Eigenwerte berechnen: Eigenvektoren und Polynom für 2x2- und 3x3-Matrizen

Ein Eigenwert lambda einer quadratischen Matrix A ist eine Zahl, fuer die ein Vektor v ungleich dem Nullvektor existiert, sodass A mal v gleich lambda mal v gilt. Dieser Vektor v heisst Eigenvektor.

Anschaulich bedeutet das: Die lineare Abbildung A streckt oder staucht den Eigenvektor nur, ohne seine Richtung zu aendern. Der Eigenwert gibt den Faktor dieser Skalierung an. Ein positiver Eigenwert erhalt die Richtung, ein negativer kehrt sie um.

Ein Eigenwert von null bedeutet, dass der Eigenvektor durch die Abbildung auf den Nullvektor abgebildet wird, die Matrix also singulaer ist. Jede nxn-Matrix hat hoechstens n Eigenwerte, gezaehlt mit algebraischer Vielfachheit.

Die Eigenwert-Eigenvektor-Paare bilden die Grundlage fuer Diagonalisierung, Stabilitaetsanalysen und Hauptachsentransformationen in Physik, Statistik und Ingenieurwesen.

Das charakteristische Polynom ergibt sich aus der Bedingung det(A minus lambda mal I) gleich null, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Fuer eine 2x2-Matrix mit Eintraegen a, b, c, d lautet es lambda hoch 2 minus (a plus d) mal lambda plus (a mal d minus b mal c) gleich null. Die Koeffizienten sind Spur und Determinante.

Fuer eine 3x3-Matrix entsteht ein kubisches Polynom dritten Grades mit den Koeffizienten Spur, Summe der 2x2-Hauptminoren und Determinante. Der Rechner stellt dieses Polynom in lesbarer Form dar und loest es anschliessend.

Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte. Die Vielfachheit einer Nullstelle heisst algebraische Vielfachheit und bestimmt, wie oft der Eigenwert im Polynom vorkommt.

Fuer die 2x2-Matrix [[2, 1], [1, 2]] lautet das Polynom lambda hoch 2 minus 4 lambda plus 3 gleich null, mit den Nullstellen 3 und 1.

Ja, reelle Matrizen koennen konjugiert komplexe Eigenwerte besitzen. Das tritt auf, wenn die Diskriminante des charakteristischen Polynoms negativ ist.

Bei einer 2x2-Matrix geschieht das, wenn die Spur hoch 2 kleiner ist als das Vierfache der Determinante.

Beispiel: Die Rotationsmatrix [[0, minus 1], [1, 0]] hat die Eigenwerte i und minus i, weil sie jeden Vektor um 90 Grad dreht statt ihn zu strecken.

Komplexe Eigenwerte treten immer paarweise als Konjugierte auf, solange die Matrix reelle Eintraege hat. In der Praxis signalisieren komplexe Eigenwerte eine Drehkomponente in der linearen Abbildung.

Bei einer 3x3-Matrix koennen ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte vorkommen. Der Rechner kennzeichnet komplexe Eigenwerte explizit und berechnet die zugehoerigen komplexen Eigenvektoren.

Eine nxn-Matrix heisst diagonalisierbar, wenn n linear unabhaengige Eigenvektoren existieren.

In diesem Fall laesst sich die Matrix als P mal D mal P invers schreiben, wobei D die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist und P die Matrix aus den Eigenvektoren. Matrizen mit n verschiedenen Eigenwerten sind immer diagonalisierbar.

Symmetrische Matrizen sind ebenfalls immer diagonalisierbar, weil ihre Eigenvektoren orthogonal zueinander stehen.

Problematisch wird es bei Doppeleigenwerten: Die Matrix [[2, 1], [0, 2]] hat den Doppeleigenwert 2, aber nur einen linear unabhaengigen Eigenvektor (1, 0).

Die geometrische Vielfachheit eins ist kleiner als die algebraische Vielfachheit zwei, daher ist sie defekt und nicht diagonalisierbar. Der Rechner prueft diese Bedingung automatisch und gibt das Ergebnis als Hinweis aus.

Zwei Kontrollgroessen stehen zur Verfuegung: die Spurprobe und die Determinantenprobe. Die Spur einer Matrix, also die Summe der Diagonaleintraege, muss exakt der Summe aller Eigenwerte entsprechen.

Die Determinante muss dem Produkt aller Eigenwerte entsprechen. Fuer die Matrix [[2, 1], [1, 2]] mit den Eigenwerten 3 und 1 gilt: Spur 4 gleich 3 plus 1, Determinante 3 gleich 3 mal 1. Stimmt eine der beiden Proben nicht, liegt ein Rechenfehler vor.

