Dreieck berechnen: Seiten, Winkel, Fläche und Umfang

Ein Dreieck berechnest du, indem du drei zusammenpassende Größen eingibst und der Rechner den Rest über Kosinussatz, Sinussatz und die Winkelsumme 180° ermittelt.

Wähle je nach bekannten Werten den Modus SSS (drei Seiten), SWS (zwei Seiten mit eingeschlossenem Winkel), WSW (zwei Winkel mit der Seite dazwischen) oder SSW (zwei Seiten mit einem gegenüberliegenden Winkel).

Für das Standardbeispiel mit den Seiten a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm liefert der Kosinussatz die Winkel 36,87°, 53,13° und 90°, danach ergibt der Satz des Heron eine Fläche von 6 cm² bei einem Umfang von 12 cm.

Trage die Werte in den zur gewählten Kombination passenden Feldern ein – nicht ausgefüllte Felder aus anderen Modi bleiben unberücksichtigt.

Voraussetzung für ein gültiges Ergebnis ist die Dreiecksungleichung: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen, sonst zeigt der Rechner nur einen Gedankenstrich bei der Dreiecksart.

Handwerker nutzen das etwa beim Fundamentabstecken mit 3 m, 4 m und 5 m, um exakt einen rechten Winkel zu kontrollieren, während Vermessungsaufgaben häufiger den WSW- oder SSW-Weg über zwei Winkel benötigen.

Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit drei bekannten Seiten ergibt sich aus der Formel von Heron: Zuerst bildest du den halben Umfang s = (a + b + c) ÷ 2, danach gilt A = √(s·(s−a)·(s−b)·(s−c)).

Für ein Grundstücksdreieck mit a = 40 m, b = 35 m und c = 25 m ist s = 50 m, also A = √(50·10·15·25) = √187.500 ≈ 433,01 m² bei einem Umfang von 100 m.

Wähle im Rechner den Modus SSS und trage nur die drei Seiten ein – du brauchst keinen einzigen Winkel, was die Methode im Gelände besonders robust macht, weil sich Längen mit dem Maßband zuverlässiger messen lassen als Winkel.

Kennst du stattdessen Grundlinie und die zugehörige, senkrecht stehende Höhe, geht es einfacher über A = Grundlinie × Höhe ÷ 2; beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, wenn die Höhe korrekt lotrecht gemessen wurde.

Voraussetzung bleibt in jedem Fall die Dreiecksungleichung – verletzen die drei Seiten sie, liefert auch die Heron-Formel keine gültige Fläche, sondern der Rechner zeigt 0 cm² an, bis die Eingabe korrigiert wird.

SSS, SWS, WSW und SSW beschreiben, welche drei Größen eines Dreiecks du bereits kennst, bevor du rechnest.

SSS steht für drei bekannte Seiten, SWS für zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel dazwischen, WSW für zwei Winkel mit der Seite zwischen ihnen und SSW für zwei Seiten mit einem der Seite a gegenüberliegenden Winkel α.

Jede dieser vier Kombinationen legt ein Dreieck über die Kongruenzsätze eindeutig fest – mit einer Ausnahme: SSW kann in bestimmten Fällen zwei unterschiedliche Dreiecke zulassen, den sogenannten zweideutigen Fall.

Wähle im Rechner zuerst den passenden Modus, denn davon hängt ab, welche der sechs Felder a, b, c, α, β und γ tatsächlich ausgewertet werden; die übrigen bleiben stumm, auch wenn du sie ausfüllst.

Ein Dachgiebel mit beiden Dachschrägen und dem eingeschlossenen Firstwinkel von 110° ist ein typisches SWS-Beispiel, während eine Landvermessung mit zwei Richtungswinkeln und der Basisstrecke dazwischen dem WSW-Fall entspricht.

Verwechselst du den eingeschlossenen mit einem nicht eingeschlossenen Winkel, liefert der Kosinussatz ein falsches, aber formal berechnetes Ergebnis ohne Fehlermeldung.

Der Kosinussatz ist die richtige Wahl, wenn du drei Seiten (SSS) oder zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel (SWS) kennst; er lautet c² = a² + b² − 2·a·b·cos(γ) und lässt sich nach jedem Winkel umstellen.

Der Sinussatz a ÷ sin(α) = b ÷ sin(β) = c ÷ sin(γ) übernimmt dagegen, sobald ein Winkel und die gegenüberliegende Seite bekannt sind, also bei WSW und SSW.

