Kegel berechnen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Das Volumen eines Kegels berechnet sich mit V = 1/3 · π · r² · h. Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm → V = 1/3 · π · 9 · 4 ≈ 37,70 cm³. Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) ergibt sich V = 1/3 · π · 9 · 8 = 24π ≈ 75,40 cm³.

Statt des Radius kannst du auch mit dem Durchmesser rechnen: V = π · d² · h / 12, für d = 6 cm und h = 8 cm liefert das dasselbe Ergebnis von 75,40 cm³.

Beachte den klassischen Kegelfehler: In die Volumenformel gehört die senkrechte Höhe h, niemals die Seitenlänge s. Bei r = 3 cm und h = 8 cm ist s = 8,544 cm — wer damit rechnet, erhält 80,53 statt 75,40 cm³ und liegt rund 7 % zu hoch.

Trag Radius und Höhe getrennt in den Rechner ein, dann liefert das Feld „Volumen“ den korrekten Wert direkt. Für eine Eistüte mit r = 2 cm und h = 10 cm liefert der Rechner V ≈ 41,89 cm³, umgerechnet knapp 42 ml Fassungsvermögen.

Die Mantelfläche des Kegels lautet M = π · r · s, wobei s die Seitenlänge (Mantellinie) ist. Für r = 3 cm und s = 5 cm: M = π · 3 · 5 ≈ 47,12 cm².

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm, also s ≈ 8,544 cm) sind es M = π · 3 · 8,544 ≈ 80,53 cm².

Die Seitenlänge musst du dafür nicht selbst bestimmen: Der Rechner berechnet sie aus Radius und Höhe automatisch mit und zeigt sie als eigenes Ergebnisfeld an.

Anschaulich entsteht beim Abrollen des Kegelmantels ein Kreissektor mit Radius s und Bogenlänge 2π · r, dessen Öffnungswinkel 360° · r / s beträgt — hier also 360° · 3 / 8,544 ≈ 126,4°.

Ein Kaffeefilter mit r ≈ 6 cm und s ≈ 14 cm hat M = π · 6 · 14 ≈ 263,9 cm² und benötigt genau diese Papierfläche als Zuschnitt.

Achte darauf, dass für Verpackungs- und Materialfragen stets die Mantelfläche, nicht die Grundfläche oder das Volumen zählt.

Die Gesamtoberfläche ist O = G + M = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s). Für r = 3 cm, s = 5 cm: O = π · 3 · (3 + 5) = 24π ≈ 75,40 cm².

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm, s ≈ 8,544 cm) ergeben sich O ≈ 108,80 cm², aufgeteilt in Grundfläche G ≈ 28,27 cm² und Mantelfläche M ≈ 80,53 cm².

Der Rechner gibt alle drei Werte einzeln aus, sodass du sie nicht selbst addieren musst.

Wichtig für die Praxis: Ein oben offener Trichter oder eine Eistüte aus Papier haben keine Grundfläche im Materialsinn — dort zählt nur die Mantelfläche als Zuschnitt.

Die volle Oberflächenformel brauchst du nur bei geschlossenen Körpern mit Boden, etwa einer Sandburg-Turmkappe oder einem Kegeldach mit fester Unterkonstruktion.

Verwechsle die Gesamtoberfläche daher nicht pauschal mit dem Materialbedarf: Prüfe zuerst, ob der Körper überhaupt einen Boden hat.

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis mit der Formel G = π · r². Für r = 3 cm ergibt sich G = π · 9 ≈ 28,27 cm² — unabhängig von der Höhe des Kegels, denn die Grundfläche hängt ausschließlich vom Radius ab.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) zeigt das Ergebnisfeld „Grundfläche“ denselben Wert ≈ 28,27 cm² an, bei r = 4 cm wären es bereits 50,27 cm².

Daraus folgt eine wichtige Faustregel: Verdoppelst du den Radius, vervierfacht sich die Grundfläche (r² geht quadratisch ein), während sie von der Höhe komplett unabhängig bleibt.

Verwechsle die Grundfläche nicht mit der Mantelfläche — die Grundfläche ist der ebene Kreis am Boden, die Mantelfläche die schräge Seitenfläche.

Für Aufgaben, die nur nach der „Fläche des Kreises unter dem Kegel“ fragen, liest du direkt das Grundflächen-Ergebnis ab, ohne Höhe oder Seitenlänge einzubeziehen.

Die Seitenlänge s, auch Mantellinie genannt, ist der Abstand von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche entlang der Kegeloberfläche und ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: s = √(r² + h²). Für r = 3 cm, h = 4 cm gilt s = √(9 + 16) = 5 cm.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) ist s = √(9 + 64) = √73 ≈ 8,544 cm, und der Rechner weist diesen Wert als eigenes Ergebnisfeld aus.

Wichtig für die Bedienung: s ist immer ein Ergebnis, keine Eingabe — eingegeben werden ausschließlich Radius und die senkrechte Höhe.

Die Mantellinie ist auch der maßgebliche Wert für Zuschnitte, etwa bei Partyhüten: Für einen Kegel mit r = 8 cm und h = 28 cm schneidest du den Karton auf s = √(64 + 784) = √848 ≈ 29,12 cm zu, nicht auf 28 cm Höhe.

Wird die Mantellinie mit der Höhe verwechselt, fällt der Zuschnitt spürbar zu klein aus.

Die Höhe h ist die senkrechte Strecke von der Spitze bis zur Mitte der Grundfläche, die Seitenlänge s die schräge Strecke von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche. Es gilt immer s > h und s > r, verknüpft über s = √(r² + h²).

