Dreisatzrechner: Geraden und ungeraden Dreisatz berechnen

Der Dreisatz berechnet aus drei bekannten Werten einen vierten, unbekannten Wert über ein festes Verhältnis. Beim geraden (proportionalen) Dreisatz lautet die Formel: Zielwert = Ausgangswert ÷ Ausgangsmenge × Zielmenge.

Beispiel: 42 € für 6 Meter Stoff ergeben für 9 Meter 42 ÷ 6 × 9 = 63 €. Beim ungeraden (antiproportionalen) Dreisatz bleibt stattdessen das Produkt konstant: Zielwert = Ausgangswert × Ausgangsmenge ÷ Zielmenge.

Bei 4 Malern, die eine Wand in 6 Tagen streichen, brauchen 8 Maler dafür nur noch 4 × 6 ÷ 8 = 3 Tage. Der erste Rechenschritt ist deshalb immer die Typwahl: Wächst der gesuchte Wert mit der Menge, ist der Dreisatz gerade, sinkt er, ist er ungerade.

Fehlt diese Zuordnung, liefert der Rechner zwar ein Ergebnis, aber mit vertauschter Verhältnisrichtung.

Der Dreisatzrechner übernimmt beide Formeln automatisch, sobald der passende Typ ausgewählt ist, sodass nur noch die drei Ausgangswerte eingetragen werden müssen.

Der gerade Dreisatz gilt für proportionale Zusammenhänge, bei denen der gesuchte Wert mit der Menge wächst, während der ungerade Dreisatz antiproportionale Zusammenhänge löst, bei denen er sinkt.

Kosten 5 Kilogramm Kartoffeln 6 €, kosten 8 Kilogramm beim geraden Dreisatz 6 ÷ 5 × 8 = 9,60 €: mehr Menge, mehr Kosten.

Brauchen dagegen 6 Maschinen 10 Tage für einen Auftrag, schaffen 15 Maschinen denselben Auftrag beim ungeraden Dreisatz in 10 × 6 ÷ 15 = 4 Tagen: mehr Maschinen, weniger Zeit.

Der schnellste Test vor dem Rechnen ist die Richtungsprobe: Verdoppelt sich die bekannte Menge, muss sich der gesuchte Wert bei geradem Dreisatz ebenfalls verdoppeln und bei ungeradem Dreisatz halbieren.

Wird der falsche Typ gewählt, bleibt die Formel zwar korrekt anwendbar, das Ergebnis ist aber inhaltlich falsch, weil Verhältnisrichtung und Aufgabenstellung nicht mehr zusammenpassen.

Deshalb prüft der Dreisatzrechner nicht automatisch die Plausibilität der Typwahl – das bleibt eine Eingabeprüfung, die vor dem Rechnen sinnvoll ist.

Prozentrechnung lässt sich als gerader Dreisatz lösen, indem 100 % als Ausgangsmenge und der gesuchte Prozentsatz als Zielmenge eingetragen werden. Sind 240 € der Grundwert (100 %), ergeben 35 % davon 240 ÷ 100 × 35 = 84 €.

Ebenso liefern 15 % von 80 € den Dreisatz 80 ÷ 100 × 15 = 12 €. Der Ausgangswert ist dabei immer der volle Grundwert, die Ausgangsmenge steht fest bei 100, und die Zielmenge ist der gesuchte Prozentsatz.

Dieser Weg ersetzt die separate Prozentformel vollständig und liefert bei gleichen Eingaben identische Ergebnisse wie ein reiner Prozentrechner.

Wichtig ist, dass der Grundwert korrekt als Ausgangswert erkannt und nicht mit einem bereits reduzierten Zwischenbetrag verwechselt wird, sonst verschiebt sich das gesamte Ergebnis.

Wer stattdessen einen Rabatt oder Aufschlag direkt vom Endpreis berechnen möchte, ist mit einem eigenen Prozentrechner oft schneller am Ziel, weil dort Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert eigene Felder haben.

