Gleichungsrechner – lineare und quadratische Formen lösen

Mathematik

Köffizienten für lineare und quadratische Gleichungen eingeben, Diskriminante prüfen und...

Quelle: Lösen linearer Gleichungen mit x = (c − b) / a sowie quadratischer Gleichungen über Diskriminante und MitternachtsformelStand: Juni 2026

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Gleichungsrechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Der Gleichungen-Rechner hilft Schülern, Studierenden und allen, die lineare oder quadratische Gleichungen nach einer Variablen sicher lösen wollen. Er ist für Hausaufgaben, Prüfungsvorbereitung und schnelle Selbstkontrolle geeignet, weil er zeigt, wie aus einer eingegebenen Gleichung durch Umformen eine oder mehrere Lösungen entstehen.

Lineare Gleichungen kommen in nahezu allen quantitativen Fachgebieten vor: In der Physik beschreibt ein linearer Zusammenhang zwischen Strecke und Zeit eine gleichmäßige Bewegung.

Im Wirtschaftsleben steckt hinter jeder Kostenrechnung mit fester Grundgebühr und variablem Anteil eine lineare Gleichung der Form mx + b = c.

Quadratische Gleichungen erscheinen überall dort, wo Flächen, Gewinne oder Flugbahnen optimiert werden müssen.

Mit der eingegebenen Gleichung macht der Rechner den vollständigen Umformungsweg transparent: Er zeigt, welche Äquivalenzumformungen zu x führen, ob die Diskriminante die Lösungsanzahl einschränkt und wie die Ergebnisse im Kontext der Aufgabe zu interpretieren sind.

Für die Selbstkontrolle nach einer Schulaufgabe ist besonders die Rückprobe hilfreich, die durch Einsetzen des Ergebnisses in die Ursprungsgleichung bestätigt, ob alle Umformungsschritte korrekt waren.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Gib die komplette Gleichung mit Variable, Rechenzeichen, Klammern und Gleichheitszeichen ein, zum Beispiel 3x + 5 = 20 oder x² - 5x + 6 = 0. Wichtig ist, dass beide Seiten vollständig erfasst werden und Vorzeichen nicht verloren gehen.

Ein typischer Fehler ist, nur den linken Term statt der ganzen Gleichung einzugeben oder Minuszeichen vor Klammern zu übersehen.

Falls die Ausgangssituation als Text formuliert ist, übersetze zunächst alle Rechenbeziehungen in algebraische Ausdrücke: Beschreibe jede Unbekannte durch eine Variable, formuliere das Gleichheitszeichen als Bedingung und stelle sicher, dass beide Seiten vollständig abgebildet sind.

Bei Textaufgaben mit Klammern und mehrgliedrigen Termen empfiehlt es sich, alle Terme zuerst schriftlich aufzulisten und dann die Koeffizienten abzulesen, bevor die Eingabe erfolgt. Das verhindert Vorzeichenfehler beim direkten Abtippen aus dem Kopf.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Äquivalenzumformung (lineares und quadratisches Schema): Bei linearen Gleichungen führt der Rechner auf beiden Seiten dieselben Äquivalenzumformungen aus, bis x isoliert ist. Bei quadratischen Formen nutzt die Berechnung Faktorisierung oder die ABC-Formel.

Beispiel: Aus 3x + 5 = 20 wird nach minus 5 zuerst 3x = 15 und danach durch geteilt 3 die Lösung x = 5. Für x² - 5x + 6 = 0 ergeben sich durch Faktorisierung die Lösungen x = 2 und x = 3.

Bei linearen Gleichungen gibt es neben dem algebraischen Umformungsweg auch das grafische Lösungsverfahren: Beide Seiten werden als Funktion von x interpretiert und der Schnittpunkt beider Geraden entspricht der Lösung.

Für quadratische Gleichungen ergänzt der Rechner optional die Scheitelform y = a(x − p)² + q mit dem Scheitelpunkt p = −b ÷ (2a) und q = c − b² ÷ (4a).

Mit diesen Angaben sind Lage des Scheitels, Öffnungsrichtung und Nullstellen vollständig beschrieben.

