Summenrechner: Summenzeichen und Reihen exakt berechnen

Wähle im Summenrechner das Summenzeichen Σ, trage als Term k ein, setze die untere Grenze auf 1 und die obere auf 100. Das Ergebnis lautet 5.050. Der Rechner nutzt dabei die gaußsche Summenformel n(n + 1) ÷ 2 = 100 · 101 ÷ 2.

Anschaulich bilden das erste und das letzte Glied zusammen 101, ebenso das zweite und das vorletzte, und davon gibt es 50 Paare: 50 · 101 = 5.050. Zur Kontrolle addiert der Rechner alle 100 Glieder einzeln und meldet „Probe stimmt“.

Beginnt deine Summe nicht bei 1, rechne nicht mit der Grundformel weiter: Von k = 50 bis 100 sind es 5.050 − 1.225 = 3.825, weil die Glieder 1 bis 49 fehlen.

Die Tabelle „Glieder und Teilsummen“ zeigt dir zusätzlich die ersten und letzten Teilsummen, damit du den Verlauf siehst und die Summe nicht blind übernimmst.

Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n ist n(n + 1)(2n + 1) ÷ 6. Für n = 10 ergibt das 10 · 11 · 21 ÷ 6 = 385, für n = 20 sind es 2.870.

Die Summe der Kubikzahlen folgt einer noch einfacheren Regel: Sie ist das Quadrat der Summe von 1 bis n, also (n(n + 1) ÷ 2)². Bei n = 10 ist das 55² = 3.025.

Trage im Rechner k^2 oder k^3 als Term ein; für Terme wie 3k^2 + 2k − 1 zerlegt er nach Potenzen und setzt die Formeln einzeln ein, bis Grad 3. Terme vom Grad 4 und höher addiert er stattdessen Glied für Glied, höchstens 2.000 Glieder.

Merke dir: Die Formeln gelten ab k = 1, bei anderer Untergrenze zieht der Rechner die Summe bis zur Untergrenze minus 1 ab.

Unter dem Σ steht der Laufindex mit seinem Startwert, zum Beispiel k = 3, über dem Σ die obere Grenze, zum Beispiel 12, rechts davon der Term, der für jedes k ausgewertet wird. Der Index läuft in Schritten von 1, und beide Grenzen gehören zur Summe.

Die Zahl der Glieder ist deshalb obere Grenze minus untere Grenze plus 1: Von 3 bis 12 sind es 10 Glieder, nicht 9. Bei einem konstanten Term 5 ergibt das 50.

Im Rechner tippst du den Term mit der Variable k ein, die Grenzen als ganze Zahlen; die „Anzahl der Glieder“ steht im Ergebnis, sodass du deine Zählung sofort prüfen kannst.

Ist die untere Grenze größer als die obere, ist die Summe leer und gleich 0, das weist der Rechner ausdrücklich aus. Ein häufiger Irrtum ist, die untere Grenze nicht mitzuzählen: Σ von k = 0 bis 10 hat 11 Glieder, und das Glied für k = 0 gehört dazu.

Eine arithmetische Reihe addiert Glieder mit gleichem Abstand d. Du brauchst das erste Glied a₁, die Differenz d und die Anzahl n. Das letzte Glied ist aₙ = a₁ + (n − 1) · d, die Summe Sₙ = n ÷ 2 · (a₁ + aₙ).

Für 2, 5, 8, … mit d = 3 und n = 10 ist a₁₀ = 29 und S = 5 · 31 = 155. Im Rechner wählst du Arithmetische Reihe und trägst 2, 3 und 10 ein; er zeigt zusätzlich den Mittelwert aller Glieder, 15,5, denn die Summe ist Mittelwert mal Anzahl.

Auch negative Differenzen und Brüche sind erlaubt, etwa d = 1/2 oder d = −3 für fallende Glieder. Mit n bis zu einer Milliarde rechnet er exakt, weil er die Formel nutzt, und prüft bei bis zu 20.000 Gliedern zusätzlich durch Aufsummieren.

Eine geometrische Reihe addiert Glieder, die jeweils mit demselben Faktor q multipliziert werden. Mit dem ersten Glied a₁ und n Gliedern gilt Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1).

