Kegel berechnen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Das Volumen eines Kegels berechnet sich mit V = 1/3 · π · r² · h. Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm → V = 1/3 · π · 9 · 4 ≈ 37,70 cm³. Das Kegelvolumen ist genau ein Drittel des Zylindervolumens mit gleichem Radius und gleicher Höhe.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) ergibt sich V = 1/3 · π · 9 · 8 = 24π ≈ 75,40 cm³.

Beachte den klassischen Kegelfehler: In die Volumenformel gehört die senkrechte Höhe h, niemals die Mantellinie s. Bei r = 3 cm und h = 8 cm ist s = 8,54 cm — wer damit rechnet, erhält 80,5 statt 75,4 cm³ und liegt rund 7 % zu hoch.

Praktisch: Für eine Eistüte mit r = 2 cm und h = 10 cm liefert der Rechner V ≈ 41,89 cm³ — das entspricht gut 42 ml Eisinhalt.

Merkhilfe: Da drei gleiche Kegel exakt einen Zylinder mit identischer Grundfläche und Höhe füllen, reicht das Kegel-Fassungsvermögen nur für ein Drittel desselben Getränks — eine anschauliche Begründung für den Faktor 1/3 in der Formel.

Die Seitenlänge s (auch Mantellinie genannt) ist der Abstand von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche, gemessen entlang der Kegeloberfläche. Sie ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: s = √(r² + h²). Für r = 3 cm, h = 4 cm gilt s = √(9 + 16) = 5 cm.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) ist s = √(9 + 64) = √73 ≈ 8,544 cm. Der Rechner weist diesen Wert als "Seitenlänge" separat aus, du musst ihn nicht selbst bestimmen. Wichtig für die Bedienung: s ist ein Ergebnis, keine Eingabe.

Eingegeben werden ausschließlich der Radius und die senkrechte Höhe.

Die Mantellinie taucht im Alltag zum Beispiel bei Partyhüten auf: Wer einen Kegel mit r = 8 cm und h = 28 cm basteln möchte, schneidet den Karton auf Radius s = √(64 + 784) = √848 ≈ 29,1 cm zu — nicht auf 28 cm Höhe.

Die Mantelfläche des Kegels lautet M = π · r · s, wobei s die Seitenlänge (Mantellinie) ist. Für r = 3 cm und s = 5 cm: M = π · 3 · 5 ≈ 47,12 cm². Die Mantelfläche ist die seitliche Oberfläche ohne die kreisförmige Grundfläche.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm, also s ≈ 8,544 cm) sind es M = π · 3 · 8,544 ≈ 80,53 cm².

Anschaulich: Rollt man den Kegelmantel ab, entsteht kein Rechteck wie beim Zylinder, sondern ein Kreissektor mit Radius s und Bogenlänge 2π · r. Sein Öffnungswinkel beträgt 360° · r / s — hier 360° · 3 / 8,544 ≈ 126,4°.

Genau diesen Sektor schneidest du beim Basteln zu. Ein Kaffeefilter (r ≈ 6 cm, s ≈ 14 cm) hat M = π · 6 · 14 ≈ 263,9 cm² und braucht genau diese Papierkreissektor-Fläche als Zuschnitt.

Der Öffnungswinkel des Kreissektors beträgt 360° · r / s — für den Kaffeefilter (r = 6 cm, s = 14 cm) sind das ≈ 154°.

Die Höhe h ist die senkrechte Strecke von der Spitze bis zur Mitte der Grundfläche. Die Seitenlänge s ist die schräge Strecke von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche. Es gilt immer s > h (und s > r). Mit dem Pythagoras-Satz: s = √(r² + h²).

Das ist die klassische Fehlerquelle beim Kegel: Viele Aufgaben und Bauzeichnungen geben s an, der Rechner erwartet aber h. Rechne dann zuerst um: h = √(s² − r²).

Beispiel: Eine Eistüte mit r = 3 cm und Mantellinie s = 10 cm hat h = √(100 − 9) = √91 ≈ 9,54 cm — und eben nicht 10 cm. Wer s ins Höhenfeld schreibt, überschätzt das Volumen hier um rund 5 %.

Im Rechner trägst du also h = 9,54 cm ein, nicht s = 10 cm, und erhältst V ≈ 89,9 cm³ statt der falschen 94,2 cm³.

Englische Aufgaben meinen mit slant height immer die Mantellinie s — rechne daher stets zuerst h = sqrt(s² − r²) um, bevor du einen Wert eingibst.

Die Gesamtoberfläche O = G + M = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s). Für r = 3 cm, s = 5 cm: O = π · 3 · (3 + 5) = 24π ≈ 75,40 cm². Sie umfasst die Grundfläche (Kreis) und die Mantelfläche.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm, s ≈ 8,544 cm) sind es O = π · 3 · 11,544 ≈ 108,80 cm², aufgeteilt in G ≈ 28,27 cm² und M ≈ 80,53 cm².