Nachschlagen

Gleichungstypen und Loesungsmethoden im Ueberblick

Je nach Gleichungstyp gibt es unterschiedliche Loesungsverfahren. Die wichtigsten Typen von der linearen bis zur logarithmischen Gleichung im Vergleich.

Gleichungstypen mit Loesungsmethode, Formel/Ansatz und Beispiel
Typ	Loesungsmethode	Formel / Ansatz	Beispiel	Loesung
Lineare Gleichung (1 Unbekannte)	Aequivalenzumformung	ax + b = c => x = (c - b) / a	3x + 6 = 15	x = 3
Lineares Gleichungssystem (2 Unbekannte)	Substitution, Addition, Gleichsetzung	a1x + b1y = c1 / a2x + b2y = c2	x + y = 5 und x - y = 1	x = 3, y = 2
Quadratische Gleichung	Mitternachtsformel / quadratische Ergaenzung / Vieta	x = (-b +/- Wurzel(b^2 - 4ac)) / (2a)	x^2 - 5x + 6 = 0	x1 = 2, x2 = 3
Kubische Gleichung	Numerisch / Cardano-Formel / Raten + Polynomdivision	ax^3 + bx^2 + cx + d = 0	x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0	x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
Exponentialgleichung	Logarithmieren beider Seiten	a^x = b => x = log_a(b) = ln(b) / ln(a)	2^x = 32	x = 5
Logarithmische Gleichung	Potenzieren / Logarithmengesetze anwenden	log_a(x) = b => x = a^b	log_2(x) = 4	x = 16
Betragsgleichung	Fallunterscheidung \|A\| = b => A = b oder A = -b	\|ax + b\| = c => ax + b = c oder ax + b = -c	\|x - 3\| = 2	x1 = 5, x2 = 1

Quelle: Mathematik-Lehrplan KMK Sekundarstufe I+II. Diskriminante D = b^2 - 4ac: D > 0 => 2 Loesungen, D = 0 => 1 Loesung, D < 0 => keine reelle Loesung.

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Für die praktische Einordnung bedeutet das Ergebnis: Eine lineare Gleichung liefert meist genau eine Lösung, eine quadratische kann zwei, eine oder keine reelle Lösung haben. Prüfe die ausgegebene Lösung immer per Rückprobe in der Ursprungsgleichung: Ergibt x = 5 auf beiden Seiten denselben Wert, ist die Lösung konsistent.

Gerade bei quadratischen Aufgaben ist die Diskriminante der zentrale Ergebnisbezug. Gerade bei Textaufgaben mit mehreren Bedingungen empfiehlt es sich, zunächst die unbekannte Größe klar zu benennen, bevor die Gleichung aufgestellt wird.

Für den Umformungsweg gilt: Jede Umformung, die du auf einer Seite vornimmst, musst du auf der anderen identisch wiederholen. Dieser Grundsatz der Äquivalenz ist der einzige Schlüssel zum fehlerfreien Lösen.

Die Rückprobe schließt den Kreis und macht Flüchtigkeitsfehler unmittelbar sichtbar. Praxisbeispiel: Bei einer Break-even-Analyse lassen sich Preis und Gewinn direkt als Gleichung formulieren und die Lösungsmenge beschreibt den profitablen Bereich.

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall: Ein Handwerksbetrieb berechnet seinen Auftragspreis mit einer Grundgebühr von 55 € plus 32 € pro Arbeitsstunde. Ein Kunde möchte maximal 247 € zahlen – inklusive 15 % Mehrwertsteuer. Die Gleichung: 1,15 × (55 + 32x) = 247.

Auflösen: 55 + 32x = 247 ÷ 1,15 = 214,78. Also: 32x = 159,78. Damit x = 4,99 Stunden. Das Ergebnis: Bei maximal 247 € Gesamtbudget kann der Betrieb genau 4 volle Arbeitsstunden abrechnen, ein Rest von rund 58 Minuten ist nicht mehr finanziert.

Die Rückprobe: 1,15 × (55 + 32 × 4,99) ≈ 246,9 € bestätigt das Ergebnis. Als zweites Beispiel: Eine Hausverwaltung berechnet die monatliche Nebenkosten-Vorauszahlung mit 80 € Grundpauschale plus 0,12 € pro Quadratmeter.

