Quersumme berechnen: Einfache, iterierte und alternierende Quersumme

Teilbarkeitsregeln zeigen ohne Division, ob eine Zahl restlos durch einen bestimmten Wert aufgeht: Durch 2 ist sie teilbar, wenn die letzte Ziffer gerade ist, durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet, und durch 10, wenn sie auf 0 endet.

Für 3 und 9 zählt die Quersumme, die dieser Rechner direkt prüft: Bei 4.347 ergibt sich die Quersumme 18, und weil 18 durch 9 teilbar ist, ist es auch 4.347 (4.347 : 9 = 483).

Durch 4 ist eine Zahl teilbar, wenn ihre letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind, durch 8, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.

Durch 6 und 12 teilbar ist eine Zahl, wenn zwei einfachere Regeln gleichzeitig zutreffen (6 = 2 und 3, 12 = 3 und 4).

Nur für 7 gibt es keine Ziffernregel wie bei 3 oder 9, hier hilft nur die vollständige Division oder eine Wechselrechnung mit der letzten Ziffer.

Eine vollständige Tabelle mit einem nachgerechneten Beispiel je Teiler steht weiter oben auf dieser Seite.

Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe aller ihrer Ziffern: Bei 1.234 also 1 + 2 + 3 + 4 = 10, bei 456 entsprechend 4 + 5 + 6 = 15.

Mathematisch gilt für jede ganze Zahl n die Kongruenz n ≡ Q(n) (mod 9), eine Zahl und ihre Quersumme sind also immer kongruent modulo 9.

Daraus folgt die bekannteste Teilbarkeitsregel: Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist, dasselbe gilt für den Divisor 3.

Neben dieser einfachen Quersumme gibt es die iterierte Quersumme (auch digitale Wurzel genannt), die so lange wiederholt wird, bis nur noch eine einzige Ziffer übrig bleibt, sowie die alternierende Quersumme für die Teilbarkeit durch 11.

In Schule und kaufmännischer Praxis dient die Quersumme vor allem als schneller Teilbarkeits- und Plausibilitätstest, etwa um zu prüfen, ob 3.456 durch 9 teilbar ist (3+4+5+6 = 18, 1+8 = 9 – ja).

Der Quersummen-Rechner oben berechnet alle drei Varianten mit einem Klick.

Man addiert alle Ziffern der Zahl: Für 5.487 ergibt sich 5 + 4 + 8 + 7 = 24. Wichtig ist, jede Null mitzuzählen, auch wenn sie den Wert nicht erhöht – bei 5.037 lautet die Quersumme 5 + 0 + 3 + 7 = 15, nicht 5 + 3 + 7.

Bleibt ein mehrstelliges Ergebnis übrig, wiederholt man den Vorgang (iterierte Quersumme): Aus 24 wird so 2 + 4 = 6. Die Reihenfolge der Ziffern spielt dabei keine Rolle, weil nur addiert wird – 5.487 und 8.745 haben dieselbe Quersumme 24.

Das macht die Berechnung auch im Kopf schnell und fehlerarm, gerade bei der schulischen Neunerprobe oder einer Kassenkontrolle. Für 9.999 etwa ergibt sich 9 + 9 + 9 + 9 = 36, iteriert 3 + 6 = 9 – ein klarer Hinweis auf Teilbarkeit durch 9.

Der Quersummen-Rechner oben zeigt zusätzlich zur einfachen immer auch die iterierte und die alternierende Quersumme sowie alle Zwischenschritte an.

Für die Geburtsdatum-Quersumme liest man Tag, Monat und Jahr ohne Punkte als eine einzige Zahl und addiert deren Ziffern: Aus dem 17.09.1990 wird 17091990, die Quersumme lautet 1+7+0+9+1+9+9+0 = 36.

Iteriert man weiter, ergibt sich aus 36 die einstellige Zahl 3+6 = 9 – in der Numerologie als „Lebenszahl“ bezeichnet.