Der Rechner wählt automatisch die passende Formel anhand deines gewählten Modus, du musst also nur den Modus richtig setzen.

Ein Beispiel: Bei a = 6 cm, b = 8 cm und dem eingeschlossenen Winkel γ = 60° liefert der Kosinussatz c² = 36 + 64 − 48 = 52, also c ≈ 7,21 cm, eine Fläche von rund 20,78 cm² und einen Umfang von 21,21 cm.

Als Faustregel gilt: Fehlt eine Seite zwischen zwei bekannten Seiten, ist der Kosinussatz zuständig; geht es um Seiten-Winkel-Paare an unterschiedlichen Ecken, übernimmt der Sinussatz.

Ohne diese Zuordnung vertauschst du leicht Formeln und erhältst ein falsches Ergebnis, ohne dass eine Warnung erscheint.

Drei Seiten bilden nur dann ein gültiges Dreieck, wenn die Summe zweier Seiten stets größer ist als die dritte Seite – das ist die Dreiecksungleichung.

Die Seiten 2, 3 und 10 erfüllen sie nicht, weil 2 + 3 = 5 kleiner als 10 ist; der Rechner liefert in diesem Fall keinen Fehlertext, sondern setzt Fläche, Umfang, Höhen sowie In- und Umkreisradius auf 0 und zeigt bei der Dreiecksart nur einen Gedankenstrich.

Die Seiten 5, 6 und 7 dagegen erfüllen die Bedingung (5 + 6 > 7) und ergeben ein reguläres Dreieck. Prüfe die Regel deshalb für alle drei möglichen Summen, nicht nur für die beiden kürzesten Seiten gegen die längste.

Der Grenzfall, bei dem eine Seite exakt der Summe der beiden anderen entspricht, heißt entartetes Dreieck: Es fällt auf eine Gerade zusammen, Winkel und Fläche sind nicht definiert, und der Rechner zeigt ebenfalls kein Ergebnis.

Achte bei der Eingabe außerdem darauf, alle drei Seiten in derselben Einheit anzugeben, denn eine vermeintlich verletzte oder erfüllte Ungleichung ist bei gemischten Einheiten wie Metern und Zentimetern reine Zufälligkeit.

Der zweideutige Fall tritt im Modus SSW auf, wenn zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel zu zwei unterschiedlichen, aber beide gültigen Dreiecken führen können – einem spitzwinkligen und einem stumpfwinkligen.

Bei den Eingaben a = 5 cm, b = 8 cm und α = 30° liefert der Sinussatz für den Winkel β rechnerisch zwei mögliche Lösungen, nämlich rund 53,13° und deren Ergänzung auf 180°, also etwa 126,87°; beide Werte ergeben zusammen mit α ein positives γ und damit ein echtes Dreieck.

Der Rechner gibt die Lösung mit β ≈ 53,13°, γ ≈ 96,87°, einer Fläche von rund 19,86 cm² und der Dreiecksart „stumpfwinklig, unregelmäßig“ aus, weil γ mit knapp 97° der größte Winkel ist.

Ob in deiner Aufgabe stattdessen die zweite Lösung gemeint ist, lässt sich nur mit einer maßstabsgetreuen Skizze entscheiden, denn beide Varianten erfüllen dieselben Eingabewerte.

Der zweideutige Fall tritt konkret dann auf, wenn die gegebene Seite a kürzer als b, aber länger als b · sin(α) ist; ist a kürzer als dieser Grenzwert, existiert überhaupt kein Dreieck, und der Rechner zeigt kein Ergebnis.

Höhen, Inkreisradius und Umkreisradius leitet der Rechner direkt aus Fläche und Seiten ab. Die Höhe auf eine Seite ergibt sich aus hₐ = 2·A ÷ a; bei der Fläche 6 cm² und Seite a = 3 cm im 3-4-5-Dreieck ist hₐ = 4 cm, h_b = 3 cm und h_c = 2,4 cm.

Der Inkreisradius – der Radius des größten Kreises, der innen alle drei Seiten berührt – folgt aus der Formel r = A ÷ s mit dem halben Umfang s; beim 3-4-5-Dreieck ist r = 6 ÷ 6 = 1 cm.

Der Umkreisradius, auf dem alle drei Ecken liegen, ergibt sich aus R = (a·b·c) ÷ (4·A), hier R = 60 ÷ 24 = 2,5 cm.

Bei einem gleichschenkligen Dreieck mit den Seiten 10 cm, 10 cm und 12 cm liefert derselbe Rechenweg eine Fläche von 48 cm², einen Inkreisradius von 3 cm und einen Umkreisradius von 6,25 cm.