Für die Praxis entscheidend: Ein Schüttkegel oder ein oben offener Trichter hat keine Grundfläche im Materialsinn — dort brauchst du nur die Mantelfläche. Die Grundfläche zählt nur bei geschlossenen Körpern mit Boden.

Ein Waffeleis-Kegel aus Papier zum Beispiel braucht nur die Mantelfläche als Zuschnitt; eine Sandburg-Turmkappe mit Boden dagegen die volle Formel.

Als Faustregel: Trichter und Eistüten haben keinen Boden — nur M zählt; geschlossene Körper wie Dachkonstruktionen brauchen O = M + G.

Typische Anwendungen: Fassungsvermögen von Eistüten und Trichtern, Abtragsvolumen von Bohrkernen in der Geologie, Kegelgeometrie bei Düsen und Ventilen, Dachgauben mit Kegeldach sowie Berechnungen für Schüttgut (Sandkegel auf einer Baustelle).

Das Schüttgut-Beispiel zeigt den Nutzen am deutlichsten: Trockener Sand bildet beim Aufschütten von selbst einen Kegel mit einem Schüttwinkel von rund 34°. Aus dem am Boden gemessenen Fußradius folgt die Höhe über h = r · tan(34°).

Bei r = 2 m sind das h ≈ 1,35 m und V = 1/3 · π · 4 · 1,35 ≈ 5,65 m³. Stelle die Einheit im Rechner auf "m" und gib r = 2 und h = 1,35 ein — den Radius misst du einfach mit dem Maßband ab.

Ein weiteres Alltagsbeispiel: Ein Trichter im Haushalt hat typischerweise r ≈ 4 cm und h ≈ 8 cm — der Rechner zeigt V ≈ 134,04 cm³, also gut 134 ml Fassungsvermögen.

Ein Bohrkern mit r = 3 cm und h = 100 cm hat V ≈ 942 cm³ — fast ein Liter Gestein pro Meter Tiefe, was den Materialaufwand beim Diamantbohren kalkulierbar macht.

Der Halböffnungswinkel α (von der Achse bis zur Mantellinie) berechnet sich aus tan(α) = r / h. Für r = 3 cm, h = 4 cm: α = arctan(3/4) ≈ 36,87°. Der volle Öffnungswinkel (Spitzenwinkel) ist 2α ≈ 73,74°.

Mit den Startwerten des Rechners (r = 3 cm, h = 8 cm) wird der Kegel deutlich schlanker: α = arctan(0,375) ≈ 20,56°, Spitzenwinkel ≈ 41,11°.

Den Winkel selbst gibt der Rechner nicht aus — du liest Radius und Höhe ab und bildest arctan(r/h). Alternativ geht es über die Mantellinie mit cos(α) = h / s, hier cos(α) = 8 / 8,544 ≈ 0,9363 → α ≈ 20,56°. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Praxisbeispiel Dach: Ein Turmdach mit r = 1,5 m und h = 4 m hat einen Halböffnungswinkel von arctan(1,5/4) ≈ 20,6° — fast identisch mit den Rechner-Startwerten. Der Zimmerer berechnet daraus die Dachneigung für den Holzschnitt.

Für α = 45° gilt r = h — ein gleichseitiger Querschnitt, den Architekten als besonders steiles Spitzdach einsetzen.

Ein Kegel hat genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe: V_Kegel = 1/3 · V_Zylinder. Drei identische Kegel lassen sich so in einen Zylinder stapeln, dass sie ihn vollständig ausfüllen.

Dies gilt für alle Kegelformen, auch für schiefe — nach dem Prinzip von Cavalieri zählt allein die senkrechte Höhe.

Konkret mit den Startwerten des Rechners: Der Kegel mit r = 3 cm und h = 8 cm fasst 75,40 cm³, der Zylinder mit denselben Maßen π · 9 · 8 ≈ 226,19 cm³.

Bei den Oberflächen gilt diese saubere Regel dagegen nicht: Die Kegel-Mantelfläche hängt über s von beiden Maßen ab und ist mit 80,53 cm² viel kleiner als die des Zylinders mit 2π · 3 · 8 ≈ 150,80 cm².

Merke: Beim Gießen von Beton in eine Kegelschalung reichen 33,3 % des Zylindermaterials — ein häufig unterschätzter Spareffekt beim Werkzeugbau.

Der Drittel-Faktor gilt auch für schiefe Kegel: Entscheidend ist stets die senkrechte Höhe, nicht die Lage der Spitze (Cavalieri-Prinzip).