Eigenwerte berechnen: Eigenvektoren und Polynom für 2x2- und 3x3-Matrizen

Ein Eigenwert lambda einer quadratischen Matrix A ist eine Zahl, zu der ein Vektor v ungleich dem Nullvektor existiert, sodass A mal v gleich lambda mal v gilt; diesen Vektor v nennt man Eigenvektor.

Die Matrix streckt oder staucht ihn nur, ohne die Richtung zu drehen, und lambda gibt den Streckfaktor an.

Ein positiver Eigenwert erhält die Richtung, ein negativer kehrt sie um, und ein Eigenwert von null bedeutet, dass der Vektor auf den Nullpunkt abgebildet wird, die Matrix also singulär ist.

Eine 2x2-Matrix hat maximal 2 Eigenwerte, eine 3x3-Matrix maximal 3, jeweils gezählt mit Vielfachheit. Beispiel: Für A = [[2, 1], [1, 2]] liefert der Rechner die Eigenwerte 3 und 1 mit den Eigenvektoren (1, 1) und (1, -1).

Nur wenn genügend linear unabhängige Eigenvektoren existieren, lässt sich die Matrix überhaupt diagonalisieren; das prüft der Rechner automatisch bei jeder Eingabe.

Eigenwerte berechnet man, indem man die Gleichung det(A minus lambda mal I) gleich null löst, wobei I die Einheitsmatrix ist.

Für eine 2x2-Matrix mit den Einträgen a, b, c, d ergibt das die quadratische Gleichung lambda hoch 2 minus (a plus d) mal lambda plus (a mal d minus b mal c) gleich null, deren Koeffizienten genau Spur und Determinante sind.

Die Lösungen folgen aus der p-q-Formel: lambda gleich Spur durch 2 plus/minus Wurzel aus (Spur/2 hoch 2 minus Determinante).

Für A = [[2, 1], [1, 2]] beträgt die Spur 4 und die Determinante 3, sodass sich die Eigenwerte 3 und 1 ergeben (Polynom lambda² − 4λ + 3 = 0). Ist die Diskriminante negativ, entstehen zwei konjugiert komplexe Eigenwerte statt reeller Lösungen.

Der Rechner stellt das charakteristische Polynom automatisch auf und zeigt zusätzlich die Spur- und Determinantenprobe zur Kontrolle des Ergebnisses.

Bei einer 3x3-Matrix führt det(A minus lambda mal I) gleich null zu einem kubischen Polynom lambda³ − c2·λ² + c1·λ − c0 = 0, wobei c2 die Spur, c1 die Summe der drei 2x2-Hauptminoren und c0 die Determinante ist.

Der Rechner löst dieses Polynom mit der Cardano-Methode: Nach der Substitution lambda = t + Spur/3 entsteht ein deprimiertes Polynom t³ + At + B = 0, dessen Diskriminante D = B²/4 + A³/27 entscheidet, ob drei reelle oder ein reeller plus zwei komplexe Eigenwerte vorliegen.

Beispiel: Für die tridiagonale Matrix [[2, 1, 0], [1, 2, 1], [0, 1, 2]] ergeben sich die drei verschiedenen reellen Eigenwerte 3,4142, 2 und 0,5858 (Spur 6, Determinante 4, beide Proben bestehen).

Nicht jede 3x3-Matrix hat drei verschiedene Eigenwerte: Bei Dreiecksmatrizen stehen sie direkt auf der Hauptdiagonalen, ohne dass die Cardano-Formel nötig wäre.

Zu jedem gefundenen Eigenwert lambda löst man das homogene Gleichungssystem (A minus lambda mal I) mal v gleich null per Gauß-Elimination, um den zugehörigen Eigenvektor zu bestimmen.

Für A = [[4, 2], [1, 3]] liefert das charakteristische Polynom lambda² − 7λ + 10 = 0 die Eigenwerte 5 und 2.

Für lambda gleich 5 ergibt (A − 5I)v = 0 das System [[-1, 2], [1, -2]] mal v = 0, also v₁ = 2 v₂; normiert auf v₂ = 1 entsteht der Eigenvektor (1, 0,5). Für lambda gleich 2 folgt aus [[2, 2], [1, 1]] mal v = 0 der Eigenvektor (1, -1).

Die Probe bestätigt: A mal (1, 0,5) ergibt 5 mal (1, 0,5), und A mal (1, -1) ergibt 2 mal (1, -1). Nur bei einem mehrfachen Eigenwert kann der Eigenraum mehr als eine Dimension haben; der Rechner gibt dann alle unabhängigen Basisvektoren aus.

Ja, ein Eigenwert kann null sein, und das ist immer dann der Fall, wenn die Matrix singulär ist, also eine Determinante von null besitzt.

Die Determinante ist nämlich das Produkt aller Eigenwerte: Ist mindestens einer davon null, wird das gesamte Produkt zwangsläufig null.

Beispiel: Die Matrix [[1, 2], [2, 4]] hat die Determinante 1·4 − 2·2 = 0 und liefert die Eigenwerte 5 und 0 (Spur 5 = 5 + 0, Determinante 0 = 5 · 0).

