Statik berechnen: Biegemoment, Durchbiegung und Ausnutzung

Der Rechner bestimmt für einen Einfeldträger aus Stahl (S235, S355) oder Holz (C24) unter Gleichlast oder Einzellast vier Größen: Biegemoment, Querkraft, Biegespannung und Durchbiegung, jeweils mit Ausnutzungsgrad gegen die zulässige Spannung und die Durchbiegungsgrenze.

Für IPE 200 bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast ergibt sich zum Beispiel ein Biegemoment von 15,63 kNm, eine Biegespannung von 80,5 N/mm² (34,3 % Ausnutzung) und eine Durchbiegung von 10 mm (59,8 % von 16,7 mm Grenzwert).

Rechtsverbindlich und bauaufsichtlich prüfbar wird eine Statik erst durch einen bauvorlageberechtigten Tragwerksplaner oder Statiker, der die Nachweise unterschreibt und für Genehmigungsverfahren einreicht – dieser Rechner liefert ausschließlich eine kostenlose Vorbemessung zur ersten Einschätzung, bevor ein Fachplaner beauftragt wird.

Für jedes tragende Bauteil eines Gebäudes bleibt der Tragwerksplaner die verbindliche Instanz.

Bei einer Gleichlast entsteht das maximale Biegemoment in Feldmitte nach der Formel M = q·l²/8, bei einer Einzellast in Feldmitte nach M = F·l/4 und bei einer Einzellast im Abstand a vom Auflager (b = l − a als Reststrecke) nach M = F·a·b/l.

Für IPE 200 bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast ergibt das M = 5 × 5² / 8 = 15,63 kNm.

Bei derselben Stützweite mit einer Einzellast von 20 kN in Feldmitte statt der Gleichlast steigt das Moment auf M = 20 × 5 / 4 = 25 kNm, obwohl die Gesamtlast (25 kN Gleichlast über 5 m gegen 20 kN Einzellast) ähnlich groß ist – eine Einzellast in Feldmitte erzeugt bei gleicher Gesamtkraft ein deutlich größeres Moment als eine über die Länge verteilte Last.

Das Biegemoment geht anschließend über die Formel σ = M/W in die Biegespannung ein und bestimmt so, ob der gewählte Querschnitt trägt.

Die Biegespannung ergibt sich aus dem Biegemoment M geteilt durch das Widerstandsmoment W des gewählten Querschnitts: σ = M/W.

Für IPE 200 mit einem Widerstandsmoment von rund 194 cm³ und einem Biegemoment von 15,63 kNm bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast ergibt sich σ = 15.625.000 Nmm / 194.000 mm³ = 80,5 N/mm².

Diese Spannung wird gegen die Bemessungsfestigkeit des Materials verglichen – bei S235 mit 235 N/mm² Streckgrenze ergibt das eine Ausnutzung von 80,5 / 235 ≈ 34,3 %.

Bei der Einzellast-Variante mit 20 kN in Feldmitte steigt die Spannung auf 128,9 N/mm² (54,8 % Ausnutzung), weil das Biegemoment auf 25 kNm anwächst.

Erst wenn die Biegespannung unter der zulässigen Spannung des Materials bleibt, gilt der Tragfähigkeitsnachweis nach diesem vereinfachten Vorbemessungsverfahren als erfüllt.

Bei Gleichlast berechnet sich die Durchbiegung in Feldmitte nach f = 5·q·l⁴ / (384·E·I), bei einer Einzellast in Feldmitte nach f = F·l³ / (48·E·I), wobei E der Elastizitätsmodul des Materials und I das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts ist.

Für IPE 200 (I ≈ 1.943 cm⁴) aus S235 (E = 210.000 N/mm²) bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast ergibt sich f = 5 × 5000 × 5000⁴ / (384 × 210.000 × 19.430.000) ≈ 10,0 mm.

Die zulässige Durchbiegungsgrenze liegt bei l/300, hier also 16,7 mm, sodass der Träger zu 59,8 % ausgenutzt ist.

Bei Holz (C24, E = 11.000 N/mm²) fällt die Durchbiegung bei sonst gleichen Werten deutlich größer aus, weil der E-Modul rund 19-mal niedriger ist als bei Stahl – deshalb müssen Holzquerschnitte für dieselbe Stützweite und Last oft deutlich höher ausfallen.

Bei einer Gleichlast ist jede der beiden Auflagerkräfte gleich der Hälfte der Gesamtlast: V = q·l/2. Bei einer Einzellast in Feldmitte gilt ebenfalls V = F/2, weil die Last symmetrisch auf beide Auflager verteilt wird.

Bei einer außermittigen Einzellast im Abstand a vom linken Auflager (b = l − a) sind die beiden Auflagerkräfte unterschiedlich groß und ergeben sich als V = max(F·b/l, F·a/l) für die maßgebende Querkraft.

Für IPE 200 bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast beträgt die Auflagerkraft V = 5 × 5 / 2 = 12,5 kN je Auflager.

Bei einer Einzellast von 15 kN im Abstand von 2 m vom linken Auflager bei 6 m Stützweite ergibt sich die größere Auflagerkraft am nahen Auflager zu V = 15 × 4 / 6 = 10 kN.

Die Querkraft ist wichtig für die Bemessung der Auflager und für den – von diesem Rechner nicht geführten – Schubnachweis.

Eine verbindliche Statik-Berechnung durch einen Tragwerksplaner kostet je nach Bauteil, Aufwand und Region üblicherweise einige hundert bis mehrere tausend Euro – für einen einzelnen Deckenbalken oder Unterzug oft 300 bis 800 Euro, für eine komplette Gebäudestatik deutlich mehr, abhängig von der Honorarordnung für Architekten und Ingenieure (HOAI).

