Polynomdivision-Rechner: Online mit vollständigem Rechenweg

Eine Polynomdivision läuft in wiederholten Schritten ab: den führenden Term des Dividenden durch den führenden Term des Divisors teilen, das Ergebnis mit dem gesamten Divisor multiplizieren, das Produkt vom Dividenden subtrahieren und den nächsten Term herunterholen.

Beispiel: (x³ − 2x² − 5x + 6) ÷ (x − 3) ergibt in 3 Rechenschritten den Quotienten x² + x − 2 mit Rest 0.

Im ersten Schritt teilt man x³ durch x, erhält x², multipliziert x²·(x − 3) = x³ − 3x² und subtrahiert; die beiden folgenden Schritte laufen nach demselben Muster, bis der Grad des Rests kleiner ist als der Grad des Divisors.

Gib Dividend und Divisor im Polynomdivisions-Rechner in der Form x^3 - 2*x^2 - 5*x + 6 ein — Potenzen mit dem Dach-Zeichen, Multiplikation mit Stern. Das Werkzeug zeigt jeden Schritt einzeln an, genau wie beim handschriftlichen Rechnen.

Das Sternchen ist optional: 2x und 2*x werden gleich gelesen, ebenso x² und x^2 sowie 0,5x und 0.5x. Am Ende prüft der Rechner das Ergebnis mit der Probe Quotient · Divisor + Rest = Dividend.

Ein Rest ungleich 0 zeigt, dass der Divisor kein Teiler des Dividenden ist; es gilt dann Dividend = Divisor · Quotient + Rest. Beispiel: x² ÷ (x + 1) ergibt Quotient x − 1 und Rest 1, denn x² = (x + 1)(x − 1) + 1.

Der Grad des Rests ist dabei immer kleiner als der Grad des Divisors — bei einem linearen Divisor wie (x − a) ist der Rest folglich stets eine reine Zahl ohne x.

Ist der Rest hingegen 0, ist der Divisor ein exakter Teiler und bei linearem Divisor (x − a) zugleich ein Beleg dafür, dass a eine Nullstelle des Dividenden ist.

Prüfe das am Beispiel x³ − 1 ÷ (x − 1): Der Rechner liefert Quotient x² + x + 1 und Rest 0, also ist x = 1 Nullstelle von x³ − 1.

Bei rationalen Funktionen zeigt ein Rest ungleich 0 zusätzlich an, dass die Funktion sich der über den Quotienten bestimmten Asymptote nur annähert, sie aber nicht exakt erreicht.

Man rät oder ermittelt zunächst eine Nullstelle a, teilt das Polynom durch den Linearfaktor (x − a) und senkt so den Grad um 1 — bleibt der Rest 0, war a tatsächlich eine Nullstelle.

Beispiel: x⁴ − x³ − 7x² + x + 6 geteilt durch (x − 2) ergibt im Rechner Quotient x³ + x² − 5x − 9 mit Rest −12; da der Rest ungleich 0 ist, ist 2 hier KEINE Nullstelle, das Verfahren dient also auch als Probe.

Findet man dagegen eine echte Nullstelle, etwa x = 1 bei x³ − 1 (Quotient x² + x + 1, Rest 0), reduziert sich der Grad um 1, und die restlichen Nullstellen ergeben sich aus dem kleineren Quotienten-Polynom, bei Grad 2 über die pq-Formel.

Gib den vermuteten Kandidaten testweise als Divisor (x − a) ein; nur bei Rest 0 handelt es sich tatsächlich um eine Nullstelle.

Für die vollständige numerische Nullstellensuche eines Polynoms eignet sich der separate Nullstellen-Rechner besser als das wiederholte manuelle Testen von Kandidaten.

Ein Polynom ist eine Summe aus Potenzen einer Variablen mit reellen Zahlen als Koeffizienten, zum Beispiel x³ − 2x² − 5x + 6. Der höchste vorkommende Exponent heißt Grad des Polynoms — hier Grad 3, weil x³ die höchste Potenz ist.

Die Zahl vor jeder Potenz nennt man Koeffizient (in 2x³ ist 2 der Koeffizient von x³), die Zahl ohne Variable heißt konstantes Glied. Polynome sind die Grundlage der Polynomdivision: Ein Divisions-Term (x − a) heißt Linearfaktor, weil er Grad 1 hat.

