Quadratische-Gleichung-Rechner – Nullstellen und Scheitel

Mathematik

Köffizienten a, b und c eingeben, Diskriminante prüfen, reelle Nullstellen berechnen und...

Quelle: Diskriminante D=b²−4ac, Mitternachtsformel sowie Scheitelpunktberechnung für Gleichungen der Form ax²+bx+c=0Stand: Juni 2026

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Quadratische Gleichung?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Die Diskriminante b²−4ac entscheidet, ob eine quadratische Gleichung zwei, eine oder gar keine reelle Lösung hat — dieses eine Vorzeichen bestimmt den gesamten Lösungstyp, bevor auch nur eine Zahl in die Formel eingesetzt wird. Dieser Rechner löst ax² + bx + c = 0 mit der ABC-Formel und gibt Diskriminante, Lösungen und Scheitelform für Optimierungsaufgaben aus.

Er ist für Schule, Nachhilfe und Selbstkontrolle geeignet, weil die Diskriminante sofort zeigt, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung vorliegt.

Quadratische Gleichungen erscheinen in vielen Bereichen: In der Physik beschreibt eine Wurfparabel die Höhe als quadratische Funktion der Zeit, und die beiden Nullstellen markieren Abwurf- und Auftreffzeitpunkte.

In der Wirtschaft modellieren Gewinn- und Kostenfunktionen oft quadratische Abhängigkeiten, wo der Scheitelpunkt das Optimum kennzeichnet. In der Geometrie führt die Berechnung von Diagonalen und Kreisschnittmengen auf quadratische Ausdrücke.

Das Ergebnis des Rechners zeigt nicht nur die Lösungen, sondern auch die Diskriminante D = b² − 4ac, aus der direkt auf den Lösungstyp geschlossen werden kann, sowie optional die Scheitelform für Optimierungsaufgaben.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Gib die drei Koeffizienten a, b und c aus der Normalform ax² + bx + c = 0 ein. Dabei darf a nicht 0 sein, weil die Gleichung sonst nicht mehr quadratisch ist.

Achte besonders auf Vorzeichen, denn ein falsches Minus bei b oder c verändert Diskriminante und Lösungsmenge sofort. Die Werte stammen meist direkt aus einer umgeformten Aufgabenstellung.

Falls die Gleichung noch nicht in Normalform vorliegt, etwa als 2x² = 8x − 6, muss sie zuerst umgestellt werden: 2x² − 8x + 6 = 0, und nach Division durch 2 ergibt sich x² − 4x + 3 = 0 mit a = 1, b = −4, c = 3.

Dieser Umformungsschritt ist häufig die Fehlerquelle, wenn Terme nicht sorgfältig auf eine Seite gebracht werden.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

ABC-Formel und Scheitelform: Der Rechner verwendet x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Zuerst wird die Diskriminante D = b² − 4ac berechnet.

Beispiel: Für x² − 5x + 6 = 0 gilt D = 25 − 24 = 1. Daraus folgen x = (5 ± 1) ÷ 2 und damit die Lösungen x = 2 und x = 3.

Die Scheitelform ergänzt das Bild: y = a(x − p)² + q, wobei der Scheitelpunkt bei x = p = −b ÷ (2a) und y = q = c − b² ÷ (4a) liegt.

Für das Beispiel liegt der Scheitel bei p = 2,5 und q = −0,25, was direkt das Minimum der Parabel angibt und Optimierungsaussagen ermöglicht.

Nachschlagen

Quadratische Gleichungen: Diskriminante, Lösungsanzahl und Beispiele

Die Lösungsformel (Mitternachtsformel) lautet: x₁,₂ = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a). Die Diskriminante D = b²−4ac entscheidet über die Anzahl reeller Lösungen.

Diskriminante und Lösungsanzahl quadratischer Gleichungen ax²+bx+c=0 mit Zahlenbeispielen
Fall	Diskriminante D	Lösungsanzahl	Gleichungsbeispiel	Lösungen
D > 0	b²−4ac > 0	2 reelle Lösungen	x²−5x+6=0 (a=1, b=−5, c=6)	x₁=3, x₂=2
D = 0	b²−4ac = 0	1 reelle Lösung (Doppellösung)	x²−4x+4=0 (a=1, b=−4, c=4)	x₁=x₂=2
D < 0	b²−4ac < 0	Keine reellen Lösungen	x²+x+1=0 (a=1, b=1, c=1)	keine (D=−3)
D > 0 (weiteres Bsp.)	25−4·1·4=9 > 0	2 reelle Lösungen	x²−5x+4=0	x₁=4, x₂=1
D = 0 (weiteres Bsp.)	36−4·1·9=0	1 Doppellösung	x²−6x+9=0	x₁=x₂=3
D < 0 (weiteres Bsp.)	4−4·2·3=−20 < 0	Keine reellen Lösungen	2x²+2x+3=0	keine (D=−20)
Lösungsformel	D = b²−4ac	x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)	gilt für a ≠ 0	—
Satz von Vieta	—	x₁+x₂ = −b/a \| x₁·x₂ = c/a	x²−5x+6: 3+2=5, 3·2=6 ✓	—