Der Dreisatz-Trick fürs Kopfrechnen ist der Umweg über den Einheitswert: Erst wird der Wert für eine einzige Einheit ermittelt, danach auf die gesuchte Menge hochgerechnet.

Kosten 5 Brötchen 2,50 €, ergibt das im Kopf zunächst 2,50 € ÷ 5 = 0,50 € pro Brötchen, und für 10 Brötchen folgt daraus 10 × 0,50 € = 5,00 €.

Dieser Zwischenschritt auf 1 Einheit ist deutlich leichter im Kopf zu behalten als die direkte Bruchrechnung mit allen drei Werten gleichzeitig.

Besonders gut funktioniert der Trick, wenn die Ausgangsmenge glatt durch die gesuchte Zahl teilbar ist, etwa bei 5, 10 oder 100 Einheiten.

Bei krummen Verhältnissen, etwa 7 Einheiten zu einer Zielmenge von 23, wird der Kopfrechenweg schnell unpraktisch, und der Dreisatzrechner liefert das exakte Ergebnis zuverlässiger als eine grobe Schätzung.

Als Kontrolle bleibt trotzdem die Richtungsprobe sinnvoll: Mehr Menge muss bei diesem proportionalen Beispiel immer zu einem höheren Preis führen.

Die Dreisatz-Formel lässt sich nach jeder der vier Größen umstellen, wenn drei davon bekannt sind.

Für den gesuchten Zielwert x beim geraden Dreisatz gilt x = Ausgangswert ÷ Ausgangsmenge × Zielmenge; bei 42 € für 6 Meter Stoff ergibt das für 9 Meter x = 42 ÷ 6 × 9 = 63 €.

Wird stattdessen die Ausgangsmenge gesucht, wird die Formel nach dieser Variablen umgestellt: Ausgangsmenge = Ausgangswert × Zielmenge ÷ Zielwert.

Beim ungeraden Dreisatz bleibt das Produkt aus Ausgangswert und Ausgangsmenge konstant, sodass sich jede der vier Größen ebenso durch einfaches Umstellen der Gleichung a × b = c × d berechnen lässt.

Der Dreisatzrechner selbst deckt nur die Berechnung des Zielwerts x ab, nicht das Umstellen nach Ausgangswert oder Ausgangsmenge – diese Fälle lassen sich aber mit vertauschten Eingaben nachbilden, indem die gesuchte Größe versuchsweise als Zielmenge eingetragen wird.

Wer den vollständigen Rechenweg inklusive Herleitung braucht, findet ihn im Abschnitt zur Dreisatz-Formel auf dieser Seite.

Ein zusammengesetzter Dreisatz verknüpft mehrere Verhältnisse hintereinander, etwa wenn aus einer Produktionsrate erst eine Zeitdauer und daraus wiederum Kosten berechnet werden.

Der Dreisatzrechner selbst löst pro Aufruf nur einen einzelnen, klaren Dreisatz – für mehrstufige Ketten müssen die Zwischenergebnisse manuell übernommen werden.

Praktisch sieht das so aus: Produzieren Maschinen 200 Teile pro Stunde, dauert die Fertigung von 800 Teilen 1 ÷ 200 × 800 = 4 Stunden. Sollen stattdessen 1.200 Teile gefertigt werden, ergibt derselbe Dreisatz 1 ÷ 200 × 1.200 = 6 Stunden.

Jeder dieser beiden Werte lässt sich einzeln im Rechner ermitteln, indem die jeweilige Zielmenge eingetragen wird.

Wichtig ist, jedes Zwischenergebnis vor der Übernahme in den nächsten Schritt auf Plausibilität zu prüfen, denn ein Fehler im ersten Dreisatz setzt sich sonst unbemerkt durch die gesamte Kette fort.

Bei mehr als zwei verketteten Verhältnissen lohnt es sich, jeden Zwischenschritt schriftlich festzuhalten statt nur im Kopf weiterzurechnen.