Wichtig: Prüfe zuerst, ob die Fläche gültig ist, denn alle drei Größen bauen darauf auf – ist die Dreiecksungleichung verletzt, bleiben Höhen sowie Inkreis- und Umkreisradius nicht berechenbar und stehen bei 0.

Der Rechner klassifiziert jedes gültige Ergebnis nach zwei unabhängigen Kriterien: den Winkeln und den Seiten.

Nach den Winkeln ist ein Dreieck spitzwinklig, wenn alle drei Winkel unter 90° liegen, rechtwinklig bei genau einem 90°-Winkel und stumpfwinklig, sobald ein Winkel über 90° liegt.

Nach den Seiten unterscheidet er gleichseitig (alle drei Seiten und alle Winkel mit 60° gleich), gleichschenklig (zwei gleiche Seiten und zwei gleiche Basiswinkel) und unregelmäßig.

Das 3-4-5-Dreieck ist demnach „rechtwinklig, unregelmäßig“, ein Dreieck mit den Seiten 6 cm, 6 cm und 6 cm dagegen „spitzwinklig, gleichseitig“ mit drei 60°-Winkeln und einer Fläche von 15,59 cm².

Ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten 10 cm, 10 cm und 12 cm ergibt „spitzwinklig, gleichschenklig“ mit den Basiswinkeln 53,13° und dem Spitzenwinkel 73,74°.

Nutze die Klassifikation als schnelle Kontrolle: Erwartest du ein gleichschenkliges Dreieck, zeigt das Ergebnis aber „unregelmäßig“, stimmt vermutlich eine Eingabe nicht.

Ohne ein gültiges Dreieck – etwa bei verletzter Dreiecksungleichung – bleibt das Feld bei einem bloßen Gedankenstrich.

Den Umfang eines Dreiecks mit einer unbekannten Seite berechnest du, indem du die fehlende Seite zuerst über Kosinus- oder Sinussatz bestimmst und anschließend alle drei Seiten addierst: U = a + b + c.

Bei zwei Seiten a = 6 cm, b = 8 cm und dem eingeschlossenen Winkel γ = 60° ermittelt der Kosinussatz zunächst c ≈ 7,21 cm, danach ergibt sich der Umfang zu 6 + 8 + 7,21 ≈ 21,21 cm.

Kennst du stattdessen zwei Winkel und eine Seite, etwa α = 40°, β = 60° und c = 10 cm, liefert der Sinussatz a ≈ 6,53 cm und b ≈ 8,79 cm, macht zusammen einen Umfang von rund 25,32 cm.

Wähle dafür im Rechner nur den zur Aufgabe passenden Modus (SWS oder WSW), statt die fehlende Seite von Hand vorzurechnen – der Rechner übernimmt automatisch die passende Formel.

Fehlt dagegen eine Seite bei drei gegebenen Größen im SSS-Modus, prüfe zuerst, ob wirklich alle drei Seiten bekannt sind, denn sonst passt ein anderer Modus besser zur Aufgabenstellung.

Ein rechtwinkliges Dreieck erkennst du daran, dass genau einer der drei Winkel exakt 90° beträgt; im Ergebnis zeigt der Rechner das als Dreiecksart „rechtwinklig“ an.

Pythagoreische Zahlentripel sind Sonderfälle mit ganzzahligen Seiten, die a² + b² = c² exakt erfüllen, etwa 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 oder 7-24-25.

Prüfst du das 3-4-5-Dreieck im Modus SSS, liefert der Kosinussatz die Winkel 36,87°, 53,13° und 90° sowie eine Fläche von 6 cm²; das größere Tripel 5-12-13 ergibt bei gleicher Rechnung 22,62°, 67,38° und 90° mit einer Fläche von 30 cm².

Nutze diese Tripel als schnellen Test, ob eine Messung im rechten Winkel liegt – etwa beim Abstecken eines Fundaments mit 3 m, 4 m und 5 m, wobei die Diagonale exakt 5 m betragen muss, sonst ist die Ecke nicht rechtwinklig.

Der Satz des Pythagoras a² + b² = c² ist dabei nichts anderes als der Kosinussatz für den Sonderfall γ = 90°, weil cos(90°) = 0 den letzten Term der Formel verschwinden lässt.

Weitere pythagoreische Tripel mit Kathetensatz-Nachweis liefert der Pythagoras-Rechner.