Statik berechnen: Biegemoment, Durchbiegung und Ausnutzung

Ein Einfeldträger ist ein Balken, der auf genau zwei Auflagern frei drehbar aufliegt und dazwischen eine Last aufnimmt.

Diese Lagerung ist der häufigste Fall im Stahlbau und Holzbau: Deckenträger zwischen zwei Wänden, Unterzüge auf Stützen oder Pfetten zwischen Bindern.

Die Berechnung gilt für statisch bestimmte Systeme mit einem einzigen Feld, also ohne Kragarm und ohne Durchlaufwirkung über mehrere Felder.

Entscheidend ist, dass die Auflager keine Einspannung haben, sondern Drehung zulassen — das ist bei üblichen Auflagerkonsolen und Mauerauflagerungen der Fall.

Sobald ein Träger über drei oder mehr Stützen durchläuft, verteilen sich die Schnittgrößen anders als beim Einfeldträger, und die hier berechneten Werte gelten nicht mehr.

Gleiches gilt für eingespannte Enden (Kragarm), bei denen das Biegemoment am Auflager maximal wird statt in Feldmitte. Für einfache Hallenträger, Geschossdecken und Dachpfetten auf zwei Auflagern liefert der Rechner eine belastbare Vorbemessung.

Die Durchbiegung wächst mit der vierten Potenz der Stützweite (bei Gleichlast), während das Biegemoment nur quadratisch steigt.

Bei größeren Spannweiten übersteigt die Verformung den zulässigen Grenzwert l/300 deshalb oft, bevor die Biegespannung die Streckgrenze erreicht.

Beispiel aus dem Rechner: Ein IPE 200 aus S235 bei 6 m Stützweite und 8 kN/m Gleichlast erreicht nur 79 % Biegeausnutzung, aber 165,4 % Durchbiegungsausnutzung — die Spannung von 185,6 N/mm² liegt deutlich unter der Streckgrenze von 235 N/mm², doch die Durchbiegung von 33,1 mm überschreitet die Grenze von 20 mm um das 1,6-Fache.

Der Wechsel auf IPE 240 senkt die Durchbiegung auf 16,5 mm und löst das Problem, weil das Trägheitsmoment von 1 943 auf 3 892 cm⁴ steigt. Faustregel: Bei einem Schlankheitsverhältnis l/h > 25 wird fast immer die Durchbiegung zum maßgebenden Nachweis.

Deshalb lohnt es sich, zuerst die Durchbiegungsausnutzung zu prüfen und erst dann die Biegespannung.

Das Widerstandsmoment Wy beschreibt die Fähigkeit eines Querschnitts, Biegemomente aufzunehmen, ohne die zulässige Spannung zu überschreiten.

Der Rechner gibt das erforderliche Wy für genau 100 % Biegeausnutzung aus: Liegt Ihr gewähltes Profil darüber, reicht der Querschnitt für die Biegung; liegt es darunter, ist ein größeres Profil nötig.

Im Beispiel 5 m Stützweite, 5 kN/m Gleichlast, S235 beträgt das erforderliche Wy 66,5 cm³ — ein IPE 200 mit 194 cm³ hat also reichlich Reserve (34,3 % Ausnutzung).

Für die Profilsuche sortieren Sie die Profilliste nach Wy: IPE-Profile steigen von 20 cm³ (IPE 80) bis 3 069 cm³ (IPE 600), HEB-Profile bieten bei gleicher Bauhöhe mehr Wy als IPE, etwa HEB 200 mit 570 cm³ gegenüber IPE 200 mit 194 cm³.

Beachten Sie, dass das Wy allein nur die Biegung abdeckt — die Durchbiegung hängt zusätzlich vom Trägheitsmoment Iy ab, und ein Profil mit ausreichendem Wy kann trotzdem an der Verformung scheitern.

IPE-Profile (European I-Beams) haben einen schmalen Flansch im Verhältnis zur Höhe und sind die leichteste Profilreihe — sie eignen sich für Träger, die vorwiegend um die starke Achse beansprucht werden.

HEA-Profile (breitflanschig, leichte Reihe) bieten bei gleicher Höhe eine breitere Flanschplatte und damit ein höheres Trägheitsmoment um die schwache Achse, was sie kippsicherer macht.

HEB-Profile (breitflanschig, schwere Reihe) haben noch dickere Flansche und Stege und liefern bei gleicher Nenngröße das höchste Widerstandsmoment.

Vergleich bei Größe 200: IPE 200 hat Wy = 194 cm³ und Iy = 1 943 cm⁴, HEA 200 hat Wy = 389 cm³ und Iy = 3 692 cm⁴, HEB 200 hat Wy = 570 cm³ und Iy = 5 696 cm⁴.

HEB 200 bietet also fast das Dreifache an Widerstandsmoment gegenüber IPE 200, wiegt aber auch fast dreimal so viel (78,1 cm² gegenüber 28,5 cm² Querschnittsfläche).

Im Rechner können Sie alle drei Reihen direkt vergleichen, indem Sie nur das Profil wechseln und die Ausnutzungsgrade ablesen.