Eine Wohnung mit 72 m² zahlt 80 + 0,12 × 72 = 88,64 € monatlich. Ergibt die Jahresabrechnung 1.102 €, war die Vorauszahlung von 12 × 88,64 = 1.063,68 € um 38,32 € zu niedrig.

Die Gleichung 12 × (80 + 0,12x) = 1.102 zeigt, dass x = 76,5 m² für eine exakt ausgeglichene Vorauszahlung notwendig wäre.

Vertiefung

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Häufig werden beim Umformen der Gleichung Terme mit falschem Vorzeichen auf die andere Seite gebracht, sodass der ganze Lösungsweg kippt. Ebenso werden Klammern zu früh aufgelöst oder unvollständig ausmultipliziert, zum Beispiel bei Minus vor einer Klammer.

Ein dritter typischer Fehler ist, x² wie 2x zu behandeln und dadurch lineare und quadratische Fälle zu vermischen. Zusätzlich wird bei quadratischen Gleichungen oft nur eine gefundene Lösung notiert, obwohl zwei reelle Lösungen möglich sein können.

Die Rückprobe in die ursprüngliche Gleichung wird dann ebenfalls ausgelassen.

Ein weiterer verbreiteter Fehler tritt beim Auflösen von Klammern mit negativem Vorzeichen auf: Viele subtrahieren den ersten Term korrekt, vergessen aber den zweiten und dritten Term ebenfalls zu negieren.

Darüber hinaus wird bei quadratischen Gleichungen, die nicht in Standardform gegeben sind, das Umformen zur Normalform oft übersprungen, sodass die Koeffizienten a, b und c falsch abgelesen werden.

Ohne sorgfältige Vorarbeit entstehen scheinbar plausible, aber mathematisch falsche Ergebnisse.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Gleichungs-Rechner löst lineare und quadratische Gleichungen schrittweise und gibt alle Lösungen aus.

Prüfe die Lösung durch Rückeinsetzen in die Ursprungsgleichung und unterscheide bei quadratischen Fällen klar, welcher der beiden x-Werte im Anwendungskontext sinnvoll ist.

Als Ergänzung zur Schulaufgabe empfiehlt sich außerdem der Blick auf den Lösungstyp: Bei einem unendlichen Lösungsraum fehlt eine eindeutige Bedingung, bei keiner Lösung widersprechen sich die Bedingungen.

Diese Fallunterscheidung gehört genauso zur sauberen Lösung wie das Ergebnis selbst.

Für Prüfungen gilt: Notiere Äquivalenzumformungen vollständig und benenne den Lösungsweg explizit, weil ein richtiges Ergebnis ohne nachvollziehbaren Rechenweg oft keine volle Punktzahl bringt.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · x = 5

Lineare Gleichung 3x + 5 = 20

Gleichung: 3x + 5 = 20
Variable: x

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Gleichungsrechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Muss ich die Gleichung vor der Eingabe schon in eine besondere Form bringen?

Nein, Sie können eine vollständige Gleichung mit beiden Seiten eingeben, solange das Gleichheitszeichen, die Variable und alle Klammern enthalten sind.

Der Gleichungsrechner erkennt beispielsweise 3x + 5 = 20 ebenso wie 2x² + 6x = 8 und stellt die Terme selbst in die passende Form um.

Sinnvoll ist trotzdem eine kurze Vorprüfung: Fehlen Terme, werden ihre Koeffizienten als 0 interpretiert, und Vorzeichen vor Klammern sollten Sie vor dem Absenden noch einmal kontrollieren.

Gerade bei linearen und quadratischen Gleichungen ist das Distributivgesetz bei negativem Vorzeichen eine typische Fehlerquelle, etwa wenn aus minus Klammer (x − 4) versehentlich x − 4 statt minus x plus 4 wird.

Der Rechner hilft, solche Eingabefehler systematisch zu vermeiden, ersetzt aber nicht die kurze Sichtkontrolle Ihrer abgetippten Aufgabe.

Wann ist dieser Rechner besser als der Spezialrechner für quadratische Gleichungen?