Wichtig: Dieser letzte Deutungsschritt ist reine Zahlenspielerei und nicht wissenschaftlich belegt, anders als die Teilbarkeitsregeln, die auf der belegbaren Kongruenz modulo 9 beruhen.

Mathematisch nachvollziehbar bleibt trotzdem jeder Rechenschritt: Der Quersummen-Rechner oben liefert für 17091990 automatisch die Zwischenwerte 36 und 9 sowie zusätzlich die Teilbarkeit durch 3 und 9 (beide „Ja“, weil 36 durch beide teilbar ist).

Wer die Geburtsdatums-Quersumme selbst prüfen will, kann zum Beispiel die Ziffernfolge ohne Trennzeichen in das Eingabefeld eintragen und Quersumme sowie iterierte Quersumme direkt ablesen.

Ein einheitliches, internationell genormtes Symbol für die Quersumme gibt es nicht.

In deutschen Lehrbüchern und auf dieser Seite wird sie meist als Q(n) geschrieben, gelegentlich auch als q(n) für die iterierte Quersumme oder digitale Wurzel; im Englischen heißt der Begriff „digit sum“ und wird oft als S(n) abgekürzt.

Ein Beispiel für die Notation: Q(4.347) = 18 bedeutet, dass die Quersumme von 4.347 gleich 18 ist.

Für die alternierende Quersumme, die bei der Teilbarkeit durch 11 hilft, existiert ebenfalls kein festes Symbol; in Formeln wird sie meist ausgeschrieben oder mit A(n) bezeichnet.

Anders als bei festen Konstanten wie π oder e hat sich bei der Quersumme in unterschiedlichen Lehrwerken keine einheitliche Kurzschreibweise durchgesetzt, weshalb Aufgabenstellungen die verwendete Notation meist einleitend definieren.

Der Quersummen-Rechner oben verzichtet deshalb bewusst auf Symbole und benennt jedes Ergebnis ausgeschrieben (Einfache Quersumme, Alternierende Quersumme, Iterierte Quersumme).

Ohne festen Zahlbereich lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten, weil es zu jeder Quersumme unendlich viele passende Zahlen gibt und die Quersumme mit jeder zusätzlichen Neun-Ziffer weiter wächst.

Bezogen auf einen festen Bereich ist die Antwort dagegen klar: Unter den Zahlen von 1 bis 1.000 hat 999 mit der Quersumme 27 den höchsten Wert, denn keine dreistellige Zahl übertrifft die Ziffernsumme 9+9+9 (1.000 selbst hat nur die Quersumme 1).

Oft gesucht ist stattdessen die größte Zahl mit einer vorgegebenen Quersumme: Die größte zweistellige Zahl mit der Quersumme 11 ist 92 (9+2 = 11), weil es keine höhere Zehnerziffer als 9 gibt.

Als Faustregel gilt: Je mehr Neunen eine Zahl von links nach rechts enthält, desto größer wird ihre Quersumme bei gleicher Ziffernanzahl.

Der Quersummen-Rechner oben bestätigt das Beispiel 999 direkt mit den Ergebnissen Quersumme 27 und iterierter Quersumme 9.

Die iterierte Quersumme, auch digitale Wurzel genannt, entsteht durch wiederholte Quersummenbildung, bis nur noch eine einstellige Zahl übrig bleibt: Bei 9.875 wird zunächst 9+8+7+5 = 29 gebildet, dann 2+9 = 11, dann 1+1 = 2 – die digitale Wurzel von 9.875 ist also 2.

Sie entspricht dem Rest der Zahl bei Division durch 9, wobei der Rest 0 als 9 ausgegeben wird, sodass das Ergebnis für jede Zahl größer 0 immer zwischen 1 und 9 liegt.

Anwendung findet sie vor allem bei der Neunerprobe für Multiplikationen und als schnelle Plausibilitätsprüfung: Stimmen die digitalen Wurzeln beider Seiten einer Rechnung nicht überein, liegt sicher ein Fehler vor, stimmen sie überein, ist das Ergebnis nur wahrscheinlich, nicht garantiert richtig.