Quelle: Schulformelsammlung Algebra. Achtung: Bei a=0 liegt eine lineare Gleichung vor. Komplexe Lösungen (D<0) sind möglich: x = (−b ± i·√|D|) / (2a).

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Für die praktische Einordnung bedeutet das Ergebnis: Ist die Diskriminante positiv, gibt es zwei reelle Lösungen, bei 0 genau eine doppelte Lösung und bei einem negativen Wert keine reelle Lösung. Damit kannst du schon vor dem Einsetzen abschätzen, welcher Fall vorliegt.

Prüfe die gefundenen x-Werte anschließend immer in der Ursprungsgleichung.

Praxisbeispiel: Bei einer Wurfparabel kann eine positive Diskriminante zwei Zeitpunkte bedeuten, an denen dieselbe Höhe erreicht wird; genau diese beiden Lösungen sind als Auf- und Abstiegspunkt getrennt zu interpretieren.

Als weiterer Tipp: Falls nur eine Lösung gefragt ist, prüfe den Sachkontext — negative Zeiten oder negative Preise scheiden in der Realanwendung aus.

Bei Textaufgaben mit Optimierungsbedingung liefert der Scheitelpunkt der Parabel direkt das Maximum oder Minimum der Zielfunktion, ohne Differentialrechnung zu benötigen.

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall: Ein Unternehmen modelliert seinen Tagesgewinn G(x) = −2x² + 80x − 600, wobei x der Verkaufspreis in Euro ist. Für die Break-even-Bedingung G(x) = 0 gilt: −2x² + 80x − 600 = 0, vereinfacht x² − 40x + 300 = 0.

Koeffizienten: a = 1, b = −40, c = 300. Diskriminante: D = 1.600 − 1.200 = 400. Lösungen: x = (40 ± 20) ÷ 2, also x = 30 und x = 10. Die Break-even-Preise liegen bei 10 € und 30 €, der Gewinnbereich liegt dazwischen.

Scheitelpunkt: p = 20 €, G(20) = −2 × 400 + 1.600 − 600 = 200 € Gewinnmaximum. Als zweite Anwendung: Eine Baustelle soll einen rechteckigen Stellplatz mit Fläche 48 m² einrichten, wobei die Länge um 2 m größer als die Breite sein soll.

Mit x als Breite: x × (x + 2) = 48, also x² + 2x − 48 = 0. Diskriminante: D = 4 + 192 = 196. Lösungen: x = (−2 ± 14) ÷ 2, also x = 6 m (Breite) und Länge 8 m. Die negative Lösung x = −8 ist geometrisch nicht sinnvoll und wird ausgeschlossen.

Vertiefung

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Häufig werden die Terme nicht zuerst in die Normalform ax² + bx + c = 0 gebracht, sodass a, b und c aus der falschen Zeile übernommen werden. Ebenso wird das Vorzeichen von b in der ABC-Formel falsch eingesetzt, besonders bei bereits negativem b.

Ein weiterer Fehler ist das Weglassen von Klammern im Zähler bei (−b ± √D), wodurch nur ein Teil des Ausdrucks durch 2a geteilt wird.

Auch die Diskriminante wird oft ungenau berechnet, etwa durch fehlende Klammern bei b² − 4ac, was dazu führt, dass das Vorzeichen von 4ac falsch behandelt wird.

Darüber hinaus wird bei Aufgaben mit zwei Lösungen häufig nur eine Lösung notiert und die Rückprobe der zweiten vergessen.

Ohne vollständige Überprüfung beider x-Werte bleibt das Ergebnis unvollständig, was in Praxisaufgaben zu falschen Entscheidungen führen kann.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Quadratische-Gleichungen-Rechner gibt Diskriminante, Lösungsanzahl, alle reellen Lösungen und optional die Scheitelform aus.

Setze beide Lösungen als Rückprobe in die Ursprungsgleichung ein und prüfe, welcher x-Wert im Anwendungskontext sinnvoll ist.

Beachte, dass bei Sachaufgaben negative oder physikalisch unzulässige Lösungen auszuschließen sind, und nutze den Scheitelpunkt für Optimierungsaussagen. Die Normalform ax² + bx + c = 0 ist Pflichtvoraussetzung für die ABC-Formel.