Wird stattdessen die Seitenlänge vorgegeben, musst du zuerst umrechnen: h = √(s² − r²), bevor du den Wert in den Rechner einträgst.

Das ist die häufigste Fehlerquelle bei Kegelaufgaben: Viele Angaben (auch das englische „slant height“) meinen die Seitenlänge s, der Rechner erwartet aber h.

Beispiel: Eine Eistüte mit r = 3 cm und Mantellinie s = 10 cm hat h = √(100 − 9) = √91 ≈ 9,54 cm, nicht 10 cm. Wer s = 10 cm ins Höhenfeld einträgt, überschätzt das Volumen um rund 5 % (94,2 statt korrekt 89,9 cm³).

Rechne bei Seitenlängen-Angaben also immer zuerst h = √(s² − r²) um.

Ein Kegel hat nach der in deutschen Schulbüchern üblichen Zählweise 1 Ecke (die Spitze), 1 Kante (den kreisförmigen Rand der Grundfläche) und 2 Flächen (die ebene Grundfläche und die gekrümmte Mantelfläche). Diese Werte sind feste geometrische Eigenschaften der Körperform und hängen nicht von Radius oder Höhe ab — der Kegel-Rechner berechnet sie deshalb nicht mit, sondern ausschließlich Volumen, Flächen und Seitenlänge aus deinen Zahlenwerten.

Zum Vergleich: Ein Zylinder hat 0 Ecken, 2 Kanten und 3 Flächen (zwei Kreisflächen plus Mantel), eine Kugel dagegen 0 Ecken, 0 Kanten und nur 1 durchgehend gekrümmte Fläche.

Der Kegel liegt damit zwischen beiden Extremen: Er hat eine Spitze wie eine Pyramide, aber eine runde Grundfläche wie Zylinder und Kugel. Für Schulaufgaben zu Körpereigenschaften reicht diese Übersicht, ohne dass du selbst nachzählen musst.

Ein Kegel läuft von der Grundfläche spitz zu einem einzigen Punkt zusammen, ein Kegelstumpf entsteht, wenn die Spitze parallel zur Grundfläche abgeschnitten wird — er hat also zwei unterschiedlich große Kreisflächen (unten Radius R, oben Radius r) statt einer Spitze. Der Kegel-Rechner auf dieser Seite berechnet ausschließlich den vollen Kegel mit einer Spitze; für einen Kegelstumpf brauchst du die abweichende Formel V = π · h / 3 · (R² + R · r + r²).

Beispiel: Ein Kegelstumpf mit R = 6 cm, r = 3 cm und h = 8 cm hat V = π · 8/3 · (36 + 18 + 9) = π · 8/3 · 63 ≈ 527,79 cm³ — deutlich mehr als ein vergleichbarer Vollkegel, weil der obere Teil fehlt statt in einer Spitze zu enden.

Setzt du in dieser Formel r = 0, ergibt sich wieder die normale Kegelvolumenformel, denn der Kegelstumpf ist die allgemeinere Form. Für reine Kegelstumpf-Berechnungen mit zwei Radien ist aktuell kein eigener Rechner auf dieser Seite hinterlegt.

Ein Kegel hat genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe: V_Kegel = 1/3 · V_Zylinder. Drei identische Kegel füllen so einen Zylinder gleicher Grundfläche und Höhe vollständig aus.

Konkret mit den Startwerten des Rechners: Der Kegel mit r = 3 cm und h = 8 cm fasst 75,40 cm³, der Zylinder mit denselben Maßen π · 9 · 8 ≈ 226,19 cm³ — genau das Dreifache.

Bei den Oberflächen gilt diese einfache Regel dagegen nicht: Die Kegel-Mantelfläche hängt über die Seitenlänge s von Radius und Höhe zugleich ab und ist mit 80,53 cm² viel kleiner als die Zylinder-Mantelfläche 2π · 3 · 8 ≈ 150,80 cm². Praktisch heißt das: Beim Gießen von Beton in eine Kegelschalung reichen 33,3 % des Zylindermaterials für das Volumen, aber der Materialbedarf für die Außenhaut lässt sich daraus nicht ableiten — dafür immer die Mantelflächen beider Rechner getrennt vergleichen.

Der Halböffnungswinkel α, gemessen von der Achse zur Mantellinie, ergibt sich aus tan(α) = r / h. Für r = 3 cm, h = 4 cm: α = arctan(3/4) ≈ 36,87°, der volle Öffnungswinkel (Spitzenwinkel) beträgt 2α ≈ 73,74°.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) wird der Kegel deutlich schlanker: α = arctan(0,375) ≈ 20,56°, Spitzenwinkel ≈ 41,11°. Der Rechner selbst gibt den Winkel nicht aus, du bildest ihn aus den beiden Ergebniswerten Radius und Höhe.

Alternativ funktioniert die Berechnung über die Seitenlänge: cos(α) = h / s, hier cos(α) = 8 / 8,544 ≈ 0,9363 → α ≈ 20,56°, mit demselben Ergebnis.

Praxisbeispiel Turmdach: Bei r = 1,5 m und h = 4 m ergibt sich ein Halböffnungswinkel von arctan(1,5/4) ≈ 20,6°, den der Zimmerer für den Holzschnitt braucht.

Gilt r = h, liegt ein Öffnungswinkel von genau 45° vor — ein Grenzfall, der als besonders steiles Spitzdach gilt.