Zahlen runden: Rechner für Stellen, Zehner und Regeln

Nach der kaufmännischen Regel, die in der Schule gelehrt wird und die § 14 des Beamtenversorgungsgesetzes für den Ruhegehaltssatz vorschreibt, wird bei einer 5 als erster wegfallender Ziffer aufgerundet: 12,345 auf zwei Nachkommastellen ergibt 12,35.

Bei den Ziffern 0 bis 4 wird abgerundet, bei 5 bis 9 aufgerundet.

Die zweite verbreitete Regel, die Gerade-Zahl-Regel, rundet nur dann zur geraden Ziffer, wenn auf die 5 nichts mehr folgt: 12,345 wird zu 12,34, 12,355 aber zu 12,36, weil die 5 davor ungerade ist.

Folgt auf die 5 noch eine Ziffer ungleich null, etwa bei 12,3451, wird in beiden Verfahren aufgerundet. Stelle im Rechner das „Rundungsverfahren“ ein und lies in der Tabelle ab, ob die fünf Verfahren bei deiner Zahl dasselbe Ergebnis liefern.

Für Verträge, Rechnungen und Formulare gilt das Verfahren, das dort vorgeschrieben ist; fehlt eine Vorgabe, nimm das kaufmännische und notiere es.

Beim kaufmännischen Runden schaust du auf die erste Ziffer, die wegfällt, die Folgeziffer. Ist sie eine 0, 1, 2, 3 oder 4, bleibt die letzte beibehaltene Ziffer unverändert, das ist das Abrunden.

Ist sie eine 5, 6, 7, 8 oder 9, erhöhst du die letzte beibehaltene Ziffer um eins, das ist das Aufrunden. 3,14159 auf drei Stellen: Die Folgeziffer ist eine 5, danach folgen weitere Ziffern, das Ergebnis ist 3,142.

Auf zwei Stellen ist die Folgeziffer eine 1, das Ergebnis ist 3,14. Bei negativen Zahlen rundest du den Betrag und setzt das Minuszeichen wieder davor, aus −2,5 wird so −3.

Wichtig ist, immer vom Originalwert aus zu runden und nicht schrittweise über mehrere Stellen. Im Rechner ist das kaufmännische Verfahren vorgewählt, und du siehst Rundungsstelle, Folgeziffer und Fehler im Ergebnis.

Prüfe zum Schluss, ob das Ergebnis höchstens eine halbe Einheit neben der Ausgangszahl liegt.

Beide Verfahren stimmen in fast allen Fällen überein und unterscheiden sich nur, wenn der wegfallende Rest genau die Mitte ist, also eine 5 ohne weitere Ziffern. Kaufmännisch wird dann immer aufgerundet, bei negativen Zahlen weg von null.

Mathematisch, nach der Gerade-Zahl-Regel, die auch der Standard IEEE 754 als roundTiesToEven vorsieht, wird so gerundet, dass die letzte beibehaltene Ziffer gerade wird.

Auf ganze Zahlen ergibt 0,5 kaufmännisch 1 und mathematisch 0, 1,5 ergibt in beiden Verfahren 2, 2,5 kaufmännisch 3 und mathematisch 2.

Das mathematische Verfahren vermeidet, dass viele Mitte-Fälle systematisch nach oben wandern und eine Messreihe verzerren. Kaufmännisch ist im Zahlungsverkehr üblich.

Im Rechner zeigt die Spalte „Abweichung“ der Tabelle, welches Verfahren bei deiner Zahl wie weit danebenliegt, und der Hinweis nennt die Mitte-Lage ausdrücklich.

Rechne in Verträgen immer mit dem dort vereinbarten Verfahren und halte es schriftlich fest.

Beim Runden auf Hunderter schaust du auf die Zehnerstelle, beim Runden auf Tausender auf die Hunderterstelle. Sie ist die Folgeziffer: 0 bis 4 rundet ab, 5 bis 9 rundet auf, und die Stellen rechts davon werden durch Nullen ersetzt.

1.234,5678 auf Hunderter ergibt 1.200, denn die Zehnerstelle ist eine 3. 1.567 auf Hunderter ergibt 1.600, denn die Zehnerstelle ist eine 6.

1.500 auf Tausender ergibt kaufmännisch 2.000, weil die Hunderterstelle genau 5 ist und nichts folgt, nach der Gerade-Zahl-Regel ebenfalls 2.000, weil die 1 ungerade ist, während 2.500 mathematisch 2.000, kaufmännisch aber 3.000 ergibt.

Im Rechner wählst du „Zehner, Hunderter, Tausender …“ und danach die Stelle im Feld „Runden auf“, bis zur Million. Die Tabelle zeigt dieselbe Zahl auch auf andere Stellen, von Hunderter bis Zehntausendstel.