Falls die Ausgangsgleichung in faktorisierter Schreibweise oder Scheitelpunktsform vorliegt, muss sie zuerst ausmultipliziert werden.

Für den Unterricht gilt: Benenne die Diskriminante explizit als Kürzel D, prüfe das Vorzeichen von a für die Parabelöffnungsrichtung und dokumentiere den Lösungstyp vor dem Einsetzen in die Formel.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · x₁ = 2, x₂ = -4

Quadratische Gleichung x² + 2x - 8 = 0

a: 1
b: 2
c: -8

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Quadratische Gleichung

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wann ist dieser Spezialrechner sinnvoller als der allgemeine Gleichungsrechner?

Sinnvoll ist der Spezialrechner immer dann, wenn die Aufgabe bereits in der Normalform ax² + bx + c = 0 vorliegt oder mit wenigen Umformungsschritten auf diese Form gebracht werden kann.

Dann arbeiten Sie direkt mit den drei Koeffizienten a, b und c und sehen Diskriminante, Lösungsfall und beide x-Werte auf einen Blick.

Der allgemeine Gleichungsrechner ist eher für vollständige Ausdrücke gedacht, die noch nicht in die Normalform vorbereitet sind.

Wenn der Term auf der rechten Seite noch Klammern oder eine binomische Formel enthält, ist es effizienter, zuerst vollständig auszumultiplizieren und dann a, b und c direkt abzulesen, als mehrere Umformungsschritte manuell zu protokollieren.

Bei den klassischen Schulaufgaben rund um Mitternachtsformel, abc-Formel und pq-Formel ist dieser Rechner damit der direkte Weg zum Ergebnis und zur vollständigen Fallunterscheidung.

Muss die Gleichung wirklich in der Form ax² + bx + c = 0 stehen?

Ja, für diesen Rechner ist das der korrekte und sauberste Eingabeweg. Falls auf der rechten Seite noch ein Term steht oder Klammern nicht aufgelöst sind, sollten Sie zuerst umformen und alles auf die linke Seite bringen.

Genau bei diesem Umformungsschritt entstehen häufig Vorzeichenfehler, besonders wenn Terme subtrahiert oder Faktoren ausgeklammert werden. Deshalb lohnt sich ein kurzer Kontrollblick auf a, b und c vor der Eingabe.

Ein Vorzeichenfehler beim Umstellen, etwa wenn ein Term −5x auf der rechten Seite fälschlicherweise als +5x auf der linken übernommen wird, verschiebt den b-Koeffizienten und verändert die Diskriminante komplett.

Ein Beispiel: Aus 2x² + 3x = 4x − 1 wird durch Sortieren 2x² − x + 1 = 0, sodass Sie a = 2, b = −1 und c = 1 ablesen und unverändert eingeben können.

Was sagt die Diskriminante über meine Aufgabe aus?

Die Diskriminante D = b² − 4ac entscheidet, welcher Lösungsfall vorliegt. Ist D positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D gleich 0, gibt es genau eine doppelte Lösung, bei der beide x-Werte zusammenfallen.

Ist D negativ, existieren im reellen Zahlenraum keine Lösungen. Die Diskriminante kann also schon vor dem Ausrechnen der eigentlichen x-Werte viel über die Struktur und Lösbarkeit der Aufgabe verraten.

Praktisch: Für x² + 2x + 5 = 0 ergibt D = 4 − 20 = −16 < 0, also keine reelle Lösung. Für x² + 2x + 1 = 0 gilt D = 4 − 4 = 0, also genau eine doppelte Lösung.

Diese Vorprüfung kostet Sekunden und verhindert einen überflüssigen vollständigen Rechenweg.

Was passiert, wenn a gleich 0 ist?

Dann entfällt der quadratische Term, und die Gleichung wird linear. Die Mitternachtsformel setzt einen echten x²-Term mit a ≠ 0 voraus und ist für diesen Fall nicht anwendbar. Der Rechner gibt dann einen entsprechenden Hinweis aus.

Wechseln Sie in diesem Fall zum allgemeinen Gleichungsrechner, der auch lineare Gleichungen korrekt löst.

Formal ändert sich die Gleichungsklasse: Aus ax² + bx + c = 0 wird mit a = 0 die lineare Form bx + c = 0, und die Nullstelle liegt bei x = −c/b, sofern b ≠ 0.

Falls zusätzlich b = 0 und c ≠ 0 gilt, hat die Gleichung überhaupt keine reelle Lösung, da kein x-Wert einen konstanten Term zu null machen kann.

Warum kann es genau eine doppelte Lösung geben?

