Schriftlich Multiplizieren: Rechenweg mit Teilprodukten

Beim schriftlichen Multiplizieren schreibst du den Multiplikanden oben und den Multiplikator darunter. Dann multiplizierst du den Multiplikanden nacheinander mit jeder Stelle des Multiplikators, von rechts nach links.

Jedes Teilprodukt wird mit dem richtigen Stellenversatz untergeschrieben: Das Teilprodukt der Einer-Stelle braucht keinen Versatz, das der Zehner-Stelle wird eine Stelle nach links versetzt, das der Hunderter-Stelle zwei Stellen und so weiter.

Am Ende werden alle Teilprodukte addiert. Der Rechner führt das mit den voreingestellten Zahlen 47 × 36 Zeile für Zeile vor: Er bildet 47 × 6 = 282, dann 47 × 3 = 141 mit einer angehängten Null, also 1.410, und addiert beides zu 1.692.

Die Anzahl der Teilprodukte entspricht dabei immer der Stellenzahl des Multiplikators – ein zweistelliger Multiplikator erzeugt zwei Zeilen, ein dreistelliger drei.

Die maximale Stellenzahl des Ergebnisses lässt sich vorab abschätzen: Sie beträgt höchstens die Summe der Stellenzahlen beider Faktoren, bei 47 × 36 also maximal 2 + 2 = 4 Stellen, das Ergebnis 1.692 ist tatsächlich vierstellig.

Ein Teilprodukt entsteht, wenn du den ersten Faktor (Multiplikand) mit einer einzelnen Stelle des zweiten Faktors (Multiplikator) multiplizierst.

Bei einem zweistelligen Multiplikator gibt es genau zwei Teilprodukte: eines für die Einerstelle und eines für die Zehnerstelle.

Das Teilprodukt der Zehnerstelle wird um eine Stelle nach links verschoben – das entspricht einer Multiplikation mit zehn. Beide Teilprodukte werden am Ende addiert, um das Endprodukt zu erhalten.

Im Rechenweg zu 47 × 36 stehen deshalb die Zeilen "47 × 6 = 282" und "47 × 3 (Zehnerstelle) = 141, mit 1 Null angehängt = 1410", darunter die Summe 282 + 1410 = 1692. Daran erkennst du eine häufige Fehlannahme: Das zweite Teilprodukt sei 141.

Als Zahl ist es 1.410 – die 141 ist nur die Ziffernfolge, die versetzt notiert wird. Enthält der Multiplikator eine Null, ist das zugehörige Teilprodukt ebenfalls null und trägt nichts zur Summe bei.

Die Verschiebung spiegelt den Stellenwert der jeweiligen Zahl wider. Die Einerstelle hat Stellenwert 1, die Zehnerstelle Stellenwert 10, die Hunderterstelle Stellenwert 100 und so weiter.

Wenn du also mit der Zehnerstelle des Multiplikators multiplizierst, ist das mathematisch eine Multiplikation mit dem Zehnfachen. Im schriftlichen Verfahren wird dieses Zehnfache durch eine Verschiebung um eine Position nach links dargestellt.

So bleibt das Dezimalsystem erhalten. Dahinter steckt das Distributivgesetz: 47 × 36 = 47 × (30 + 6) = 47 × 30 + 47 × 6 = 1.410 + 282 = 1.692. Die Verschiebung ist also keine Schreibkonvention, sondern die angehängte Null der Multiplikation mit 30.

Allgemein gilt: Steht eine Ziffer an der Position p von rechts (Einer = 0), wird ihr Teilprodukt mit 10^p multipliziert und um p Spalten versetzt. Der vergessene Stellenversatz ist der häufigste Grund für ein zu kleines Endergebnis.

Ein kleines Beispiel macht das anschaulich: Bei 3 × 24 ist die Zehnerstelle 2 mathematisch eine 20, also gilt 3 × 20 = 60. Ohne den Versatz nach links stünde nur 6 da statt 60, und die Summe wäre falsch.

Innerhalb jedes Teilprodukts kann beim Multiplizieren einer Ziffer mit dem ganzen Multiplikanden ein Übertrag entstehen, genauso wie beim schriftlichen Addieren.

Ergibt eine Stelle des Teilprodukts einen Wert von zehn oder mehr, wird der Zehnerpart als Übertrag in die nächste Stelle mitgenommen.

Das Teilprodukt selbst ist also eine schriftliche Multiplikation mit einstelligem Multiplikator, bevor es versetzt aufgeschrieben wird.

Am Teilprodukt 47 × 6 = 282 siehst du es Schritt für Schritt: 7 × 6 = 42, du schreibst die 2 und merkst dir 4; dann 4 × 6 = 24 plus den Übertrag 4 ergibt 28, was links davor geschrieben wird.

Anders als beim Addieren kann dieser Übertrag deutlich größer als 1 werden – bis zu 8, denn 9 × 9 + 8 = 89. Wichtig ist die Reihenfolge: Der Übertrag wird zum nächsten Produkt addiert, nicht vorher mitmultipliziert.

Wer erst addiert und dann multipliziert, landet systematisch zu hoch.

Die einfachste Probe ist ein grober Überschlag: Runde beide Faktoren auf die erste Stelle und multipliziere. Beispiel: 47 × 28 ≈ 50 × 30 = 1.500. Das genaue Ergebnis 1.316 liegt in dieser Größenordnung.

