Vektor-Rechner: Betrag, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Winkel berechnen

Der Betrag eines Vektors ist seine Laenge und wird ueber den Satz des Pythagoras berechnet. In 2D lautet die Formel |a| = Wurzel aus (ax hoch 2 plus ay hoch 2). Fuer den Vektor a = (3, 4) ergibt sich |a| = Wurzel aus (9 plus 16) = Wurzel aus 25 = 5.

In 3D kommt die z-Komponente hinzu: |a| = Wurzel aus (ax hoch 2 plus ay hoch 2 plus az hoch 2). Der Betrag ist immer positiv oder null. Ein Vektor mit Betrag null heisst Nullvektor und hat keine definierte Richtung.

Der Einheitsvektor wird durch Division des Vektors durch seinen Betrag gebildet: â = a geteilt durch |a|. Fuer a = (3, 4) ergibt sich der Einheitsvektor (0,6; 0,8), der exakt die Laenge 1 hat und in die gleiche Richtung wie a zeigt.

Das Skalarprodukt a mal b ergibt eine einzelne Zahl und wird durch Aufsummieren der Komponentenprodukte berechnet: ax mal bx plus ay mal by plus az mal bz. Es misst, wie stark zwei Vektoren in die gleiche Richtung zeigen.

Ein Skalarprodukt von null bedeutet, dass die Vektoren orthogonal zueinander stehen. Das Kreuzprodukt a kreuz b dagegen ergibt einen neuen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht.

Es existiert nur im dreidimensionalen Raum als vollstaendige Vektoroperation. Der Betrag des Kreuzproduktvektors entspricht der Flaeche des von a und b aufgespannten Parallelogramms.

Das Skalarprodukt ist kommutativ, das Kreuzprodukt dagegen antikommutativ: a kreuz b gleich minus b kreuz a.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren wird ueber die Formel cos alpha = (a mal b) geteilt durch (|a| mal |b|) bestimmt, wobei a mal b das Skalarprodukt ist. Fuer a = (1, 1) und b = (1, 0) ergibt sich: Skalarprodukt = 1, |a| = 1,4142, |b| = 1.

Daraus folgt cos alpha = 1 geteilt durch 1,4142 = 0,7071. Der Arcuskosinus von 0,7071 liefert alpha = 45 Grad. Der Rechner gibt das Ergebnis in Grad und Radiant aus. Ein Winkel von 90 Grad bedeutet, dass die Vektoren orthogonal stehen.

Der Winkel ist nur fuer Vektoren definiert, die verschieden vom Nullvektor sind, weil sonst eine Division durch null auftraete.

Zwei Vektoren stehen genau dann orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist und beide Vektoren verschieden vom Nullvektor sind.

Die Standardbasisvektoren e_x = (1, 0, 0) und e_y = (0, 1, 0) bilden ein klassisches Beispiel: Skalarprodukt = 1 mal 0 plus 0 mal 1 plus 0 mal 0 = 0. Der Rechner prueft die Orthogonalitaet automatisch in den Modi Skalarprodukt und Winkel.

Bei einem Winkel von exakt 90 Grad zeigt die Ausgabe ebenfalls die Orthogonalitaet an.

In der Computergrafik und Physik ist die Orthogonalitaetspruefung besonders wichtig, etwa beim Aufspannen lokaler Koordinatensysteme oder beim Pruefen der Unabhaengigkeit von Kraftkomponenten in der Statik.

Im 2D-Modus liefert das Kreuzprodukt keinen Vektor, sondern einen einzelnen Skalarwert. Dieser Wert berechnet sich als ax mal by minus ay mal bx und entspricht der Determinante der 2x2-Matrix aus den Komponentenvektoren.

Fuer a = (3, 4) und b = (1, 2) ergibt sich 3 mal 2 minus 4 mal 1 = 6 minus 4 = 2. Der Absolutbetrag dieses Skalars gibt die Flaeche des von a und b aufgespannten Parallelogramms an.

Das Vorzeichen zeigt die Orientierung: positiv bedeutet, dass b gegen den Uhrzeigersinn von a aus liegt, negativ heisst im Uhrzeigersinn.

Fuer den vollstaendigen Kreuzproduktvektor mit Richtungsangabe muss in den 3D-Modus gewechselt werden, wo das Ergebnis ein dreikomponentiger Vektor senkrecht zur Ebene ist.

Ein Einheitsvektor hat exakt die Laenge 1 und zeigt in die gleiche Richtung wie der Ausgangsvektor. Er wird berechnet, indem jede Komponente des Vektors durch seinen Betrag geteilt wird: â = a geteilt durch |a|.