Eine kostenlose Vorbemessung wie mit diesem Rechner reicht aus, um vorab abzuschätzen, ob ein geplanter Querschnitt überhaupt in die richtige Größenordnung fällt, etwa vor der Materialbestellung oder um mehrere Profil- oder Querschnittsvarianten schnell zu vergleichen.

Sobald es um eine Baugenehmigung, eine bauaufsichtliche Prüfung oder um sicherheitsrelevante, tragende Bauteile in bewohnten Gebäuden geht, ersetzt keine Online-Vorbemessung den unterschriebenen Nachweis eines bauvorlageberechtigten Tragwerksplaners.

Die Vorbemessung spart in der Praxis vor allem die Beauftragung für offensichtlich zu schwache Querschnitte.

Der Rechner eignet sich für eine erste Einschätzung des tragenden Hauptträgers – etwa des Carport-Unterzugs oder des Terrassenüberdachungs-Pfettenbalkens – als Einfeldträger unter Gleichlast oder Einzellast, sofern die Konstruktion tatsächlich diesem einfachen statischen System entspricht.

Bei Carports und Terrassenüberdachungen kommen aber meist zusätzliche Lastfälle hinzu, die dieser Rechner nicht abbildet: Schneelast nach der jeweiligen Schneezone, Windsog und Windlast auf die Dachfläche, sowie oft auch Kragarme oder Durchlaufträger über mehrere Stützen statt eines einzelnen Einfeldträgers.

Für die Schneelast auf ein Carport- oder Terrassendach steht der eigene Schneelast-Rechner zur Verfügung, für die Windlast auf Zaun und Carport-Dach der Windlast-Zaun-Carport-Rechner.

Erst die Kombination aller tatsächlich wirkenden Lasten ergibt eine vollständige Bemessung, wie sie ein Tragwerksplaner für die Baugenehmigung liefert.

Gleichlast (in kN/m) verteilt sich gleichmäßig über die gesamte Trägerlänge, wie es etwa bei einer Deckenlast oder dem Eigengewicht der Konstruktion der Fall ist.

Einzellast (in kN) wirkt konzentriert an einem Punkt, entweder in Feldmitte oder in wählbarem Abstand vom Auflager, wie bei einer Stützenlast oder einer punktuellen Auflast.

Bei gleicher Gesamtkraft erzeugt eine Einzellast in Feldmitte ein deutlich größeres Biegemoment als dieselbe Kraft als Gleichlast verteilt: 20 kN Einzellast bei 5 m Stützweite ergeben 25 kNm, eine über 5 m verteilte Gleichlast von 5 kN/m (ebenfalls 25 kN Gesamtlast) dagegen nur 15,63 kNm.

Wer den falschen Lastfall wählt, unterschätzt die tatsächliche Beanspruchung erheblich.

Bei einer außermittigen Einzellast verschiebt sich zusätzlich die Lage des maximalen Moments und die beiden Auflagerkräfte werden ungleich groß, was bei der Wahl des Abstands a berücksichtigt werden muss.

Für Stahl stehen 48 genormte Walzprofile nach DIN EN 10365 zur Verfügung (IPE 80 bis IPE 600, HEA und HEB 100 bis 400) sowie ein frei definierbarer Rechteckquerschnitt, jeweils in den Materialien S235 und S355.

Für Holz steht die Festigkeitsklasse C24 (KVH/Nadelholz) mit Rechteckquerschnitt zur Verfügung, wie bei einem Holzbalken 120 × 240 mm, der bei 4 m Stützweite und 3 kN/m Last mit 35,3 % Biegeausnutzung und 49,3 % Durchbiegungsausnutzung rechnerisch trägt.

Nicht abgedeckt sind Vierkant- und Rundrohrprofile, Aluminiumprofile, Brettschichtholz (GL24h) sowie Lastfälle mit mehreren gleichzeitig wirkenden Kräften oder kombinierten Streckenlast-Einzellast-Szenarien – hier rechnet der Rechner nur einen Lastfall zur Zeit.

Für Aluminium- oder Sonderprofile ist eine Bemessung nach den jeweiligen Werkstoffkennwerten von Hand oder mit Spezialsoftware nötig, für Brettschichtholz mit höherem E-Modul der Holzbalken-Tragfähigkeit-Rechner.

Die Biegeausnutzung setzt die vorhandene Biegespannung ins Verhältnis zur zulässigen Spannung des Materials und beantwortet die Frage, ob der Träger bricht.

Die Durchbiegungsausnutzung setzt die tatsächliche Durchbiegung ins Verhältnis zur Grenzdurchbiegung (Standard l/300) und beantwortet die Frage, ob sich der Träger zu stark verformt, auch wenn er rechnerisch nicht bricht.

Für IPE 200 bei 5 m Stützweite und 5 kN/m Gleichlast liegt die Biegeausnutzung bei nur 34,3 %, die Durchbiegungsausnutzung dagegen bei 59,8 % – die Durchbiegung ist hier bereits deutlich näher an ihrer Grenze und damit der maßgebende Nachweis.

Bei schlanken, weit gespannten Trägern ist praktisch immer die Durchbiegung entscheidend, bei kurzen, stark belasteten Trägern eher die Biegespannung.

Der Rechner gibt deshalb beide Ausnutzungsgrade getrennt aus und weist in der Hinweiszeile aus, welcher der beiden Nachweise nicht erfüllt ist, sobald einer über 100 % liegt.