Quadratische Gleichung lösen: pq-Formel und Mitternachtsformel

Die pq-Formel lautet x = −p/2 ± √((p/2)² − q) und löst jede quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0, bei der der Leitkoeffizient bereits 1 ist.

Die abc-Formel, auch Mitternachtsformel genannt, lautet x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) und funktioniert zusätzlich für jeden beliebigen Leitkoeffizienten a.

Beide Wege führen zur identischen Lösung, nur der Rechenweg unterscheidet sich: Bei der pq-Formel entfällt a, weil vorher durch ihn geteilt wurde.

Für x² + 3x − 4 = 0 mit p = 3 und q = −4 liefert die pq-Formel x = −1,5 ± √(2,25 + 4) = −1,5 ± 2,5, also x₁ = 1 und x₂ = −4 – genau die Werte, die dieser Rechner mit a = 1, b = 3, c = −4 ausgibt.

Nutze die pq-Formel, sobald a bereits 1 ist, und wechsle bei einem Dezimal-Leitkoeffizienten zur abc-Formel, weil eine Division durch a sonst zusätzliche Rundungsfehler einführt.

Die Mitternachtsformel lautet x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a) und heißt so, weil Schülerinnen und Schüler sie auch nachts um 12 Uhr aus dem Schlaf heraus aufsagen können sollen.

Gebraucht wird sie immer dann, wenn die quadratische Gleichung nicht in der reinen pq-Form steht, also wenn vor dem x² ein Koeffizient ungleich 1 steht.

Für 2x² − 8x + 6 = 0 mit a = 2, b = −8 und c = 6 berechnet der Rechner zuerst die Diskriminante D = 64 − 48 = 16 und daraus x = (8 ± 4) ÷ 4, also x₁ = 3 und x₂ = 1.

Ein Vorteil der Mitternachtsformel: Eine Division durch a entfällt vor dem Wurzelziehen, wodurch bei Dezimalkoeffizienten weniger Rundungsfehler entstehen als beim Umweg über die pq-Form.

Setze beide Lösungen zur Kontrolle in die Ausgangsgleichung ein, denn nur eine vollständige Rückprobe bestätigt, dass die Diskriminante korrekt berechnet wurde.

Die Scheitelpunktform lautet y = a(x − p)² + q und beschreibt dieselbe Parabel wie die Normalform ax² + bx + c, zeigt aber direkt den Scheitelpunkt als tiefsten oder höchsten Punkt der Kurve.

Umgerechnet aus der Normalform gilt p = −b ÷ (2a) für die x-Koordinate und q = c − b² ÷ (4a) für die y-Koordinate.

Für x² − 5x + 6 = 0 liefert der Rechner den Scheitel bei xs = 2,5 und ys = −0,25, was in Scheitelpunktschreibweise y = (x − 2,5)² − 0,25 entspricht.

Bei einem positiven a öffnet sich die Parabel nach oben und der Scheitel ist ein Minimum, bei negativem a nach unten mit einem Maximum als Scheitel.

Die Scheitelpunktform eignet sich besonders für Optimierungsaufgaben, etwa um ein Gewinnmaximum oder einen minimalen Materialverbrauch direkt abzulesen, ohne vorher beide Nullstellen berechnen zu müssen.

Nutze die Umrechnung nur dann zusätzlich zur reinen Nullstellenberechnung, wenn die Fragestellung wirklich nach dem Extremum der Parabel fragt und nicht nur nach den Nullstellen.

Die quadratische Ergänzung ist ein Umformungsverfahren, das x² + px durch Addition von (p/2)² zu einem vollständigen Quadrat (x + p/2)² ergänzt, um die Gleichung ohne Formel Schritt für Schritt zu lösen.

Für x² + 6x − 7 = 0 wird daraus x² + 6x + 9 − 9 − 7 = 0, also (x + 3)² = 16, und durch Wurzelziehen x = −3 ± 4, somit x₁ = 1 und x₂ = −7 – Werte, die dieser Rechner mit a = 1, b = 6, c = −7 bestätigt.

Sinnvoller als die fertige Formel ist die quadratische Ergänzung vor allem im Unterricht, weil sie den Ursprung der pq-Formel und der Scheitelpunktform Zeile für Zeile sichtbar macht, statt nur einzusetzen.

Für die reine Ergebnisermittlung ist die pq- oder abc-Formel schneller, weil der Rechner beide Schritte in einem Aufruf zusammenfasst; als Kontrollrechnung bleibt die quadratische Ergänzung aber die zuverlässigste Methode, ein Ergebnis Schritt für Schritt nachzuvollziehen.

Der Satz von Vieta besagt, dass sich Summe und Produkt der beiden Lösungen x₁ und x₂ direkt aus den Koeffizienten ablesen lassen: x₁ + x₂ = −b ÷ a und x₁ × x₂ = c ÷ a.

Für x² − 5x + 6 = 0 mit a = 1 bestätigt das die vom Rechner ausgegebenen Werte x₁ = 3 und x₂ = 2, denn 3 + 2 = 5 entspricht −b = 5 und 3 × 2 = 6 entspricht c = 6.

Praktisch dient der Satz von Vieta als schnelle Rückprobe ohne erneutes Wurzelziehen: Weicht die Summe oder das Produkt der beiden ausgegebenen x-Werte von −b ÷ a beziehungsweise c ÷ a ab, liegt ein Eingabe- oder Rechenfehler vor.

Bei einer doppelten Lösung, wenn D = 0 ist, vereinfacht sich die Produktbedingung zu x₁² = c ÷ a, was sich besonders schnell im Kopf überschlagen lässt.