Weil beide Lösungen aus dem Plus- und Minus-Zweig der Mitternachtsformel zusammenfallen, wenn D = 0. Die Formel liefert dann x = −b / (2a) als einzigen Wert.

Geometrisch bedeutet das, dass die zugehörige Parabel die x-Achse genau berührt, aber nicht schneidet. In Sachaufgaben kann das ein Randfall sein, bei dem zwei Lösungsszenarien zu einem einzigen zusammenwachsen.

Die vollständige Mitternachtsformel x₁₂ = (−b ± √D)/(2a) zeigt geometrisch: Der Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c liegt bei x_S = −b/(2a), und genau dort berührt die Kurve die x-Achse, wenn D = 0.

Das Scheitelpunkt-x ist identisch mit der einzigen Nullstelle.

Wie prüfe ich die beiden Lösungen zuverlässig?

Setzen Sie beide x-Werte einzeln wieder in die Ausgangsgleichung ax² + bx + c = 0 ein und prüfen Sie, ob jeweils 0 herauskommt.

Gerade bei Gleichungen mit Brüchen, Dezimalzahlen oder einer negativen Diskriminante zeigt diese Rückprobe sofort, ob ein Vorzeichenfehler beim Umformen aufgetreten ist.

Nur weil ein Wert numerisch plausibel aussieht, muss er noch nicht rechnerisch korrekt sein.

Numerische Ungenauigkeiten können bei Dezimalkoeffizienten dazu führen, dass das Ergebnis statt exakt 0 einen sehr kleinen Rest wie 10⁻¹⁵ ergibt; das ist kein Fehler, sondern ein normales Gleitkomma-Rundungsartefakt.

Nur wenn die Abweichung groß ist, sollte die Eingabe geprüft werden. Eine zweite Kontrolle bietet der Satz von Vieta: Bei a = 1 muss die Summe beider Lösungen gleich −b und ihr Produkt gleich c sein, was sich im Kopf schnell überschlagen lässt.

Sind Dezimalzahlen und Brüche bei den Koeffizienten unproblematisch?

Ja, solange sie konsistent eingegeben werden. Wichtig ist, dass Sie dieselbe Aufgabe nicht halb gerundet und halb exakt behandeln.

Wenn Sie zum Beispiel a = 0,5 exakt eingeben, aber b stark runden, kann sich die Diskriminante so stark verschieben, dass statt zwei Lösungen nur noch eine oder keine erscheint. Im Zweifel alle Koeffizienten auf gleicher Genauigkeitsstufe halten.

Als Faustregel bei Grenzfällen: Wenn D = b² − 4ac nahe bei 0 liegt, entscheidet die letzte Dezimalstelle darüber, ob zwei, eine oder keine Lösung erscheint.

Kleine Schwankungen in gerundeten Koeffizienten können dann den Lösungsfall der quadratischen Gleichung ändern, was inhaltlich zur Modellgenauigkeit passen sollte.

Wann nutze ich die pq-Formel statt der Mitternachtsformel?

Die pq-Formel ist der schnellere Weg, sobald die Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 mit Leitkoeffizient a = 1 steht. Dann liefert x = −p/2 ± √((p/2)² − q) beide Lösungen direkt, ohne den Umweg über a.

Steht dagegen ein beliebiger Leitkoeffizient a ≠ 1 vor dem x², greift die Mitternachtsformel beziehungsweise abc-Formel x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a), die für jedes a funktioniert.

Sie können jede Gleichung mit a ≠ 1 zuerst durch a teilen, um auf die pq-Form zu kommen, etwa wird aus 2x² + 6x − 8 = 0 nach Division durch 2 die Gleichung x² + 3x − 4 = 0 mit p = 3 und q = −4.

Beide Wege führen zum selben Ergebnis; die Wahl ist reine Bequemlichkeit und hängt nur davon ab, ob a bereits 1 ist oder nicht.

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

Gleichung lösenAllgemeine lineare oder quadratische Gleichungen lösen.Wurzeln berechnenDie in der Lösungsformel benötigte Wurzel separat berechnen.Lineares GleichungssystemLineare 2x2-Gleichungssysteme mit Rechenweg lösen.PotenzenrechnerPotenzen mit positiven, negativen und gebrochenen Exponenten berechnen – inkl. wissenschaftlicher Notation.Logarithmen-RechnerLogarithmus berechnen für beliebige Basis, natürlicher Logarithmus ln und dekadischer Logarithmus lg.ProzentrechnerProzentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen – universeller Prozentrechner.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.Algebra Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Algebra mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.Quadratische Gleichung über alle Filter weiter eingrenzenSuche für weitere Varianten, Kategorien und Rechentypen mit ähnlichem Intent.