Schriftlich Subtrahieren: Rechenweg mit Borgen

Beim schriftlichen Subtrahieren schreibst du Minuend und Subtrahend rechtsbündig untereinander und ziehst von rechts nach links Stelle für Stelle ab.

Ist die Ziffer des Minuenden kleiner als die des Subtrahenden, borgst du eine Zehnerstange von der nächsthöheren Stelle: Die geborgte Stelle verliert eine Eins, die aktuelle Stelle gewinnt zehn dazu.

Der Rechner ist mit 632 − 278 vorbelegt und liefert 354, dabei wird zweimal geborgt: Einer 2 − 8 geht nicht, also 12 − 8 = 4; Zehner 3 − 1 (geliehen) − 7 geht ebenfalls nicht, also 13 − 1 − 7 = 5; Hunderter 6 − 1 = 5, davon 2 abziehen ergibt 3.

Trage jeden Borgschritt sichtbar ein, sonst verlierst du bei längeren Zahlen den Überblick.

Das Verfahren funktioniert für beliebig lange ganze Zahlen, solange der Minuend nicht kleiner als der Subtrahend ist – sonst tauscht der Rechner die Zahlen und kennzeichnet das Ergebnis als negativ.

Minuend, Subtrahend und Differenz sind die drei festen Bezeichnungen jeder Subtraktionsaufgabe: Der Minuend ist die Zahl, von der abgezogen wird, der Subtrahend die Zahl, die abgezogen wird, und die Differenz das Ergebnis.

Bei der Standardbelegung des Rechners, 632 − 278 = 354, ist 632 also der Minuend, 278 der Subtrahend und 354 die Differenz.

Diese Begriffe sind mehr als Schulvokabular: Sie legen fest, in welcher Reihenfolge gerechnet wird, denn anders als bei der Addition ist die Reihenfolge bei der Subtraktion nicht vertauschbar – 632 − 278 ergibt etwas anderes als 278 − 632.

Merke dir die Reihenfolge am Ausdruck selbst: Der Minuend steht vor dem Minuszeichen, der Subtrahend dahinter.

Verwechselst du beide, tauscht der Rechner sie automatisch, rechnet die Differenz der Beträge und kennzeichnet das Ergebnis mit einem Minuszeichen, damit trotzdem ein korrektes Ergebnis herauskommt.

Borgen, auch Entbündeln genannt, bedeutet: Ist die Ziffer des Minuenden an einer Stelle kleiner als die entsprechende Ziffer des Subtrahenden, leihst du dir eine Zehnerstange von der nächsthöheren Stelle.

Die höhere Stelle des Minuenden wird dabei um eins verringert, die aktuelle Stelle erhält zehn dazu – der Gesamtwert des Minuenden ändert sich dadurch nicht, er wird nur anders gebündelt.

Bei 503 − 247 zeigt sich das deutlich: Der Einer kann nicht direkt von der Zehnerstelle borgen, weil dort eine 0 steht; also borgt zuerst die Zehnerstelle bei den Hundertern, gibt zehn an den Einer weiter, und das Ergebnis lautet 256.

Notiere das Borgen sichtbar, etwa als durchgestrichene und neu geschriebene Ziffer über der höheren Stelle, sonst verlierst du bei mehreren Borgschritten hintereinander den Überblick.

Die Grenze des Verfahrens: Borgen funktioniert nur, wenn insgesamt genug Wert im Minuenden steckt, also der Minuend mindestens so groß wie der Subtrahend ist.

Steht an der Stelle, von der eigentlich geborgt werden soll, eine 0, kann diese Stelle selbst nichts hergeben und muss zuerst bei der nächsthöheren Stelle borgen, bevor sie etwas abgeben kann – das Borgen wandert dann kettenartig weiter nach links.

Bei 8002 − 3574 zeigt sich das deutlich: Die Einerstelle braucht eine Zehnerstange, doch Zehner- und Hunderterstelle sind beide 0 und können nicht direkt abgeben; erst die Tausenderstelle gibt nach, dabei werden beide durchlaufenen Nullen zu 9, und das Ergebnis lautet 4428.

Im Extremfall wie bei 1.000 − 1 wandert das Borgen über alle drei Nullen bis zur führenden Ziffer, aus jeder Null wird eine 9, und aus der vierstelligen Zahl wird die dreistellige 999.

Notiere in solchen Ketten jeden einzelnen Borgschritt getrennt, bevor du weiterrechnest, denn genau hier häufen sich die meisten Fehler.

Das funktioniert für beliebig viele Nullen hintereinander, solange der Minuend insgesamt mindestens so groß wie der Subtrahend bleibt.

Dieser Rechner zeigt ausschließlich das Borgeverfahren, auch Entbündelungsverfahren genannt: Bei 632 − 278 = 354 wird zweimal von der nächsthöheren Stelle geborgt.

Daneben gibt es das Ergänzungsverfahren, in Schulbüchern auch Abziehverfahren genannt: Dort wird nicht der Minuend verändert, sondern stellenweise vom Subtrahenden zum Minuenden hinaufgezählt, und der Übertrag wird beim Subtrahenden notiert.

Beide Wege führen zum selben Ergebnis, nur der aufgeschriebene Rechenweg unterscheidet sich – lernt dein Kind in der Schule das Ergänzungsverfahren, stimmt zwar das Endergebnis mit dem Rechner überein, der Zwischenweg aber nicht.

Welches Verfahren unterrichtet wird, hängt vom Bundesland und Schulbuch ab, ab Klasse 2 oder 3 wird eines der beiden verbindlich eingeführt.

Wechselt die Schule später zum Ergänzungsverfahren, zeigt dieser Rechner trotzdem weiterhin nur das Borgeverfahren als Referenz – für einen direkten Abgleich musst du dann selbst umrechnen.