Ist der Leitkoeffizient (Koeffizient der höchsten Potenz) gleich 1, spricht man von einem normierten Polynom.

Im Polynomdivisions-Rechner werden Polynome als algebraischer Ausdruck eingegeben, etwa x^4 - 3*x^2 + 2*x - 1 für x⁴ − 3x² + 2x − 1, mit Dach-Zeichen für Potenzen und Stern für Multiplikation.

Fehlt ein Term wie x¹, muss er nicht als 0*x eingegeben werden — er wird automatisch als fehlend erkannt.

Ein Standardbeispiel ohne Rest ist (x³ − 1) ÷ (x − 1) = x² + x + 1, weil x = 1 Nullstelle von x³ − 1 ist. Ein Beispiel mit Rest ist x² ÷ (x + 1) = x − 1, Rest 1, denn x² = (x + 1)(x − 1) + 1.

Für höhere Grade zeigt (x⁵ − 1) ÷ (x − 1) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 mit Rest 0 das allgemeine Muster (xⁿ − 1) ÷ (x − 1) = xⁿ⁻¹ + … + x + 1, das in der geometrischen Reihe wiederkehrt.

Ein Beispiel mit Asymptotenbezug ist (x² + 3x + 5) ÷ (x + 1) = x + 2, Rest 3 — der Quotient x + 2 ist zugleich die schiefe Asymptote der zugehörigen rationalen Funktion.

Diese vier Beispiele lassen sich durch Eintippen von Dividend und Divisor nachrechnen; jeder Schritt wird dabei einzeln angezeigt.

Die fünf Beispiel-Schaltflächen im Rechner enthalten weitere Aufgaben: (x³ − 2x² − 5x + 6) ÷ (x − 3), (x⁴ − 1) ÷ (x − 1), (x⁴ + 1) ÷ (x² + 1), (2x³ + x² − 5x + 2) ÷ (x + 2) und (x³ − x) ÷ (x² + x).

Polynomdivision wird in Deutschland typischerweise ab Klasse 10 eingeführt, meist im Rahmen der Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen, und bleibt bis zum Abitur relevant, etwa bei der Nullstellenbestimmung von Polynomen ab Grad 3 oder bei rationalen Funktionen in der Analysis.

In der gymnasialen Oberstufe (Klasse 11–13, je nach Bundesland) kommt das Verfahren wieder auf, wenn schiefe Asymptoten bestimmt oder Funktionen für die Integration per Partialbruchzerlegung vorbereitet werden.

An Hochschulen taucht Polynomdivision zusätzlich in der numerischen Mathematik und bei der Faktorisierung von charakteristischen Polynomen in der linearen Algebra auf.

Voraussetzung ist sicheres Rechnen mit Termen und die schriftliche Division natürlicher Zahlen, aus der sich das Verfahren als Analogie ableitet.

Der Rechner eignet sich für alle diese Stufen: Er zeigt den vollständigen Rechenweg mit jedem Zwischenschritt, sodass sich sowohl Klasse-10-Aufgaben mit linearem Divisor als auch Abitur- oder Hochschulaufgaben mit quadratischem Divisor Schritt für Schritt nachvollziehen lassen.

Man sucht zunächst durch Einsetzen kleiner ganzzahliger Werte eine Nullstelle a der Gleichung dritten Grades, teilt dann das Polynom durch (x − a) und erhält ein quadratisches Restpolynom, das sich mit der pq-Formel lösen lässt.

Beispiel: x³ − 1 = 0 hat die offensichtliche Nullstelle x = 1; die Polynomdivision (x³ − 1) ÷ (x − 1) liefert Quotient x² + x + 1 mit Rest 0. Da x² + x + 1 eine negative Diskriminante hat, bleibt x = 1 hier die einzige reelle Lösung.

Bei einer Gleichung mit drei reellen Nullstellen liefert das quadratische Restpolynom über die pq-Formel die beiden restlichen Lösungen.

