Vektor-Rechner: Betrag, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Winkel berechnen

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge und folgt aus dem Satz des Pythagoras: In 2D gilt |a| = Wurzel aus (ax hoch 2 plus ay hoch 2), in 3D kommt die z-Komponente hinzu.

Für a = (3, 4) ergibt der Rechner |a| = Wurzel aus (9 plus 16) = Wurzel aus 25 = 5, für a = (1, 2, 2) ergibt sich |a| = Wurzel aus (1 plus 4 plus 4) = Wurzel aus 9 = 3.

Wähle im Rechner den Modus Betrag, gib die Komponenten von Vektor a ein und lies Betrag sowie Einheitsvektor direkt ab; die Felder für Vektor b werden in diesem Modus ignoriert.

Der Betrag ist immer positiv oder null, nur der Nullvektor mit allen Komponenten gleich null hat den Betrag null und keine definierte Richtung.

Aus dem Betrag berechnet der Rechner automatisch den Einheitsvektor durch Division jeder Komponente durch |a|.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine einzelne Zahl und wird durch Aufsummieren der Komponentenprodukte berechnet: a mal b = ax mal bx + ay mal by + az mal bz.

Für a = (2, -1, 3) und b = (1, 5, 1) errechnet der Rechner a mal b = 2 - 5 + 3 = 0. Wähle dazu den Modus Skalarprodukt, trage beide Vektoren ein und lies neben dem Zahlenwert auch die automatische Orthogonalitätsprüfung ab.

Ein Ergebnis von exakt null bedeutet, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ein positiver Wert zeigt eine spitzwinklige, ein negativer eine stumpfwinklige Ausrichtung an.

Das Skalarprodukt ist stets kommutativ, also a mal b = b mal a, und liefert zusammen mit den Beträgen |a| und |b| über den Kosinus auch den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren.

Das Kreuzprodukt a kreuz b erzeugt aus zwei 3D-Vektoren einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht und damit der Normalenvektor der von ihnen aufgespannten Ebene ist.

Für die Einheitsvektoren e_x = (1, 0, 0) und e_y = (0, 1, 0) berechnet der Rechner a kreuz b = (0, 0, 1) mit dem Betrag 1, also exakt den Normalenvektor e_z.

Wähle den Modus Kreuzprodukt und den 3D-Modus, trage beide Vektoren ein und lies Ergebnisvektor sowie Betrag direkt ab; der Betrag entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im 3D-Modus ein vollständiger Vektor, im 2D-Modus liefert der Rechner stattdessen einen Skalarwert.

Es ist außerdem antikommutativ, das heißt a kreuz b = minus (b kreuz a), die Reihenfolge der Eingabe entscheidet also über das Vorzeichen des Normalenvektors.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ergibt sich aus cos α = (a mal b) geteilt durch (|a| mal |b|), wobei a mal b das Skalarprodukt ist.

Für die Einheitsvektoren a = (1, 0) und b = (0, 1) berechnet der Rechner: Skalarprodukt = 0, |a| = 1, |b| = 1, daraus cos α = 0 und arccos(0) = 90°. Wähle den Modus Winkel, trage beide Vektoren ein und lies das Ergebnis in Grad sowie in Radiant ab.

Ein Winkel von 90° zeigt Orthogonalität an, was der Rechner zusätzlich als eigenen Hinweis ausgibt.

Der Winkel ist ausschließlich für Vektoren definiert, die vom Nullvektor verschieden sind, weil sonst im Nenner der Formel eine Division durch null entstünde; der Rechner meldet diesen Sonderfall explizit als nicht definiert.

Ein Einheitsvektor hat exakt die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung wie der Ausgangsvektor; das Normieren bedeutet, jede Komponente durch den Betrag zu teilen: â = a geteilt durch |a|.

Für a = (1, 2, 2) mit |a| = 3 liefert der Rechner den Einheitsvektor â = (0,3333; 0,6667; 0,6667), dessen Länge exakt 1 beträgt. Der Modus Betrag gibt den Einheitsvektor automatisch mit aus, ohne dass eine zusätzliche Eingabe nötig ist.

Nur der Nullvektor kann nicht normiert werden, weil die Division durch den Betrag null nicht definiert ist.

Einheitsvektoren werden verwendet, um reine Richtungsinformationen ohne Längenanteil zu kodieren, etwa bei Flächennormalen in der 3D-Grafik oder bei der Definition von Koordinatenachsen in der Physik.

Vektoraddition und -subtraktion erfolgen komponentenweise: a plus b addiert beziehungsweise a minus b subtrahiert jede Komponente einzeln.