Für Kinder und die Grundschule lässt sich der Dreisatz am besten über den Zwischenschritt „erst 1, dann alle“ erklären: Zuerst wird herausgefunden, wie viel eine einzelne Einheit ausmacht, danach wird auf die gewünschte Menge hochgerechnet.

Braucht ein Rezept für 4 Personen 300 Gramm Mehl, ergibt der erste Schritt 300 ÷ 4 = 75 Gramm pro Person, und für 6 Personen folgt daraus 6 × 75 = 450 Gramm.

Dieses Back- oder Kochbeispiel ist besonders anschaulich, weil Kinder das Ergebnis direkt nachvollziehen können, ohne dass Formeln mit Buchstaben nötig sind.

In der Schule wird der Dreisatz meist ab Klasse 6 oder 7 eingeführt, zunächst nur mit dem proportionalen (geraden) Fall, bevor in höheren Klassen der antiproportionale (ungerade) Fall mit umgekehrten Verhältnissen hinzukommt.

Ein Warnsignal beim Üben: Wenn ein Kind bei doppelter Menge nicht automatisch das doppelte Ergebnis vermutet, hat es das Prinzip der Proportionalität noch nicht verinnerlicht und sollte erst mit einfachen ganzzahligen Beispielen wie diesem Rezept weiterüben.

Gute Übungsaufgaben zum Dreisatz decken beide Typen mit einfachen, nachprüfbaren Zahlen ab. Aufgabe 1 (gerader Dreisatz): 5 Kilogramm Kartoffeln kosten 6 €, was kosten 8 Kilogramm? Lösung: 6 ÷ 5 × 8 = 9,60 €.

Aufgabe 2 (ungerader Dreisatz): Ein Auto braucht bei 80 km/h für eine Strecke 3 Stunden, wie lange dauert dieselbe Strecke bei 120 km/h? Lösung: 80 × 3 ÷ 120 = 2 Stunden, weil eine höhere Geschwindigkeit weniger Zeit bedeutet.

Beim Üben hilft es, nach jeder Aufgabe zuerst den Dreisatz-Typ laut zu benennen, bevor die Formel eingesetzt wird, damit Typwahl und Rechnung getrennt trainiert werden.

Aufgaben ganz ohne vorgegebenen Lösungsweg – etwa reine Textaufgaben aus dem Alltag wie Einkaufszettel oder Fahrpläne – eignen sich gut als nächster Schritt, sobald die Grundform sicher sitzt.

Wer noch unsicher ist, sollte mit geraden Aufgaben beginnen und erst danach zu ungeraden wechseln, weil die antiproportionale Richtung erfahrungsgemäß häufiger verwechselt wird.

Der Dreisatz funktioniert mit Brüchen und Dezimalzahlen genauso wie mit ganzen Zahlen, weil die Formel selbst keine ganzzahligen Werte voraussetzt.

Kosten 0,75 Kilogramm Käse 3,60 €, kosten 1,25 Kilogramm beim geraden Dreisatz 3,60 ÷ 0,75 × 1,25 = 6,00 €.

Wird mit einem echten Bruch statt einer Dezimalzahl gerechnet, etwa ¾ Kilogramm statt 0,75 Kilogramm, führt die Division durch einen Bruch zur Multiplikation mit dem Kehrbruch – das Ergebnis bleibt identisch, nur der Rechenweg unterscheidet sich.

Der Dreisatzrechner selbst verarbeitet ausschließlich Dezimalzahlen im Eingabefeld, Brüche müssen also vorher in Dezimalform umgerechnet werden, etwa ¾ zu 0,75.

Bei sehr kleinen Dezimalstellen lohnt sich eine Kontrollrechnung im Kopf, weil Rundungsfehler bei mehrstufigen Aufgaben sonst unbemerkt weitergereicht werden.

Wer häufiger mit Brüchen arbeitet, sollte die Umrechnung in Dezimalzahlen vor der Eingabe als festen ersten Schritt einplanen, um Tippfehler bei vielen Nachkommastellen zu vermeiden.