Nutzen Sie diesen allgemeinen Gleichungsrechner, wenn Sie die Aufgabe noch als vollständige Gleichung vorliegen haben und nicht erst manuell in die Normalform ax² + bx + c = 0 umformen möchten.

Der Spezialrechner für quadratische Gleichungen ist schneller und übersichtlicher, sobald die Normalform bereits feststeht und a, b sowie c direkt ablesbar sind.

Der allgemeine Rechner ist stärker beim direkten Prüfen von linearen und quadratischen Ausdrücken in ihrer ursprünglichen, noch nicht normalisierten Schreibweise, etwa bei 2x² + 6x = 8 mit Termen auf beiden Seiten.

Wer a, b und c bereits kennt, kann über den Spezialrechner zusätzlich die Diskriminante b² − 4ac auf einen Blick sehen und so den Lösungsfall (zwei, eine oder keine reelle Lösung) schon vor der vollständigen Formelauswertung einschätzen.

Beide Werkzeuge ergänzen sich also je nach Ausgangsform.

Warum kann dieselbe Gleichung zwei, eine oder gar keine reelle Lösung liefern?

Bei linearen Gleichungen wie 3x + 5 = 20 ist in der Regel genau ein x-Wert möglich, weil der Graph eine Gerade mit einem einzigen Schnittpunkt mit der Nulllinie ist.

Bei quadratischen Gleichungen entscheidet die Diskriminante D = b² − 4ac darüber, ob zwei verschiedene, eine doppelte oder keine reelle Lösung existiert.

Ist D größer als 0, gibt es zwei Lösungen, bei D gleich 0 fallen beide zu einer doppelten zusammen, und bei D kleiner 0 existiert im reellen Zahlenraum keine.

Ein Ergebnis mit zwei x-Werten ist also kein Fehler, sondern der typische Normalfall quadratischer Gleichungen mit positiver Diskriminante, bei dem eine Parabel die x-Achse an zwei Stellen schneidet.

Der Rechner zeigt deshalb je nach Diskriminante automatisch die passende Anzahl an Lösungen an.

Was bedeutet es, wenn in meiner Gleichung ein x- oder x²-Term fehlt?

Dann ist der zugehörige Koeffizient implizit 0. Aus x² + 6 = 0 wird eine quadratische Aufgabe mit b = 0, und aus 4x = 20 eine lineare Aufgabe ohne x²-Term, also mit a = 0.

Wichtig ist nur, die Gleichung so einzugeben, wie sie tatsächlich vorliegt, ohne fehlende Terme gedanklich zu ergänzen.

Der Rechner erkennt den Typ der Gleichung anhand der vorhandenen Terme und wählt die passende Lösungsstrategie, also Äquivalenzumformung im linearen Fall und Diskriminante mit Mitternachtsformel im quadratischen Fall.

Dieser implizite Null-Koeffizient bleibt in der Eingabemaske verborgen, wird aber beim Analysieren der Gleichungsstruktur und beim automatischen Wechsel zwischen linearer und quadratischer Lösungsstrategie berücksichtigt.

So führt auch eine unvollständig wirkende Eingabe wie x² = 9 zuverlässig zu den beiden Lösungen plus 3 und minus 3.

Wie gehe ich mit Brüchen, Dezimalzahlen und Klammern sicher um?

Übernehmen Sie die Aufgabe genau in der Schreibweise, in der die Terme mathematisch gemeint sind, und setzen Sie im Zweifel lieber eine Klammer zu viel als eine zu wenig.

Klammern sind besonders wichtig bei negativen Vorzeichen und bei Bruchtermen, etwa wenn der gesamte Zähler durch denselben Nenner geteilt wird.

Bei Dezimalzahlen sollten Sie nicht zwischen verschiedenen Schreibweisen mischen, sondern durchgehend dieselbe Form verwenden.

Bei reinen Bruchgleichungen empfiehlt es sich, die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner zu multiplizieren und die Definitionsmenge zu prüfen, damit keine unzulässige Nullstelle im Nenner entsteht.

Konsistente Dezimalschreibweise im Koeffizientensatz verhindert außerdem, dass der Gleichungsrechner für lineare oder quadratische Gleichungen einen Wert wie 1,5 anders rundet als 0,15 und so eine unsymmetrische Genauigkeitsverschiebung zwischen den Termen entsteht.