Gib die vermutete Nullstelle testweise als Divisor (x − a) ein; nur bei Rest 0 ist sie korrekt, sonst muss ein anderer Kandidat probiert werden — häufig helfen die Teiler des konstanten Glieds als erste Kandidaten.

Für die reine Nullstellensuche ganzrationaler Funktionen jeden Grades bietet sich ergänzend der separate Nullstellen-Rechner an.

Das Horner-Schema liefert bei der Division durch einen linearen Faktor (x − a) exakt denselben Quotienten und Rest wie die schriftliche Polynomdivision, nur in einer kompakten Koeffizienten-Zeile statt als ausgeschriebene Subtraktion.

Am Beispiel 2x³ + 3x² − 5 geteilt durch (x + 2), also a = −2: Horner rechnet 2 → 2·(−2)+3 = −1 → −1·(−2)+0 = 2 → 2·(−2)+(−5) = −9 und liefert damit Quotient 2x² − x + 2 mit Rest −9 — identisch zum Ergebnis der Polynomdivision im Rechner.

Der Unterschied liegt im Rechenaufwand: Horner benötigt bei Grad n nur n Multiplikationen und n Additionen ohne ausgeschriebene Zwischenterme, während die schriftliche Division mehr Schreibarbeit erfordert, dafür aber jeden Zwischenschritt sichtbar macht.

Ein wichtiger Grenzfall: Das Horner-Schema funktioniert ausschließlich bei linearen Divisoren (x − a); bei quadratischen oder höhergradigen Divisoren bleibt nur die im Rechner gezeigte schriftliche Polynomdivision.

Andere Namen für dasselbe Prinzip sind Ruffini-Schema und synthetische Division.

Der Polynomdivisions-Rechner selbst eignet sich als Übungswerkzeug: Fünf Beispielaufgaben sind über die Beispiel-Schaltflächen direkt aufrufbar, etwa (x³ − 2x² − 5x + 6) ÷ (x − 3) mit dem verifizierten Ergebnis Quotient x² + x − 2 und Rest 0.

Eigene Übungsaufgaben lassen sich eintippen und die Lösung sofort mit vollständigem Rechenweg samt aller Zwischenschritte prüfen, statt nur das Endergebnis nachzuschlagen.

Sinnvoll zum Üben sind zunächst Aufgaben mit Rest 0 und bekannter Nullstelle (etwa xⁿ − 1 geteilt durch x − 1), danach Aufgaben mit echtem Rest wie x² ÷ (x + 1) (Rest 1) und schließlich quadratische Divisoren wie x³ − x ÷ (x² + x).

Wer den Rechenweg zusätzlich per Hand nachvollziehen will, sollte nach jedem Schritt die Probe machen: Divisor mal Quotient plus Rest muss wieder den Dividenden ergeben.

Für strukturierte Aufgabenblätter mit Lösungswegen bieten sich ergänzend Lehrbücher der Klasse 10 oder Oberstufen-Sammlungen an, die der Rechner zum schnellen Selbsttest der eigenen Lösung ergänzt.

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion, deren Zählergrad größer als der Nennergrad ist, liefert die Polynomdivision den ganzrationalen Anteil, dessen Graph die schiefe Asymptote der Funktion ist.

Beispiel: Für f(x) = (x² + 3x + 5)/(x + 1) ergibt die Division Quotient x + 2 und Rest 3, also f(x) = x + 2 + 3/(x + 1) — die Gerade y = x + 2 ist die schiefe Asymptote, weil der Restterm 3/(x + 1) für x → ±∞ gegen 0 strebt.

Ist der Zählergrad dagegen kleiner als der Nennergrad, entfällt dieser Schritt, und die Funktion hat stattdessen eine waagrechte Asymptote bei y = 0.

Bei der Integration gebrochen-rationaler Funktionen ist die Polynomdivision zudem die Voraussetzung für die Partialbruchzerlegung: Erst nach Abspalten des ganzen Anteils lässt sich der verbleibende echte Bruch in einfache Partialbrüche zerlegen.

Gib Zähler und Nenner der Funktion als Dividend und Divisor ein; der ausgegebene Quotient ist bereits die gesuchte Asymptotengleichung, sofern der Grad des Zählers genau um 1 höher ist als der des Nenners.