Dreiecksrechner: Seiten, Winkel, Fläche und Umfang berechnen

Wähle den Modus SSS und gib die drei Seiten ein, zum Beispiel a = 3, b = 4 und c = 5. Der Rechner bestimmt die Winkel über den Kosinussatz: cos(α) = (b² + c² − a²) ÷ (2·b·c). Für das 3-4-5-Dreieck ergibt das α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13° und γ = 90°.

Anschließend liefert der Satz des Heron die Fläche von 6 und der Umfang beträgt 12. Voraussetzung ist die Dreiecksungleichung: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen.

Erst wenn diese Bedingung erfüllt ist, existiert ein gültiges Dreieck und der Rechner gibt ein Ergebnis aus.

In der Praxis taucht das 3-4-5-Dreieck oft im Bau auf, um rechte Winkel zu prüfen: Wer 3 m, 4 m und 5 m am Fundament absteckt, erhält exakt 90°.

Der Rechner eignet sich auch für Grundstücksmessungen, bei denen nur drei Abstände vorliegen, aber alle Winkel gesucht werden. Außerdem ist der Satz des Pythagoras a² + b² = c² ein Sonderfall des Kosinussatzes für γ = 90°.

Aus drei Seiten nutzt der Rechner den Satz des Heron. Zuerst wird der halbe Umfang s = (a + b + c) ÷ 2 gebildet, danach gilt A = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)).

Beispiel: Bei a = 40 m, b = 35 m und c = 25 m ist s = 50 m, also A = √(50·10·15·25) = √187500 ≈ 433 m². Kennst du Grundlinie und zugehörige Höhe, geht es einfacher über A = Grundlinie × Höhe ÷ 2.

Entscheidend ist dabei die senkrechte Höhe zur Grundlinie, nicht eine schräge Seitenkante. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, wenn die Höhe korrekt lotrecht gemessen ist.

In der Schule wird die Flächenformel oft am rechtwinkeligen Dreieck eingeführt: Zwei Katheten dienen als Grundlinie und Höhe, etwa 6 cm und 8 cm ergeben 24 cm².

Im Außenbereich lässt sich so auch die Fläche eines dreieckigen Rasenstücks bestimmen, wenn ein Zollstock lediglich die drei Grenzlinien abgreift. Das Rechner-Ergebnis erscheint in der gleichen Einheit wie die Eingabe, also m² bei Meterangaben.

Die vier Kürzel beschreiben, welche drei Größen bekannt sind.

SSS steht für drei Seiten, SWS für zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel dazwischen, WSW für zwei Winkel mit der Seite zwischen ihnen und SSW für zwei Seiten mit einem gegenüberliegenden Winkel.

Jede dieser Kombinationen legt ein Dreieck grundsätzlich fest – mit einer Ausnahme: SSW kann in bestimmten Fällen zwei verschiedene Dreiecke zulassen. Der jeweils passende Rechenweg ergibt sich automatisch aus dem gewählten Modus.

Wähle also zuerst den Modus, der zu deinen bekannten Angaben passt, und fülle danach nur die dafür nötigen Felder aus.

Ein praktisches Beispiel für SWS ist ein Dachgiebel, bei dem beide Dachschrägen und der eingeschlossene Firstwinkel von 110° bekannt sind.

WSW passt dagegen für ein Landvermessungsszenario, wo zwei Richtungswinkel zu einem Punkt und die Basisstrecke zwischen den Messstellen vorliegen.

Zögere beim SSW-Modus kurz: Falls du a, b und α eingibst, prüfe vorab mit einer Skizze, ob eine oder zwei Lösungen geometrisch möglich sind.

Der Kosinussatz hilft, wenn du drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (SWS) kennst. Er lautet c² = a² + b² − 2·a·b·cos(γ) und lässt sich auch nach den Winkeln umstellen.

Der Sinussatz a ÷ sin(α) = b ÷ sin(β) = c ÷ sin(γ) ist dagegen der richtige Weg, wenn ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind, wie bei WSW und SSW. Der Rechner wählt den passenden Satz automatisch anhand des Modus.

Als Faustregel gilt: Fehlt eine Seite zwischen zwei bekannten Seiten, nimm den Kosinussatz; geht es um Seiten-Winkel-Paare, ist der Sinussatz zuständig.

Konkret: Bei a = 8 cm, b = 6 cm und γ = 60° ergibt der Kosinussatz c² = 64 + 36 − 48 = 52, also c ≈ 7,21 cm. Willst du danach Winkel α bestimmen, wechselt der Rechner automatisch zum Sinussatz.

Dieses Zusammenspiel beider Sätze ist typisch für Aufgaben in der Geodäsie, etwa beim Abstecken von Grundstücksgrenzen aus zwei Messpunkten.

Prüfe die Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss stets größer sein als die dritte Seite. Die Seiten 2, 3 und 10 bilden also kein Dreieck, weil 2 + 3 = 5 kleiner als 10 ist – die kurzen Seiten reichen nicht zusammen.