Für Gleichungen mit a ≠ 1 muss stets durch a geteilt werden, sonst liefert die Vieta-Probe ein falsches Ergebnis. Die Probe funktioniert außerdem nur, wenn a nicht 0 ist, denn bei a = 0 liegt ohnehin keine quadratische Gleichung mehr vor.

Die Diskriminante berechnet sich als D = b² − 4ac und entscheidet allein durch ihr Vorzeichen, wie viele reelle Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt.

Ist D positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist D gleich 0, gibt es genau eine doppelte Lösung; ist D negativ, existiert im Reellen keine Lösung.

Für x² − 5x + 6 = 0 ergibt sich D = 25 − 24 = 1, also zwei Lösungen, während x² − 4x + 4 = 0 mit D = 16 − 16 = 0 genau eine doppelte Lösung x = 2 liefert.

Berechne die Diskriminante immer vor den eigentlichen x-Werten, denn bei negativem D sparst du dir das Wurzelziehen aus einer negativen Zahl, das im reellen Zahlenraum nicht definiert ist.

Achte bei Dezimalkoeffizienten besonders auf Grenzfälle nahe D = 0: Schon die letzte Nachkommastelle kann darüber entscheiden, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung angezeigt wird.

Ja, für diesen Rechner ist die Normalform ax² + bx + c = 0 der korrekte Eingabeweg, weil pq-Formel und abc-Formel beide auf dieser Struktur aufbauen.

Steht auf der rechten Seite noch ein Term oder sind Klammern nicht aufgelöst, muss zuerst umgeformt und alles auf die linke Seite gebracht werden.

Genau bei diesem Schritt entstehen häufig Vorzeichenfehler, etwa wenn ein subtrahierter Term beim Umstellen fälschlich das Vorzeichen behält.

Ein Beispiel: Aus 2x² + 3x = 4x − 1 wird durch Sortieren 2x² − x + 1 = 0, sodass a = 2, b = −1 und c = 1 unverändert eingegeben werden können.

Auch die Umstellung zu einer Gleichung ohne konstanten Term – also c = 0 – oder mit ausgeklammertem x ist erlaubt, solange am Ende alle drei Koeffizienten korrekt zugeordnet sind.

So lässt sich der vollständige Umformungsweg jederzeit nachvollziehen und auf Vorzeichenfehler überprüfen, bevor die eigentliche Rechnung beginnt.

Dann entfällt der quadratische Term, und aus ax² + bx + c = 0 wird die lineare Gleichung bx + c = 0 mit der Lösung x = −c ÷ b, sofern b ungleich 0 ist.

Die pq- und abc-Formel setzen jedoch zwingend einen echten x²-Term mit a ungleich 0 voraus und sind für diesen Fall nicht anwendbar; der Rechner meldet dann D = 0 und lässt x₁ sowie x₂ leer.

Für a = 0, b = 2, c = −6 etwa ergibt der Rechner deshalb keine sinnvolle Nullstelle über die quadratische Formel, obwohl die lineare Gleichung 2x − 6 = 0 die Lösung x = 3 hätte.

Wechsle in diesem Fall zum allgemeinen Gleichungsrechner, der lineare Gleichungen korrekt löst.

Ein Sonderfall entsteht, wenn zusätzlich b = 0 und c ungleich 0 gilt: Dann hat die Gleichung überhaupt keine Lösung, weil kein x-Wert einen konstanten Term zu 0 machen kann.

Eine rein-quadratische Gleichung hat die Form ax² + c = 0 ohne linearen Term, also mit b = 0, und lässt sich direkt durch Umstellen und Wurzelziehen lösen: x = ±√(−c ÷ a).

Für x² − 9 = 0 mit a = 1, b = 0 und c = −9 berechnet der Rechner D = 0 − 4 × 1 × (−9) = 36 und daraus x₁ = 3 und x₂ = −3 – exakt die Werte, die auch die direkte Umformung x² = 9 liefert.

Ist −c ÷ a dagegen negativ, wie bei x² + 4 = 0, existiert keine reelle Lösung, weil die Wurzel aus einer negativen Zahl im Reellen nicht definiert ist.

Der Scheitelpunkt einer rein-quadratischen Gleichung liegt immer auf der y-Achse bei xs = 0, weil ohne linearen Term keine horizontale Verschiebung der Parabel stattfindet.

Die volle pq- oder abc-Formel funktioniert bei b = 0 zwar ebenfalls korrekt, ist für diesen Sonderfall aber unnötig aufwendig.

Die pq-Formel ist der schnellere Weg, sobald die Gleichung bereits in der Form x² + px + q = 0 mit Leitkoeffizient a = 1 steht, weil sie ohne den zusätzlichen Faktor a auskommt.

Steht dagegen ein beliebiger Leitkoeffizient a ungleich 1 vor dem x², greift die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a), die für jedes a funktioniert.

Jede Gleichung mit a ≠ 1 lässt sich zunächst durch a teilen, um auf die pq-Form zu kommen: Aus 2x² + 6x − 8 = 0 wird nach Division durch 2 die Gleichung x² + 3x − 4 = 0 mit p = 3 und q = −4, was zu denselben Lösungen x₁ = 1 und x₂ = −4 führt.

Numerisch empfiehlt sich die Mitternachtsformel besonders dann, wenn a eine Dezimalzahl ist, da die Division durch a in p und q zusätzliche Rundungsfehler einführen kann.

Beide Formeln liefern bei korrekter Anwendung immer dasselbe Ergebnis; bei sehr kleinen oder krummen Dezimalwerten von a lohnt sich der Umweg über die pq-Form in der Regel nicht mehr.