Was bedeutet die Meldung, dass keine reelle Lösung existiert?

Dann lässt sich die Aufgabe im reellen Zahlenraum nicht mit einem normalen Zahlenwert für x erfüllen.

Bei quadratischen Gleichungen ist das der Fall, wenn der Ausdruck unter der Wurzel in der Mitternachtsformel negativ wird, also die Diskriminante D = b² − 4ac kleiner als 0 ist.

Ein Beispiel ist x² + 1 = 0, bei dem D gleich minus 4 herauskommt und keine reelle Zahl die Gleichung löst.

Für den Schulalltag heißt das meist: Die Gleichung hat nur komplexe Lösungen, oder die zugrundeliegende Modellannahme passt nicht zu einem reellen Sachzusammenhang.

Das Modell sollte dann auf fehlerhafte Voraussetzungen oder unplausible Eingaben überprüft werden, etwa ein falsch übertragenes Vorzeichen oder eine vertauschte Seite.

Häufig steckt hinter der Meldung schlicht ein Tippfehler bei einem der Koeffizienten.

Wie prüfe ich das Ergebnis bei einer Sachaufgabe sinnvoll?

Setzen Sie den gefundenen Wert zuerst in die Ursprungsgleichung ein und prüfen Sie, ob linke und rechte Seite tatsächlich übereinstimmen. Diese Rechenprobe deckt Übertragungs- und Vorzeichenfehler zuverlässig auf, bevor Sie weiterrechnen.

Danach kommt die inhaltliche Prüfung: Ein mathematisch korrektes x kann in einer linearen oder quadratischen Sachaufgabe trotzdem unplausibel sein, etwa eine negative Stückzahl, eine negative Länge oder eine Zeit jenseits des betrachteten Zeitraums.

Bei zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung ist oft nur eine im Sachkontext sinnvoll, sodass Sie die andere begründet verwerfen.

Der Gleichungsrechner liefert das Ergebnis schnell und fehlerfrei, doch erst Rechenprobe und Kontextprüfung zusammen machen es belastbar und interpretierbar. Notieren Sie daher zu jeder Lösung kurz, ob sie im Sachzusammenhang überhaupt zulässig ist.

Wann brauche ich statt dieses Rechners ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem brauchen Sie, sobald zwei unabhängige Gleichungen mit zwei Unbekannten gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Wenn Sie nicht nur x, sondern zum Beispiel x und y suchen, reicht ein einzelner Gleichungsrechner nicht aus, weil eine Gleichung allein zwei Unbekannte nicht eindeutig festlegt.

Das ist typisch bei Aufgaben mit zwei Produkten zu unterschiedlichen Preisen, bei zwei Tarifmodellen im Vergleich oder bei Schnittpunkten zweier linearer Funktionen.

Dann ist der Gleichungssystem-Rechner der passendere Weg, weil er beide Bedingungen simultan auswertet.

Die Cramersche Regel sowie das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren sind die klassischen Schulverfahren für 2-mal-2-Systeme; der Gleichungssystem-Rechner übernimmt diese Berechnung direkt, sodass nur die Koeffizientenwerte korrekt übertragen werden müssen.

So vermeiden Sie das fehleranfällige manuelle Umstellen und Einsetzen über mehrere Zwischenschritte.

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

Quadratische GleichungNullstellen und Scheitelpunkt einer quadratischen Gleichung lösen.Gleichungssystem lösenZwei Gleichungen mit x und y gleichzeitig lösen.PotenzenrechnerPotenzen mit positiven, negativen und gebrochenen Exponenten berechnen – inkl. wissenschaftlicher Notation.Wurzelrechnern-te Wurzel einer Zahl berechnen und als Potenz darstellen – mit Plausibilitätsprüfung.Logarithmen-RechnerLogarithmus berechnen für beliebige Basis, natürlicher Logarithmus ln und dekadischer Logarithmus lg.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.ProzentrechnerProzentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen – universeller Prozentrechner.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.Algebra Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Algebra mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.Gleichungsrechner über alle Filter weiter eingrenzenSuche für weitere Varianten, Kategorien und Rechentypen mit ähnlichem Intent.