Eine genauere Probe ist die Division: Teile das Ergebnis durch einen der Faktoren – das Resultat muss dem anderen Faktor entsprechen. Stimmt das nicht, liegt ein Fehler im Teilprodukt oder der abschließenden Addition.

Zwei Sekundenchecks helfen zusätzlich: Die letzte Ziffer des Produkts ist immer die letzte Ziffer aus dem Produkt der beiden Einerziffern – bei 47 × 36 endet 7 × 6 = 42 auf 2, und tatsächlich endet 1.692 auf 2.

Und die Stellenzahl passt: Zwei zweistellige Faktoren ergeben stets drei oder vier Stellen. Weicht dein Ergebnis um genau den Faktor 10 ab, hast du fast sicher einen Stellenversatz vergessen.

Für dreistellige Faktoren bietet sich ergänzend die neunerische Probe an: Bilde die Quersumme beider Faktoren, multipliziere sie und vergleiche das Ergebnis mit der Quersumme des Produkts — stimmen sie überein, ist das ein starkes Indiz für Korrektheit.

Beim schriftlichen Addieren addierst du Stelle für Stelle dieselben Positionen beider Zahlen. Beim schriftlichen Multiplizieren entstehen mehrere Teilprodukte, die versetzt untereinander stehen und erst dann addiert werden.

Die Multiplikation ist also eine Kombination aus mehrfachen Einzelmultiplikationen und einer abschließenden Addition. Die Addition der Teilprodukte folgt dabei genau den Regeln des schriftlichen Addierens.

Der Aufwand unterscheidet sich deutlich: Zwei zweistellige Zahlen zu addieren kostet zwei Spaltenschritte, sie zu multiplizieren dagegen vier Einmaleins-Schritte plus eine anschließende Addition zweier Zeilen.

Auch der Übertrag verhält sich anders – beim Addieren ist er stets 1, beim Multiplizieren kann er bis 8 betragen.

Und während die Summe zweier Zahlen höchstens eine Stelle länger wird als die längere Zahl, verdoppelt die Multiplikation die Stellenzahl fast: 47 + 36 = 83 bleibt zweistellig, 47 × 36 = 1.692 ist vierstellig.

Für reine Übungsaufgaben bietet sich schriftliches Addieren als Einstieg an, bevor schriftliches Multiplizieren eingeführt wird, weil der Übertrag-Mechanismus aus der Addition direkt auf das Teilprodukt-Verfahren übertragen werden kann.

Das schriftliche Multiplizieren wird in Deutschland typischerweise in der dritten Grundschulklasse eingeführt, zunächst mit einstelligem Multiplikator, und dann in der vierten Klasse auf zweistellige Multiplikatoren ausgedehnt.

In der Mittelstufe kommen Dezimalzahlen hinzu. Der hier gezeigte Rechner behandelt ganze Zahlen ohne Nachkommastellen, wie es dem Grundschul- und frühen Mittelstufenstoff entspricht.

Kommazahlen schneidet er ab, statt sie zu runden – aus 3,7 × 4 wird 3 × 4 = 12 statt 14,8. Dieser Abschneide-Effekt wiegt beim Multiplizieren schwerer als beim Addieren, weil der Fehler mit dem zweiten Faktor mitwächst.

Für Dezimalzahlen rechnest du besser ohne Komma und setzt es am Schluss: 3,7 × 4 wird zu 37 × 4 = 148, und weil ein Faktor eine Nachkommastelle hatte, lautet das Ergebnis 14,8.

Ab der fünften Klasse wird das Verfahren auf Dezimalzahlen ausgeweitet; der Algorithmus bleibt identisch, nur die Kommaregel kommt am Schluss hinzu — die Summe der Nachkommastellen beider Faktoren ergibt die Nachkommastellen des Ergebnisses.

Ja, das Kleine Einmaleins (1×1 bis 9×9) ist die Grundlage für das schriftliche Multiplizieren. Jede Multiplikation einer Stelle des Multiplikators mit dem Multiplikanden erfordert mehrere Einzelschritte aus dem Einmaleins.

Wer das Kleine Einmaleins sicher beherrscht, kann das schriftliche Multiplizieren viel flüssiger durchführen. Wie viele Schritte das sind, lässt sich genau beziffern: Multiplikand-Stellen mal Multiplikator-Stellen.

Bei 47 × 36 sind es 2 × 2 = 4 Einmaleins-Aufgaben (7×6, 4×6, 7×3, 4×3), bei 347 × 36 schon sechs. Ein einziger falscher Einmaleins-Schritt verfälscht ein ganzes Teilprodukt und damit das Endergebnis.

Die Rechner in dieser Unterkategorie zeigen den Rechenweg vollständig, können aber das Erlernen des Einmaleins nicht ersetzen.

Nutze den ausgeschriebenen Rechenweg deshalb zum Abgleich: Vergleiche jede Teilprodukt-Zeile einzeln mit deiner eigenen, dann findest du den Fehler sofort.

Das Kleine Einmaleins umfasst 81 Grundaufgaben und wird üblicherweise in der zweiten Grundschulklasse geübt; wer alle Ergebnisse auswendig abrufen kann, spart beim schriftlichen Multiplizieren eine erhebliche Fehlerquelle pro Teilprodukt-Schritt.