Kegel berechnen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Mathematik

Kegelvolumen V = 1/3·π·r²·h, Mantelfläche und Seitenlänge aus Radius und Höhe berechnen.

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik

Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Juli 2026)Quelle: Kegelformeln aus der ElementargeometrieStand: Juli 2026

Kurzantwort: Radius und Höhe eingeben und Volumen, Mantelfläche und Oberfläche des Kegels berechnen.

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Kegel-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Ein Kegel ist ein Rotationskörper mit kreisförmiger Grundfläche und einer Spitze. Der Kegel-Rechner berechnet Volumen, Mantelfläche, Gesamtoberfläche, Grundfläche und die schräge Seitenlänge s (Mantellinie) aus Radius und Höhe.

Kegel begegnen uns als Eistüten, Trichter, Partyhuete, Dachspitzen oder Stahlhüte. In der Schule gehört der Kegel zum Standardthema räumliche Geometrie.

Die Volumenformel V = 1/3·π·r²·h zeigt, dass drei Kegel exakt einen Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe füllen. Die Mantelfläche M = π·r·s benötigt die Seitenlänge s = √(r² + h²), die der Rechner automatisch mit ausgibt.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Gib den Radius r der Grundfläche und die Höhe h des Kegels ein. Die Höhe ist die senkrechte Höhe von der Grundfläche bis zur Spitze, nicht die schräge Seitenlänge.

Wähle die Einheit (mm, cm oder m); alle Ergebnisse erscheinen automatisch in der korrekten abgeleiteten Einheit (cm² für Flächen, cm³ für das Volumen). Beide Eingaben müssen größer als null sein.

Wenn statt des Radius der Durchmesser bekannt ist, halbiere ihn vorher. Bei Kegelstumpf-Berechnungen (abgeschnittener Kegel) sind zusätzlich der obere Radius und die Höhe des Stumpfes erforderlich – das ist ein separater Rechnertyp.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Seitenlänge (Mantellinie): s = √(r² + h²). Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm → s = √(9 + 16) = 5 cm.

Grundflaeche: G = π · r² ≈ 28,27 cm². Mantelfläche: M = π · r · s = π · 3 · 5 ≈ 47,12 cm². Gesamtoberfläche: O = G + M ≈ 75,40 cm². Volumen: V = 1/3 · G · h = 1/3 · 28,27 · 4 ≈ 37,70 cm³. Merksatz: Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel des umschreibenden Zylinders.

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Plausibilitätsprüfung: Verdoppelst du r bei gleicher Höhe, vervierfacht sich das Volumen (r²-Abhängigkeit). Verdoppelst du h, verdoppelt sich das Volumen.

Für einen Eiskugelhalter (Eistüte): Typische Maße sind r = 3 cm, h = 12 cm. Volumen: 1/3 · π · 9 · 12 ≈ 113 cm³ ≈ 113 ml – eine Kugel Eis mit 5 cm Durchmesser fasst etwa 65 cm³, also passen theoretisch knapp zwei Kugeln hinein.

Der häufigste Schulrechenfehler: Die Seitenlänge s wird mit der Höhe h verwechselt. Wenn der Winkel an der Spitze und die Seitenlänge gegeben sind, gilt: h = s · cos(α/2), r = s · sin(α/2).

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall Sandkegel: Ein Sandhaufen mit Radius 80 cm und Höhe 60 cm hat Volumen V = 1/3 · π · 0,8² · 0,6 ≈ 0,402 m³ ≈ 400 Liter. Bei einem Schüttgewicht von Sand (ca. 1,4 t/m³) entspricht das etwa 560 kg.

Zweites Beispiel: Ein Trichter zum Befüllen von Behältern soll 2 Liter (2000 cm³) fassen. Mit r = 8 cm ergibt sich die notwendige Höhe: h = 3V / (π·r²) = 6000 / (π·64) ≈ 29,8 cm.