Die Seiten 5, 6 und 7 dagegen erfüllen die Bedingung (5 + 6 > 7) und ergeben ein gültiges Dreieck. Der Rechner prüft diese Regel automatisch und gibt kein Ergebnis aus, wenn sie verletzt ist.

Ein leeres oder null-Ergebnis ist deshalb meist ein Hinweis auf eine unmögliche Seitenkombination oder auf gemischte Einheiten in der Eingabe.

Das Grenzgebilde, bei dem eine Seite genau gleich der Summe der anderen beiden ist, nennt sich entartetes Dreieck und fällt auf eine Gerade zusammen. Der Rechner zeigt in diesem Fall ebenfalls kein Ergebnis, da Winkel und Fläche nicht definiert sind.

Beim Arbeiten mit Maßeinheiten aus der Praxis – etwa Kilometer für Landkarten – sollten alle drei Seiten vor der Eingabe auf dieselbe Einheit umgerechnet werden.

Wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel bekannt sind (SSW), kann es manchmal zwei gültige Dreiecke geben – ein spitzwinkliges und ein stumpfwinkliges.

Der Sinussatz liefert für sin(β) nämlich zwei mögliche Winkel, deren Summe 180° ergibt, etwa 40° und 140°. Beide können je nach Restwinkel zu einem echten Dreieck führen. Der Rechner gibt hier die spitzwinklige Lösung aus.

Ob in deiner Aufgabe die andere Variante gemeint ist, entscheidest du am besten mit einer Skizze. In vielen Praxisfällen ist durch die Aufgabenstellung ohnehin nur eine Lösung sinnvoll, etwa wenn eine der Seiten deutlich länger ist.

Konkret tritt der zweideutige Fall auf, wenn die gegebene Seite a kürzer ist als b, aber dennoch länger als b·sin(α).

Stell dir vor, du misst bei einer Dreiecksparzelle a = 5 m, b = 8 m und α = 30°: Dann gibt es zwei Möglichkeiten für den gegenüberliegenden Winkel β, nämlich etwa 53° und 127°.

Zeichne beide Varianten maßstabsgetreu, um zu entscheiden, welche mit deiner tatsächlichen Situation übereinstimmt.

Alle drei Größen leiten sich aus Fläche und Seiten ab. Die Höhe auf eine Seite ergibt sich aus hₐ = 2·A ÷ a – bei einer Fläche von 6 und Seite a = 3 also hₐ = 4.

Der Inkreisradius, also der Radius des größten einbeschriebenen Kreises, folgt aus r = A ÷ s mit dem halben Umfang s; beim 3-4-5-Dreieck ist r = 6 ÷ 6 = 1.

Der Umkreisradius, auf dessen Kreis alle drei Ecken liegen, berechnet sich über R = (a·b·c) ÷ (4·A), hier R = 60 ÷ 24 = 2,5. Diese Werte sind praktisch für Konstruktionen, Passungen und geometrische Beweise.

In der Praxis braucht man den Inkreisradius bei der Auslegung von Passteilen, die flächenbündig in eine dreieckige Aussparung gesetzt werden.

Der Umkreisradius ist in der Navigation nützlich, wenn drei Bojenstandorte bekannt sind und der Mittelpunkt des kleinsten umhüllenden Kreises gesucht wird. Für alle drei Höhen zusammen gilt stets: 1/hₐ + 1/h_b + 1/h_c = 1/r mit dem Inkreisradius r.

Das Ergebnis benennt die Art nach zwei Kriterien. Nach den Winkeln ist ein Dreieck spitzwinklig (alle Winkel unter 90°), rechtwinklig (ein Winkel genau 90°) oder stumpfwinklig (ein Winkel über 90°).

Nach den Seiten ist es gleichseitig (drei gleiche Seiten und drei 60°-Winkel), gleichschenklig (zwei gleiche Seiten und zwei gleiche Winkel) oder unregelmäßig. Ein 3-4-5-Dreieck ist demnach rechtwinklig und unregelmäßig.

Diese Einordnung ist mehr als Etikett: Sie dient als schnelle Kontrolle. Erwartest du zum Beispiel ein gleichschenkliges Dreieck, im Ergebnis erscheint aber „unregelmäßig”, stimmt vermutlich eine Eingabe nicht.

Gleichseitige Dreiecke spielen in der Technik eine besondere Rolle: Sie treten in Bienenwaben, Gitterträgern und regulären Pflastermustern auf.

Ein gleichschenkliges Dreieck mit zwei Seiten von je 10 cm und einer Basis von 12 cm hat demnach Basiswinkel von 53,13° und einen Spitzenwinkel von 73,74°.

Der Rechner gibt für jedes Ergebnis automatisch die Dreiecksklasse aus, was bei der Lernkontrolle nach einem Linealtest sofort Rückmeldung gibt.