Als Kontrolle: Bei 7.776 ergibt 7+7+7+6 = 27, dann 2+7 = 9 – ein sofortiger Beleg für Teilbarkeit durch 9. Der Quersummen-Rechner oben führt jeden einzelnen Iterationsschritt sichtbar vor.

In Excel gibt es keine eigene Tabellenfunktion für die Quersumme, deshalb zerlegt eine Formel die Zahl zeichenweise und summiert die Ziffern einzeln auf.

Steht die Zahl als Text in Zelle A1, liefert =SUMMENPRODUKT(TEIL(A1;ZEILE(INDIREKT("1:"&LÄNGE(A1)));1)*1) die Quersumme: Für die Zahl 4347 als Text ergibt die Formel korrekt 18 (4+3+4+7), was sich mit dem Quersummen-Rechner oben gegenprüfen lässt.

Wichtig: Die Ausgangszahl muss als Text formatiert oder mit TEXT() umgewandelt werden, sonst interpretiert Excel führende Nullen oder Tausenderpunkte falsch und liefert nicht das richtige Ergebnis.

Für die iterierte Quersumme (digitale Wurzel) reicht alternativ die kürzere Formel =1+REST(A1-1;9) für Zahlen größer 0, die dasselbe Ergebnis liefert wie das wiederholte Aufsummieren der Ziffern – für 4347 also ebenfalls 9.

Beide Formeln funktionieren unabhängig von der Zahlenlänge und ersetzen damit die manuelle Ziffer-für-Ziffer-Rechnung in einer Tabellenkalkulation.

Die einfache Quersumme addiert alle Ziffern gleichmäßig: Q(4.367) = 4 + 3 + 6 + 7 = 20. Die alternierende Quersumme summiert die Ziffern von rechts mit wechselndem Vorzeichen (+, −, +, −, …): A(4.367) = 7 − 6 + 3 − 4 = 0.

Genutzt wird die alternierende Quersumme immer dann, wenn die Teilbarkeit durch 11 geprüft werden soll: Ist sie durch 11 teilbar (auch der Wert 0 zählt), gilt das ebenfalls für die Ausgangszahl – hier also 4.367 : 11 = 397.

Die einfache Quersumme dagegen bleibt nur der Schnelltest für die Teilbarkeit durch 3 und 9, nicht für 11. Als Faustregel: einfache Quersumme für 3 und 9, alternierende Quersumme für 11.

Weiteres Beispiel: 121 hat die alternierende Quersumme 1 − 2 + 1 = 0 und ist damit durch 11 teilbar (121 = 11 × 11), was sich direkt am Ergebnis „Teilbar durch 11: Ja“ des Rechners oben ablesen lässt.

Nein, die Quersumme kann eine Primzahl nicht bestätigen, sondern nur bestimmte Zahlen als Nicht-Primzahl ausschließen.

Ist die Quersumme einer Zahl größer als 3 durch 3 teilbar, ist auch die Zahl selbst durch 3 teilbar und damit keine Primzahl – bei 21 etwa ergibt die Quersumme 3, also ist 21 = 3 × 7 keine Primzahl.

Umgekehrt gilt der Schluss aber nicht: Eine Zahl, deren Quersumme nicht durch 3 oder 9 teilbar ist, muss trotzdem keine Primzahl sein.

Gegenbeispiel: 91 hat die Quersumme 10, ist also weder durch 3 noch durch 9 teilbar, dennoch ist 91 = 7 × 13 keine Primzahl.

Um eine Zahl zuverlässig zu prüfen, reicht die Quersumme deshalb nicht aus; nötig ist eine vollständige Teilbarkeitsprüfung durch alle Primzahlen bis zur Quadratwurzel der Zahl, wie sie der Primzahl-Rechner übernimmt.

Der Quersummen-Rechner oben eignet sich damit nur als schneller erster Ausschlusstest für den Faktor 3, nicht als vollständiger Primzahltest.