Schriftlich Subtrahieren: Rechenweg mit Borgen

Beim schriftlichen Subtrahieren schreibst du Minuend (die größere Zahl) und Subtrahenden rechtsbündig untereinander. Dann subtrahierst du von rechts nach links Stelle für Stelle.

Ist die Ziffer des Minuenden kleiner als die des Subtrahenden, borgst du von der nächsthöheren Stelle: Die geborgene Stelle verliert eine Eins, die aktuelle Stelle gewinnt zehn.

So entsteht immer eine gültige Differenz, bis alle Stellen abgearbeitet sind. Der Rechner ist mit 632 − 278 vorbelegt und liefert 354.

Er arbeitet dabei genau diese Reihenfolge ab: Einer 2 − 8 geht nicht, also 12 − 8 = 4 und eine Zehnerbündelung geliehen; Zehner 3 minus die geliehene 1 ergibt 2, davon 7 abziehen geht nicht, also 13 − 1 − 7 = 5 und erneut geliehen; Hunderter 6 − 1 = 5, davon 2 abziehen ergibt 3.

Durch das Aufschreiben aller Zwischenschritte Spalte für Spalte machst du auch bei sechsstelligen Zahlen wie 543.210 − 198.765 = 344.445 jeden Borgvorgang kontrollierbar und nichts geht verloren.

Borgen tritt auf, wenn die Ziffer des Minuenden an einer Stelle kleiner ist als die entsprechende Ziffer des Subtrahenden.

Du leihst dir dann eine Zehn von der nächsten Stelle: Die höhere Stelle des Minuenden wird um eins verringert, die aktuelle Stelle erhält zehn dazu. Dadurch wird die Differenz nicht negativ.

Das Borgen muss sorgfältig notiert werden, zum Beispiel durch ein durchgestrichenes und neu geschriebenes Borrow-Zeichen über der höheren Stelle. Fachlich heißt dieser Schritt Entbündeln: Du zerlegst eine Zehnerstange in zehn einzelne Einer.

Der Wert des Minuenden ändert sich dadurch nicht – 632 bleibt 632, es ist nur anders gebündelt, nämlich als 6 Hunderter, 2 Zehner und 12 Einer. Genau deshalb darfst du beliebig oft borgen, ohne das Ergebnis zu verfälschen.

Probiere es mit 503 − 247 = 256: Der Einer kann nicht direkt von der Zehnerstelle borgen, weil dort eine 0 steht; die Zehnerstelle borgt zuerst bei den Hundertern und gibt dann zehn an den Einer weiter.

Kettenborgungen entstehen, wenn eine Stelle, von der geborgt werden soll, selbst eine Null oder eine kleine Ziffer hat. In diesem Fall muss auch diese Stelle von der nächsthöheren borgen, bevor sie abgeben kann.

Dieser Ketteneffekt kann sich über mehrere Stellen hinziehen. Notiere jeden Borgschritt einzeln, bevor du zur aktuellen Stelle weiterrechnest, um den Überblick zu behalten.

Der Extremfall sind Nullen im Minuenden: Bei 1000 − 1 kann der Einer nichts von der Zehnerstelle holen, weil dort eine 0 steht.

Also borgt die Zehnerstelle bei den Hundertern, diese bei den Tausendern – die Anleihe wandert über drei Stellen bis ganz nach links durch. Aus jeder durchlaufenen 0 wird eine 9, das Ergebnis lautet 999. Ein weiteres Beispiel: 4.003 − 1.567 = 2.436.

Der Einer kann nicht borgen, weil Zehnerstelle und Hunderterstelle beide 0 sind; erst die Tausenderstelle gibt nach, alle 0en werden dabei zu 9, und der Einer bekommt seine 10.

Subtraktion ist nicht kommutativ: 75 − 28 ergibt etwas anderes als 28 − 75. Im klassischen Verfahren für ganze positive Zahlen muss der Minuend größer oder gleich dem Subtrahenden sein.

Wenn der Subtrahend größer ist, tauschst du die Zahlen, berechnest das Ergebnis und kennzeichnest es als negativ. Konkret: 75 − 28 = 47, aber 28 − 75 = −47. Die Zahlen sind betragsgleich, das Vorzeichen kippt.

Wenn du also tauschen musst, um rechnen zu können, dann schreibe zwingend ein Minuszeichen vor das Ergebnis – dieser Schritt wird am häufigsten vergessen.

Genau das nimmt dir der Rechner ab: Gibst du 28 als Minuenden und 75 als Subtrahenden ein, weist er zuerst darauf hin, dass getauscht werden muss, zeigt im Raster die Rechnung 75 − 28 = 47 und macht daraus in einem eigenen Schritt das Ergebnis −47.

Die Stellenschritte gehören dann also zur getauschten Rechnung – deshalb steht im Raster oben die 75 und nicht die eingegebene 28.

Die Probe ist eine Addition: Ergebnis plus Subtrahend muss den Minuenden ergeben. Beispiel: 75 − 28 = 47. Probe: 47 + 28 = 75. Stimmt.

