls der ersten Formel.

Kontrolliere jedes Ergebnis durch Rückwärts-Ausmultiplizieren: Stimmt es mit dem Ausgangsterm überein, war die Formelwahl richtig.

Der binomische Lehrsatz ist die allgemeine Formel für (a+b)ⁿ mit beliebigem natürlichem Exponenten n und nutzt Binomialkoeffizienten der Form „n über k“, um jeden Term der Entwicklung zu bestimmen.

Die drei binomischen Formeln dieses Rechners sind der Spezialfall n = 2: (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b² und (a+b)(a−b) = a²−b².

Für n = 3 ergäbe der Lehrsatz zusätzlich einen vierten Term, etwa (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ – eine Rechnung, die dieser Rechner nicht ausführt, weil er ausschließlich Ausdrücke zweiten Grades löst.

Für höhere Potenzen und die zugehörigen Binomialkoeffizienten ist der Kombinatorik-Rechner das richtige Werkzeug. Nur bei n = 2 lassen sich alle Koeffizienten ohne Pascalsches Dreieck im Kopf ablesen: 1, 2, 1.

Wer also (a+b)⁴ oder höhere Potenzen berechnen will, braucht den allgemeinen binomischen Lehrsatz und nicht die drei binomischen Formeln.