Fallstricke

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Fehler 1: Höhe und Seitenlänge (Mantellinie) verwechseln. Die senkrechte Höhe h und die schräge Seitenlänge s sind zwei verschiedene Maße – s = √(r² + h²) ist immer größer als h.

Fehler 2: Radius und Durchmesser verwechseln. Wenn auf Zeichnungen der Durchmesser d angegeben ist, gilt r = d/2. Fehler 3: Vergessen, dass 1/3 in der Volumenformel steht – ein Kegel ist deutlich kleiner als ein Zylinder gleicher Höhe und Basis.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Kegel-Rechner berechnet Volumen V = 1/3·π·r²·h, Mantelfläche M = π·r·s, Oberfläche O = G + M und Seitenlänge s = √(r² + h²) aus Radius und Höhe. Verwandte Rechner: Zylinder-Rechner, Pyramide-Rechner.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · Volumen ≈ 113,10 cm³

Eistüte r = 3 cm, h = 12 cm

Radius (r): 3
Höhe (h): 12

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Kegel-Rechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?

Das Volumen eines Kegels berechnet sich mit V = 1/3 · π · r² · h. Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm → V = 1/3 · π · 9 · 4 ≈ 37,70 cm³. Das Kegelvolumen ist genau ein Drittel des Zylindervolumens mit gleichem Radius und gleicher Höhe.

Was ist die Seitenlänge (Mantellinie) eines Kegels?

Die Seitenlänge s (auch Mantellinie genannt) ist der Abstand von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche, gemessen entlang der Kegeloberfläche. Sie ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: s = √(r² + h²). Für r = 3 cm, h = 4 cm gilt s = √(9 + 16) = 5 cm.

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?

Die Mantelfläche des Kegels lautet M = π · r · s, wobei s die Seitenlänge (Mantellinie) ist. Für r = 3 cm und s = 5 cm: M = π · 3 · 5 ≈ 47,12 cm². Die Mantelfläche ist die seitliche Oberfläche ohne die kreisförmige Grundfläche.

Was ist der Unterschied zwischen Höhe und Seitenlänge eines Kegels?

Die Höhe h ist die senkrechte Strecke von der Spitze bis zur Mitte der Grundfläche. Die Seitenlänge s ist die schräge Strecke von der Spitze bis zum Rand der Grundfläche. Es gilt immer s > h (und s > r). Mit dem Pythagoras-Satz: s = √(r² + h²).

Wie berechnet man die Gesamtoberfläche eines Kegels?

Die Gesamtoberfläche O = G + M = π · r² + π · r · s = π · r · (r + s). Für r = 3 cm, s = 5 cm: O = π · 3 · (3 + 5) = 24π ≈ 75,40 cm². Sie umfasst die Grundfläche (Kreis) und die Mantelfläche.

Wofür braucht man Kegelberechnungen im Alltag?

Typische Anwendungen: Fassungsvermögen von Eistüten und Trichtern, Abtragsvolumen von Bohrkernen in der Geologie, Kegelgeometrie bei Düsen und Ventilen, Dachgauben mit Kegeldach sowie Berechnungen für Schüttgut (Sandkegel auf einer Baustelle).

Wie berechne ich den Öffnungswinkel eines Kegels?

Der Halböffnungswinkel α (von der Achse bis zur Mantellinie) berechnet sich aus tan(α) = r / h. Für r = 3 cm, h = 4 cm: α = arctan(3/4) ≈ 36,87°. Der volle Öffnungswinkel (Spitzenwinkel) ist 2α ≈ 73,74°.

Wie verhält sich das Kegelvolumen zu dem eines Zylinders gleicher Maße?

Ein Kegel hat genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleichem Radius und gleicher Höhe: V_Kegel = 1/3 · V_Zylinder. Drei identische Kegel lassen sich so in einen Zylinder stapeln, dass sie ihn vollständig ausfüllen. Dies gilt für alle Kegelformen.

Weiterführende Rechner und Themen

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