Diese Probe deckt alle häufigen Fehler ab – falsches Borgen, vergessenes Minuszeichen und Übertragsfehler beim abschließenden Zusammenschreiben. Sie sollte zur Routine werden.

Der Grund dafür ist die Umkehrbeziehung: Subtraktion und Addition heben einander auf, deshalb muss Differenz + Subtrahend wieder den Minuenden ergeben. Für die Voreinstellung des Rechners heißt das: 632 − 278 = 354, Probe 354 + 278 = 632.

Stimmt die Probe nicht, liegt der Fehler fast immer an einer Stelle, an der du geborgt, die Anleihe aber an der nächsthöheren Stelle nicht abgezogen hast. Rechne die Probe grundsätzlich schriftlich, nicht im Kopf.

Bei einer dreistelligen Rechnung wie 503 − 247 = 256 lautet die Probe: 256 + 247 = 503, und das Ergebnis stimmt. Führe sie schriftlich durch, damit du jede Addition der Probe auf die gleiche Weise überprüfst wie die Ausgangsrechnung.

Übertrag kommt beim Addieren vor: Überschreitet die Summe zweier Ziffern den Wert 9, wird der übersteigende Teil als Eins an die nächste Stelle weitergegeben.

Borgen kommt beim Subtrahieren vor: Ist eine Ziffer im Minuenden zu klein, holt man sich eine Zehn von der höheren Stelle.

Übertrag ist ein Plusmechanismus, Borgen ein Minusmechanismus – beide regeln aber dasselbe Grundproblem des Dezimalsystems: den Übergang zwischen Stellen.

Merke dir die Richtung: Der Übertrag wandert beim Addieren nach links und wird dort addiert; die Anleihe beim Subtrahieren wandert ebenfalls nach links, wird dort aber subtrahiert.

Beides sind Zehnerbündelungen, nur in entgegengesetzter Richtung – beim Addieren bündelst du zehn Einer zu einer Zehnerstange, beim Subtrahieren löst du eine Zehnerstange in zehn Einer auf.

Ein konkretes Beispiel: Bei 47 + 65 entsteht 7 + 5 = 12, der Übertrag 1 geht nach links und landet als Summand bei den Zehnern; bei 112 − 65 borgst du dagegen eine Zehn von links, damit die 2 am Einer die 5 überhaupt abziehen kann.

Anders als beim Addieren hängt die Antwort hier davon ab, welches Verfahren die Schule unterrichtet — und das entscheidet über den ganzen Rechenweg.

Eingeführt wird das Verfahren meist ab der zweiten Klasse und im Lauf der dritten auf vier Stellen ausgeweitet; Dezimalzahlen folgen erst in der Mittelstufe, weshalb sich dieser Rechner auf ganze positive Zahlen beschränkt.

Entscheidend ist die Verfahrensfrage: Es gibt zwei verbreitete Wege, das Borge- oder Entbündelungsverfahren, bei dem der Minuend verändert wird, und das Ergänzungsverfahren, bei dem man vom Subtrahenden zum Minuenden hinaufzählt und den Übertrag beim Subtrahenden notiert.

Dieser Rechner zeigt durchgehend das Borgeverfahren. Lernt dein Kind das Ergänzungsverfahren, stimmt das Endergebnis überein, der aufgeschriebene Rechenweg aber nicht.

Beim Borgeverfahren notierst du eine kleine 1 über der Stelle, die geliehen hat, und streichst die Originalziffer durch; typischerweise üben Drittklässler das an vierstelligen Aufgaben wie 4.321 − 1.678 = 2.643.

Wechselt deine Schule später zum Ergänzungsverfahren, zeigt der Rechner trotzdem stets das Borgeverfahren als Referenz.

Wenn du das Borgen nur im Kopf festhältst, verlierst du bei langen Rechnungen schnell den Überblick, vor allem bei Kettenborgungen über mehrere Stellen.

Das sichtbare Notieren – zum Beispiel eine durchgestrichene Ziffer mit der neuen reduzierten Ziffer darüber – macht den Rechenweg nachvollziehbar und reduziert Fehler erheblich.

Auch beim Nachkontrollieren durch einen anderen Menschen ist der aufgeschriebene Weg unverzichtbar. Der Rechner macht es genauso: Über dem Minuenden erscheint eine eigene, blass gesetzte Zeile mit kleinen Einsen.

Jede dieser Einsen steht dabei über der Stelle, die eine Bündelung abgegeben hat, also über der linken Nachbarstelle – nicht über der, die geborgt hat.

Zusätzlich listet er jeden Schritt von rechts nach links als Satz auf, sodass du deinen eigenen Rechenweg Stelle für Stelle abgleichen kannst.

Besonders bei einer Aufgabe wie 1.200 − 458 = 742 mit zwei aufeinanderfolgenden Borgungen kannst du ohne schriftliche Notizen kaum sicher nachvollziehen, welche Stelle wann abgegeben hat.