Für a = (5, 3) und b = (2, 1) berechnet der Rechner im Modus Addition a plus b = (7, 4) mit dem Betrag |a plus b| = 8,0623, im Modus Subtraktion a minus b = (3, 2) mit dem Betrag 3,6056.

Wähle den passenden Modus, trage beide Vektoren ein und lies Ergebnisvektor sowie dessen Betrag ab. Negative Komponenten sind in beiden Modi zulässig und verändern nur die Richtung, nicht die Rechenmethode.

Die Subtraktion a minus b entspricht der Addition von a und dem negierten Vektor minus b; in der Physik beschreibt sie etwa die Relativgeschwindigkeit zweier Objekte oder die Verschiebung zwischen zwei Punkten.

Ein Richtungsvektor zwischen zwei Punkten P1 und P2 ergibt sich durch Subtraktion der Ortsvektoren: Richtungsvektor = P2 minus P1, komponentenweise berechnet.

Für P1 = (1, 2, 3) und P2 = (4, 6, 8) trägst du im Modus Subtraktion a = (4, 6, 8) und b = (1, 2, 3) ein; der Rechner liefert (3, 4, 5) mit dem Betrag |a minus b| = 7,0711, was zugleich der Abstand der beiden Punkte ist.

Wähle dazu den 3D-Modus, wenn die Punkte eine z-Koordinate besitzen, sonst genügt 2D. Der Richtungsvektor zeigt vom ersten zum zweiten Punkt; vertauschst du die Reihenfolge, kehrt sich nur das Vorzeichen um, der Betrag bleibt gleich.

Normierst du das Ergebnis anschließend im Modus Betrag, erhältst du die reine Richtung ohne Längenanteil als Einheitsvektor.

Zwei Vektoren stehen genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist und beide Vektoren vom Nullvektor verschieden sind.

Für a = (2, -1, 3) und b = (1, 5, 1) berechnet der Rechner a mal b = 2 - 5 + 3 = 0, die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander; der Rechner zeigt diese Orthogonalität automatisch im Ergebnisfeld an.

Im Modus Winkel entspricht Orthogonalität einem Winkel von exakt 90°. Prüfe die Eigenschaft, indem du beide Vektoren im Modus Skalarprodukt oder Winkel einträgst und das Ergebnisfeld abliest, ohne von Hand nachrechnen zu müssen.

Die Bedingung gilt nicht, sobald einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist, weil dann jede Richtung unbestimmt bleibt.

In der Praxis dient die Prüfung etwa dem Aufspannen orthogonaler Koordinatensysteme oder der Unabhängigkeitsprüfung von Kraftkomponenten.

Im 2D-Modus liefert das Kreuzprodukt keinen Vektor, sondern einen einzelnen Skalarwert: ax mal by minus ay mal bx, was der Determinante der 2x2-Matrix aus beiden Komponentenvektoren entspricht.

Für a = (3, 4) und b = (1, 2) berechnet der Rechner 3 mal 2 minus 4 mal 1 = 6 minus 4 = 2.

Der Absolutbetrag dieses Skalars gibt die Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms an, das Vorzeichen zeigt die Orientierung: positiv heißt gegen den Uhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn.

Wähle im Rechner den 2D-Modus, wenn nur die Fläche interessiert; benötigst du dagegen den vollständigen Normalenvektor mit Richtungsangabe, musst du in den 3D-Modus wechseln, wo dieselbe Operation einen dreikomponentigen Ergebnisvektor liefert.

Nur im 3D-Modus zeigt der Rechner zusätzlich den Hinweis auf den Normalenvektor an.

Nur der Modus Betrag arbeitet ausschließlich mit Vektor a; die Eingaben für Vektor b werden dabei angezeigt, aber für die Berechnung ignoriert.

Alle fünf übrigen Operationen benötigen zwingend beide Vektoren: Addition und Subtraktion verrechnen die Komponenten paarweise, das Skalarprodukt multipliziert gleichnamige Komponenten und summiert sie zu einer Zahl, das Kreuzprodukt kombiniert sechs Komponentenprodukte zu einem Normalenvektor, und die Winkelberechnung setzt Skalarprodukt sowie beide Beträge ins Verhältnis.

Ein Beispiel: Bei a = (5, 3) und b = (2, 1) liefert nur der Modus Addition oder Subtraktion ein sinnvolles Ergebnis mit beiden Vektoren, während der Modus Betrag von b unbeeinflusst bleibt.

Ein typischer Eingabefehler ist, bei der Winkel- oder Skalarprodukt-Berechnung nur Vektor a auszufüllen und die Standardwerte für b unverändert zu lassen, wodurch das Ergebnis nicht zur beabsichtigten Aufgabe passt.