Ein Eigenwert von null zeigt an, dass die zugehörige lineare Abbildung nicht umkehrbar ist: Der Eigenvektor zu lambda = 0 wird durch A vollständig auf den Nullvektor abgebildet, die Matrix hat also einen nicht trivialen Kern.

In der Praxis signalisiert ein Nulleigenwert etwa bei einer Steifigkeitsmatrix einen Freiheitsgrad ohne Rückstellkraft. Der Rechner erkennt diesen Fall automatisch über die Determinantenprobe.

Entartete Eigenwerte sind mehrfache Eigenwerte, also Nullstellen des charakteristischen Polynoms mit einer algebraischen Vielfachheit größer als eins.

Ob die Matrix dabei defekt ist, hängt von der geometrischen Vielfachheit ab, also der Dimension des zugehörigen Eigenraums.

Bei [[2, 0], [0, 2]] ist der doppelte Eigenwert 2 nicht defekt: Die geometrische Vielfachheit beträgt ebenfalls 2, jeder Vektor ist Eigenvektor, und die Matrix ist diagonalisierbar.

Bei [[2, 1], [0, 2]] dagegen bleibt trotz desselben doppelten Eigenwerts 2 nur der eine linear unabhängige Eigenvektor (1, 0) übrig: Die geometrische Vielfachheit 1 ist kleiner als die algebraische Vielfachheit 2, die Matrix ist defekt und nicht diagonalisierbar.

Nur wenn beide Vielfachheiten für jeden Eigenwert übereinstimmen, lässt sich die Matrix als P·D·P⁻¹ schreiben. Der Rechner prüft diese Bedingung automatisch und zeigt das Ergebnis im Feld Diagonalisierbarkeit an.

Den Eigenraum zu einem Eigenwert lambda berechnet man als Lösungsmenge des homogenen Systems (A minus lambda mal I) mal v gleich null, praktisch per Gauß-Elimination auf die Matrix A − lambda·I.

Jede freie Variable nach der Elimination liefert einen Basisvektor des Eigenraums; die Anzahl freier Variablen entspricht der geometrischen Vielfachheit.

Für die Matrix [[3, 1], [1, 3]] mit Eigenwerten 4 und 2 ist der Eigenraum zu lambda = 4 eindimensional und wird von (1, 1) aufgespannt, der zu lambda = 2 von (1, -1); beide Proben (Spur 6 = 4 + 2, Determinante 8 = 4 · 2) bestehen.

Bei einem mehrfachen Eigenwert kann der Eigenraum mehrere Basisvektoren enthalten, etwa bei der Einheitsmatrix, wo jeder Vektor zum Eigenraum gehört.

Der Rechner führt die Gauß-Elimination für 2x2- und 3x3-Matrizen automatisch durch und gibt den vollständigen Eigenraum bei mehrfachen Eigenwerten aus.

Die Spur einer Matrix, also die Summe ihrer Diagonaleinträge, entspricht immer exakt der Summe aller Eigenwerte, während die Determinante dem Produkt aller Eigenwerte entspricht.

Für A = [[2, 1], [1, 2]] mit den Eigenwerten 3 und 1 gilt: Spur 4 = 3 + 1 und Determinante 3 = 3 · 1. Diese beiden Kontrollgrößen zeigen sofort einen Rechenfehler an, wenn eine der beiden Gleichungen nicht aufgeht.

Bei konjugiert komplexen Eigenwerten gilt dieselbe Regel: Die Imaginärteile heben sich in Summe und Produkt gegenseitig auf, sodass Spur und Determinante trotzdem reelle Zahlen bleiben, wie das Beispiel [[0, -1], [1, 0]] mit den Eigenwerten i und -i zeigt (Spur 0, Determinante 1).

Nur bei einer 3x3-Matrix kommt zusätzlich die Summe der 2x2-Hauptminoren als mittlerer Koeffizient des charakteristischen Polynoms hinzu. Der Rechner zeigt Spurprobe und Determinantenprobe bei jeder Berechnung automatisch an.

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit (Dimension des Eigenraums) gleich der algebraischen Vielfachheit (Vielfachheit als Nullstelle des charakteristischen Polynoms) ist.

Matrizen mit ausschließlich verschiedenen Eigenwerten erfüllen diese Bedingung automatisch, ebenso alle symmetrischen Matrizen, deren Eigenvektoren stets orthogonal zueinander stehen.

Für A = [[2, 1], [1, 2]] mit den zwei verschiedenen Eigenwerten 3 und 1 ist die Matrix damit diagonalisierbar und lässt sich als P·D·P⁻¹ schreiben.

Problematisch wird es nur bei mehrfachen Eigenwerten: [[2, 1], [0, 2]] hat den doppelten Eigenwert 2, aber nur den einen Eigenvektor (1, 0), die geometrische Vielfachheit 1 bleibt also kleiner als die algebraische Vielfachheit 2, die Matrix ist defekt.

Um eine Matrix zu diagonalisieren, muss man diese Bedingung für jeden einzelnen Eigenwert prüfen, nicht nur für den größten.

Der Rechner führt diese Prüfung für 2x2- und 3x3-Matrizen automatisch durch und zeigt das Ergebnis direkt im Feld Diagonalisierbarkeit.