Mehr als zwei Zahlen subtrahierst du in Etappen: Du rechnest zunächst die ersten beiden Zahlen aus und ziehst danach die dritte Zahl vom Zwischenergebnis ab. Bei 1.000 − 250 − 130 heißt das zuerst 1.000 − 250 = 750, danach 750 − 130 = 620.

Dieser Rechner nimmt pro Aufgabe genau zwei Zahlen entgegen, deshalb gibst du das Zwischenergebnis als neuen Minuenden ein und die dritte Zahl als neuen Subtrahenden.

Wichtig ist die Reihenfolge: Weil Subtraktion nicht kommutativ ist, darfst du zwar die Reihenfolge der abzuziehenden Zahlen vertauschen (250 zuerst oder 130 zuerst ergibt beide Male 620), aber niemals die Rolle von Minuend und Subtrahend.

Bei mehr als drei Zahlen wiederholst du das Prinzip einfach weiter: Jedes Zwischenergebnis wird zum Minuenden der nächsten Etappe, solange am Ende keine negative Zwischensumme entsteht, die du sonst gesondert kennzeichnen müsstest.

Mit Komma subtrahierst du, indem du beide Zahlen zuerst auf die gleiche Anzahl Nachkommastellen bringst und dann wie ganze Zahlen ohne Komma rechnest.

Bei 5,3 − 2,45 füllst du 5,3 mit einer Null zu 5,30 auf, rechnest ohne Komma 530 − 245 = 285 und setzt das Komma an derselben Stelle wieder ein: 2,85.

Anders als bei der Multiplikation addierst oder subtrahierst du die Nachkommastellen nicht, du musst sie lediglich angleichen – fehlt diese Angleichung, verschieben sich alle Stellen und das Ergebnis wird falsch.

Dieser Rechner selbst arbeitet nur mit ganzen Zahlen und schneidet Nachkommastellen ab, weshalb du das Auffüllen und das Zurücksetzen des Kommas von Hand erledigst.

Die Probe funktioniert genauso wie bei ganzen Zahlen: 2,85 + 2,45 ergibt wieder 5,30, also 5,3. Solange beide Zahlen gleich viele Nachkommastellen haben, funktioniert das Verfahren für beliebig viele Dezimalstellen.

Subtraktion ist nicht kommutativ: 75 − 28 ergibt etwas anderes als 28 − 75. Im klassischen Verfahren für ganze positive Zahlen muss der Minuend größer oder gleich dem Subtrahenden sein.

Ist der Subtrahend größer, tauschst du die Zahlen, rechnest die Differenz der Beträge und kennzeichnest das Ergebnis als negativ: 75 − 28 = 47, aber 28 − 75 = −47, die Zahlen sind betragsgleich, nur das Vorzeichen kippt.

Genau das übernimmt der Rechner automatisch: Gibst du 28 als Minuenden und 75 als Subtrahenden ein, weist er zuerst darauf hin, dass getauscht werden muss, zeigt im Raster die Rechnung 75 − 28 = 47 und macht daraus in einem eigenen Schritt −47.

Die Stellenschritte gehören dann zur getauschten Rechnung, deshalb steht im Raster oben die 75 und nicht die eingegebene 28. Vergisst du das Minuszeichen nach dem Tauschen, ist das Ergebnis dem Betrag nach richtig, als Antwort aber falsch.

Die Probe ist eine Addition: Differenz plus Subtrahend muss wieder den Minuenden ergeben. Bei 632 − 278 = 354 lautet die Probe 354 + 278 = 632, und die Rechnung stimmt.

Diese Probe deckt die häufigsten Fehler zuverlässig auf: falsches Borgen, ein vergessenes Minuszeichen nach dem Tauschen von Minuend und Subtrahend sowie Übertragsfehler beim abschließenden Zusammenschreiben.

Rechne die Probe grundsätzlich schriftlich und nicht im Kopf, damit du sie mit derselben Sorgfalt prüfst wie die Ausgangsrechnung.

Stimmt die Probe nicht, liegt der Fehler fast immer an einer Stelle, an der geborgt, die Anleihe an der nächsthöheren Stelle aber nicht abgezogen wurde.

Bei einer Kettenborgung wie 8002 − 3574 = 4428 lohnt sich die Probe besonders, weil hier über mehrere Nullen hinweg geborgt wird: 4428 + 3574 = 8002 bestätigt, dass keine der durchlaufenen Nullen vergessen wurde.

Übertrag kommt beim Addieren vor: Überschreitet die Summe zweier Ziffern den Wert 9, wird der übersteigende Teil als Eins an die nächste Stelle weitergegeben.

Borgen kommt beim Subtrahieren vor: Ist eine Ziffer im Minuenden zu klein, holt man sich eine Zehnerstange von der höheren Stelle.

Beide regeln denselben Grundvorgang des Dezimalsystems in entgegengesetzter Richtung: Beim Addieren bündelst du zehn Einer zu einer Zehnerstange, beim Subtrahieren löst du eine Zehnerstange in zehn Einer auf.

Ein Vergleich macht das greifbar: Bei 47 + 65 ergibt die Einerstelle 7 + 5 = 12, der Übertrag 1 wandert nach links und wird dort addiert; bei 112 − 65 borgst du dagegen eine Zehnerstange von links, damit die 2 am Einer die 5 überhaupt abziehen kann.

Verwechsle die Markierungszeile nicht: Bei der Addition zeigt die kleine Eins, wohin addiert wird, bei der Subtraktion zeigt sie, woher etwas abgegeben wurde – dieselbe Position, entgegengesetzte Bedeutung.