Zusaetzlich kann man die Eigenvektor-Gleichung pruefen: Multipliziert man die Matrix mit dem berechneten Eigenvektor, muss das Ergebnis gleich dem Eigenwert mal dem Eigenvektor sein.

Der Rechner fuehrt beide Proben automatisch durch und zeigt sie im Ergebnis an. Bei konjugiert komplexen Eigenwerten gilt die Spur- und Determinantenprobe ebenfalls, weil sich die Imaginaerteile der konjugierten Paare in der Summe aufheben.

Vier Sonderfaelle verdienen besondere Aufmerksamkeit. Erstens: Dreiecksmatrizen, also obere oder untere Dreiecksmatrizen, verraten ihre Eigenwerte direkt auf der Diagonalen, weil das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfaellt.

Zweitens: Singulaere Matrizen haben mindestens einen Eigenwert null, weil ihre Determinante null ist. Der Nulleigenwert zeigt an, dass die Abbildung nicht umkehrbar ist.

Drittens: Die Einheitsmatrix hat den Eigenwert 1 mit maximaler Vielfachheit, und jeder Vektor ist ein Eigenvektor. Viertens: Nilpotente Matrizen, deren Potenzen irgendwann die Nullmatrix ergeben, haben ausschliesslich den Eigenwert null.

Beispiel: [[0, 1], [0, 0]] hat den Doppeleigenwert null, ist aber nicht die Nullmatrix. Der Rechner erkennt diese Faelle automatisch und passt den Diagonalisierbarkeits-Hinweis entsprechend an.

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist seine Vielfachheit als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Ein Doppeleigenwert hat die algebraische Vielfachheit zwei, ein dreifacher die Vielfachheit drei.

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums, also die Anzahl linear unabhaengiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert. Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen.

Sind beide gleich, ist die Matrix bezueglich dieses Eigenwerts nicht defekt. Fuer die Diagonalisierbarkeit muessen algebraische und geometrische Vielfachheit fuer jeden Eigenwert uebereinstimmen.

Beispiel: [[2, 0], [0, 2]] hat den Doppeleigenwert 2 mit geometrischer Vielfachheit 2, ist also diagonalisierbar. Dagegen hat [[2, 1], [0, 2]] den Doppeleigenwert 2 mit geometrischer Vielfachheit nur 1 und ist defekt.

In der Mechanik bestimmen die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix die Eigenfrequenzen eines schwingfaehigen Systems. Die Quadratwurzeln der Eigenwerte ergeben die Kreisfrequenzen, die Eigenvektoren die zugehoerigen Schwingungsformen.

In der Statistik bilden die Eigenwerte der Kovarianzmatrix die Grundlage der Hauptkomponentenanalyse: Der groesste Eigenwert zeigt die Richtung maximaler Varianz, der kleinste die geringste Streuung.

In der Stabilitaetsanalyse dynamischer Systeme entscheiden die Eigenwerte der Systemmatrix, ob ein Gleichgewicht stabil ist: Alle reellen Teile negativ bedeuten Stabilitaet, ein positiver Realteil zeigt Instabilitaet an.

In der Bildverarbeitung beschreibt die Eigenwertzerlegung einer Transformationsmatrix Skalierung und Drehung einer Abbildung. Und in der Quantenmechanik sind die Eigenwerte hermitescher Operatoren die messbaren physikalischen Groessen.

Nachdem die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt sind, wird fuer jeden Eigenwert lambda das homogene Gleichungssystem (A minus lambda mal I) mal v = 0 geloest.

Fuer die Matrix A = [[4, 2], [1, 3]] ergibt das charakteristische Polynom lambda hoch 2 minus 7 lambda plus 10 = 0 die Eigenwerte lambda_1 = 5 und lambda_2 = 2.

Fuer lambda_1 = 5 lautet das Gleichungssystem (A minus 5I) mal v = 0, also [[-1, 2], [1, -2]] mal v = 0. Die erste Zeile liefert minus v_1 plus 2 v_2 = 0, also v_1 = 2 v_2.

Mit v_2 = 1 erhaelt man den Eigenvektor v_1 = (2, 1), der Rechner normiert ihn auf (1, 0,5). Fuer lambda_2 = 2 ergibt sich [[2, 2], [1, 1]] mal v = 0, also v_1 plus v_2 = 0, was den Eigenvektor v_2 = (1, minus 1) liefert.

Die Probe bestaetigt: A mal (2, 1) = (10, 5) = 5 mal (2, 1), und A mal (1, minus 1) = (2, minus 2) = 2 mal (1, minus 1). Die Spur 7 = 5 + 2 und die Determinante 10 = 5 mal 2 stimmen ebenfalls.

Der Rechner fuehrt diesen Prozess automatisch durch und zeigt Eigenvektoren, Polynom sowie Spur- und Determinantenprobe uebersichtlich an.