Für 2, 4, 8, … mit q = 2 und n = 10 ist das 2 · 1.023 = 2.046, das letzte Glied beträgt 1.024. Der Sonderfall q = 1 gehört nicht in die Formel, dort sind alle Glieder gleich und die Summe ist n · a₁.

Achte beim Faktor auf Prozentangaben: Ein Zuwachs von 5 Prozent bedeutet q = 1,05 und nicht 0,05. Im Rechner gibst du q als ganze Zahl, Dezimalzahl mit Komma oder Bruch ein, zum Beispiel 1/2.

Bis 3.000 Glieder sind möglich, bei sehr großem q setzt die Stellenzahl früher eine Grenze; ab 300 Gliedern prüft der Rechner die Formel nur an den ersten zwölf Gliedern statt an allen.

Bei der geometrischen Reihe genau dann, wenn der Betrag von q kleiner als 1 ist. Dann gilt S∞ = a₁ ÷ (1 − q). Mit a₁ = 1 und q = 1/2 ist das 2, mit q = 0,9 sind es 10.

Die Teilsummen nähern sich dem Wert an: Bei q = 0,9 liegt die Summe nach 20 Gliedern erst bei 8,784233, bei q = 1/2 nach 10 Gliedern schon bei 1,998047.

Auch 0,999… ist so eine Reihe, 0,9 + 0,09 + 0,009 + … mit q = 0,1, und ergibt genau 0,9 ÷ 0,9 = 1. Für q = 1, q = −1 oder |q| > 1 gibt es keine endliche Summe, der Rechner meldet Divergenz.

Andere unendliche Reihen wie die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + … berechnet er nicht, denn sie divergiert zwar langsam, aber ohne Grenze.

Wähle „Liste von Zahlen addieren“ und trage die Zahlen in das Feld Zahlenliste ein, getrennt durch Semikolon, Leerzeichen oder Zeilenumbruch. Dezimalzahlen schreibst du mit Komma, Brüche wie 1/3 sind ebenfalls erlaubt.

Der Rechner liest jede Zahl als Bruch, deshalb ist 0,1 + 0,2 genau 0,3 und nicht 0,30000000000000004 wie bei Gleitkommazahlen in vielen Programmiersprachen.

Das ist wichtig, wenn du Beträge in Euro und Cent addierst und die Summe später mit einem Beleg vergleichst. Die Liste 12; 7,5; 3; 18; 4,25 ergibt 44,75, der Mittelwert ist 8,95, die kleinste Zahl 3 und die größte 18.

Vorsicht beim Tausenderpunkt: 1.250 liest der Rechner als eintausendzweihundertfünfzig, 0.125 dagegen als Dezimalzahl. Bis 2.000 Zahlen sind erlaubt; bei einem Tippfehler nennt der Rechner das fehlerhafte Wort, statt stillschweigend zu raten.

Prüfe zuletzt die „Anzahl der Glieder“: Sie muss der Zahl deiner Einträge entsprechen.

Für Terme ohne geschlossene Formel addiert der Rechner jedes Glied einzeln und exakt als Bruch, höchstens 2.000 Glieder. Die harmonische Teilsumme 1 + 1/2 + … + 1/10 ist damit genau 7381/2520, etwa 2,928968254.

Die Summe von 1/k! für k = 0 bis 10 ergibt 9864101/3628800, etwa 2,718281801, und stimmt damit bis zur siebten Nachkommastelle mit der eulerschen Zahl e = 2,718281828 überein.

Schreibe Nenner immer in Klammern: 1/2k bedeutet k ÷ 2, gemeint ist meist 1/(2k). Fakultäten schreibst du mit Ausrufezeichen direkt hinter dem k, zum Beispiel k!; sie sind bis 400! erlaubt, weil 400! schon 869 Stellen hat.

Der Rechner weist in der Zeile „Verwendete Summenformel“ ausdrücklich aus, dass er aufsummiert hat, und prüft das Ergebnis in umgekehrter Reihenfolge, von der oberen zur unteren Grenze.

Bei mehr als 2.000 Gliedern bricht er mit einem Hinweis ab, statt lange zu rechnen und am Ende eine gerundete Zahl zu liefern.