Der wichtigste Unterschied liegt im E-Modul: Stahl S235 und S355 haben E = 210 000 N/mm², Holz C24 nur E = 11 000 N/mm².

Da die Durchbiegung direkt proportional zu 1/E ist, verformt sich ein Holzträger bei gleicher Geometrie und Last 19-mal stärker als ein Stahlträger.

Dafür ist die zulässige Biegespannung bei Holz C24 mit 14,8 N/mm² (fm,k = 24, kmod = 0,8, γM = 1,3 nach DIN EN 1995-1-1) wesentlich niedriger als bei Stahl S235 mit 235 N/mm².

In der Praxis bedeutet das: Holzquerschnitte müssen deutlich größer dimensioniert werden als Stahlprofile, um beide Nachweise zu bestehen.

Beispiel: Bei 4 m Stützweite und 15 kN Einzellast bei a = 1,5 m erreicht ein Rechteck 120 × 240 mm aus C24 bereits 82,7 % Biegeausnutzung und 90,3 % Durchbiegungsausnutzung — ein IPE 200 aus S235 würde unter derselben Last bei nur rund 5 % liegen.

Nutzen Sie die Materialauswahl, um Stahl und Holz für denselben Lastfall direkt gegenüberzustellen.

Eine Vorbemessung wie der Statik-Rechner eignet sich, um vor der eigentlichen Planung den Querschnittsbedarf einzugrenzen: Welches Profil kommt in Frage, wo liegt die Größenordnung, welcher Lastfall ist maßgebend?

Das spart in der Zusammenarbeit mit dem Tragwerksplaner Zeit und Kosten, weil bereits ein plausibles Ausgangsprofil feststeht.

Einen vollständigen statischen Nachweis benötigen Sie bei tragenden Bauteilen in Gebäuden (Bauordnungsrecht), bei Konstruktionen mit Knicklängen über 3–4 m (Stabilitätsnachweis), bei dynamischen Belastungen wie Maschinen oder Windlasten, bei Durchlaufträgern über mehrere Felder und bei Verbundkonstruktionen aus Stahl und Beton.

Der Rechner führt weder den Schubnachweis für die Querkraft noch den Nachweis gegen Biegedrillknicken, weshalb ein Profil, das hier grün erscheint, im vollständigen Nachweis trotzdem versagen kann.

Für nicht tragende Konstruktionen wie Regalsysteme, Werkbänke oder Vordächer unter 2 m Auskragung ist die Vorbemessung oft ausreichend.

Eine Ausnutzung über 100 % zeigt an, dass der gewählte Querschnitt für den Lastfall nicht ausreicht.

Bei der Biegeausnutzung bedeutet das: Die berechnete Biegespannung übersteigt die Streckgrenze (Stahl) bzw. die Bemessungsfestigkeit (Holz), der Träger würde plastifizieren oder brechen.

Bei der Durchbiegungsausnutzung ist die zulässige Verformung überschritten — der Träger biegt sich stärker als l/300 (bei Voreinstellung), was zu Rissen im Estrich, schwingenden Böden oder Schäden an empfindlichen Einbauten führen kann.

Der Rechner gibt in beiden Fällen einen Hinweis aus. Als erste Maßnahme hilft ein größerer Querschnitt: Das erforderliche Widerstandsmoment Wy zeigt, ab welchem Profil die Biegung unter 100 % fällt.

Für die Durchbiegung zählt das Trägheitsmoment Iy, das bei IPE-Profilen von 80,1 cm⁴ (IPE 80) bis 92 080 cm⁴ (IPE 600) reicht. Alternativ kann eine kürzere Stützweite oder eine geringere Last das Problem lösen.

Prüfen Sie stets beide Ausnutzungen getrennt, da ein Querschnitt für die Biegung reichen, aber an der Durchbiegung scheitern kann.

Die Durchbiegungsgrenze l/300 bedeutet: Die maximal zulässige Durchbiegung beträgt ein Dreihundertstel der Stützweite. Bei 6 m Stützweite sind das 6 000 / 300 = 20 mm.

Überschreitet die berechnete Durchbiegung diesen Wert, zeigt der Rechner eine Ausnutzung über 100 % an.

Der Grenzwert l/300 ist im Feld Durchbiegungsgrenze voreingestellt und lässt sich anpassen: l/250 ist ein allgemeiner Grenzwert nach Eurocode für Gesamtverformung, l/300 der gängige Wert für Deckenträger nach Eurocode 3 und 5, l/500 wird für empfindliche Einbauten wie Glasfassaden oder Präzisionsmaschinen verwendet.

Je höher der Nenner, desto strenger die Anforderung. Im Rechner wird die Durchbiegungsgrenze in Millimetern ausgegeben und direkt mit der berechneten Durchbiegung verglichen.

Das Ergebnis zeigt zwei getrennte Werte: die absolute Durchbiegung in mm und den prozentualen Ausnutzungsgrad.

Bei 5 m Stützweite und l/300 beträgt die Grenze 16,7 mm; ein IPE 200 mit 5 kN/m Gleichlast erreicht 10,0 mm, also 59,8 % — noch ausreichend, aber bereits über die Hälfte der zulässigen Verformung.