Prüfe vor dem Übernehmen, ob die Rundungsstelle zur Genauigkeit deiner Ausgangsdaten passt.

Signifikante Stellen zählen ab der ersten Ziffer, die nicht null ist. Führende Nullen zählen nicht, endende Nullen hinter dem Komma schon.

DIN 1333 definiert die signifikanten Stellen als Ziffern von der ersten von null verschiedenen Stelle bis zur Rundungsstelle.

1.234,5678 auf drei signifikante Stellen ergibt 1.230, denn die erste Ziffer ist die 1, die dritte die 3, und die Folgeziffer 4 rundet ab. 0,012345 auf zwei signifikante Stellen ergibt 0,012, nicht 0,01.

Bei einem Übertrag wie 9,96 auf zwei Stellen entsteht 10, weil 9,96 knapp unter 10 liegt. Signifikante Stellen eignen sich für Messwerte, deren Genauigkeit begrenzt ist, weil der relative Fehler bei gleicher Stellenzahl ähnlich bleibt.

Im Rechner wählst du „Signifikante Stellen“ und trägst die Zahl der Stellen von 1 bis 10 ein. Runde Messwerte nie genauer, als das Messgerät es hergibt, und gib die Stellenzahl im Protokoll an.

Beim kaufmännischen Runden wird der Betrag der Zahl gerundet und das Vorzeichen bleibt erhalten. Aus −2,4 wird −2, aus −2,5 wird −3 und aus −2,6 wird −3. Bei genau 5 geht es also weg von null.

Die Wörter aufrunden und abrunden sind bei negativen Zahlen doppeldeutig, darum legt der Rechner sie fest: Aufrunden geht zur größeren Zahl, −2,5 wird zu −2, Abrunden geht zur kleineren Zahl, −2,5 wird zu −3.

Abschneiden lässt die Stellen weg und führt in Richtung null, −2,5 ergibt −2. Nach der Gerade-Zahl-Regel wird −2,5 zu −2 und −3,5 zu −4. Diese Festlegung entspricht den Modi CEILING, FLOOR und DOWN der Java-Dokumentation.

Rundet eine kleine negative Zahl wie −0,4 auf eine ganze Zahl, zeigt der Rechner 0 statt −0. Prüfe bei Verträgen, welche Richtung vereinbart ist, und schreibe sie ausdrücklich dazu, damit niemand −2,5 einmal als −2 und einmal als −3 liest.

Python und JavaScript speichern 2,675 als Binärzahl, und die ist nicht exakt 2,675, sondern liegt knapp darunter. Deshalb liefert round(2.675, 2) in Python den Wert 2,67; die Python-Dokumentation nennt dieses Beispiel ausdrücklich.

In JavaScript gibt (2.675).toFixed(2) ebenfalls 2,67 aus, und Math.round(1.005 * 100) / 100 ergibt 1 statt 1,01. Der Rechner vermeidet das, indem er die eingegebene Zahl in ihrer kürzesten Dezimalschreibweise liest und mit ganzen Zahlen rechnet.

2,675 auf zwei Stellen ergibt deshalb 2,68, 1,005 ergibt 1,01. Wenn du selbst programmierst, nutze für Geldbeträge einen Dezimaltyp wie decimal in Python oder BigDecimal in Java oder rechne in ganzen Cent.

Vergleiche dein Programm mit dem Rechner, bevor du Beträge ausgibst oder Rechnungen erzeugst. Teste dabei die Mitte-Fälle wie 0,125, 0,375, 1,005 und 2,675, denn dort fallen Fehler zuerst auf.

Ein Test mit mindestens zehn solcher Werte lohnt sich, sobald Beträge verbindlich ausgegeben werden. Dokumentiere das Ergebnis im Projekt.

Beim Runden zum nächstgelegenen Wert, also kaufmännisch und mathematisch, beträgt der Rundungsfehler höchstens eine halbe Einheit der Rundungsstelle. Auf zwei Nachkommastellen sind das 0,005, auf Hunderter 50.

Bei Aufrunden, Abrunden und Abschneiden kann der Fehler bis zu einer vollen Einheit betragen, auf zwei Stellen also 0,01. 12,345 auf zwei Stellen weicht um 0,005 ab, das sind 0,0405 Prozent.

Der relative Fehler hängt von der Größe der Zahl ab: 0,012345 auf zwei Nachkommastellen ergibt 0,01 mit 19 Prozent Fehler, auf zwei signifikante Stellen 0,012 mit 2,795 Prozent. Der Rechner zeigt Fehler absolut und relativ im Ergebnis.

Für Summen gilt: Rundest du erst die Summe, entsteht nur ein Fehler von höchstens einer halben Einheit.

Mehrere gerundete Posten können sich aufsummieren: vier Posten, die kaufmännisch je einen halben Cent aufrunden, ergeben eine Summe, die 2 Cent über der exakten liegt.