Fuer a = (3, 4) mit |a| = 5 ergibt sich â = (3 geteilt durch 5, 4 geteilt durch 5) = (0,6; 0,8). Der Rechner gibt den Einheitsvektor im Betrag-Modus automatisch aus.

Einheitsvektoren werden in der Physik verwendet, um reine Richtungsinformationen ohne Laenge zu kodieren, etwa bei Normalen auf Oberflaechen oder bei der Definition von Koordinatenachsen.

In der Computergrafik normalisiert man Vektoren vor der Beleuchtungsberechnung, weil Lichtformeln einen normierten Normalenvektor mit Laenge 1 voraussetzen.

Nur der Betrag-Modus arbeitet ausschliesslich mit Vektor a. Die Eingaben fuer Vektor b werden in diesem Modus zwar angezeigt, aber fuer die Berechnung ignoriert.

Alle anderen fuenf Operationen benoetigen beide Vektoren: Addition summiert die Komponenten komponentenweise, Subtraktion bildet die Differenz, das Skalarprodukt multipliziert gleichnamige Komponenten und summiert sie, das Kreuzprodukt berechnet den Normalenvektor aus sechs Komponentenprodukten, und die Winkelberechnung setzt Skalarprodukt und Betraege beider Vektoren ins Verhaeltnis.

Ein typischer Eingabefehler ist, bei der Winkelberechnung nur Vektor a einzutragen und die Standardwerte fuer b stehenzulassen, wodurch der Winkel nicht zur beabsichtigten Aufgabe passt.

Der Rechner bietet einen eigenen Subtraktionsmodus, der a minus b komponentenweise berechnet: Aus a = (5, 3) und b = (2, 1) wird (5 minus 2, 3 minus 1) = (3, 2). Negative Komponentenwerte sind in allen Modi zulaessig.

Ein Vektor mit negativen Komponenten wie (minus 3, 4) hat denselben Betrag wie (3, minus 4), naemlich 5, zeigt aber in eine andere Richtung. Die Subtraktion a minus b laesst sich auch als Addition von a und dem negierten Vektor minus b auffassen.

In der Physik beschreibt die Vektordifferenz etwa die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei bewegten Objekten oder die Verschiebung zwischen zwei Punkten im Raum. Der Betrag der Differenz ist der Abstand beider Endpunkte.

Das Skalarprodukt a mal b = |a| mal |b| mal cos alpha verbindet die Betraege beider Vektoren mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Wenn das Skalarprodukt null ergibt und keiner der Vektoren ein Nullvektor ist, muss cos alpha gleich null sein, was exakt bei alpha gleich 90 Grad der Fall ist.

Zwei Vektoren stehen also genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet. Beispiel: Fuer a = (2, -1, 3) und b = (4, 2, -1) ergibt der Rechner a mal b = 8 - 2 - 3 = 3.

Da das Ergebnis ungleich null ist, stehen die Vektoren nicht orthogonal. Aendert man b zu (1, 5, 1), ergibt sich a mal b = 2 - 5 + 3 = 0 und die Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

In der Praxis nutzt man diese Eigenschaft, um Koordinatensysteme zu pruefen: Die Basisvektoren muessen paarweise orthogonal sein, also Skalarprodukt null liefern.

Auch in der Signalverarbeitung dient das Skalarprodukt als Mass fuer die Aehnlichkeit zweier Signale.

Das Kreuzprodukt als Operation, die aus zwei Vektoren einen dritten Vektor erzeugt, der senkrecht auf beiden steht, ist nur im dreidimensionalen Raum eindeutig definiert.

In zwei Dimensionen gibt es keine dritte unabhaengige Richtung, in die der Ergebnisvektor zeigen koennte.

Der Rechner liefert deshalb im 2D-Modus nur einen Skalarwert: die Determinante der 2x2-Matrix aus den Komponentenvektoren, deren Betrag die Parallelogrammflaeche angibt.

Fuer a = (1, 0, 3) und b = (2, 1, -1) berechnet der Rechner im 3D-Modus das Kreuzprodukt (-3, 7, 1) mit dem Betrag 7,6811. Dieser Ergebnisvektor steht senkrecht auf a und b und dient als Normalenvektor der aufgespannten Ebene.

Mathematisch laesst sich die Einschraenkung auf drei Dimensionen ueber die Lie-Algebra und die Isomorphie von R hoch 3 mit so(3) begruenden.

In hoeheren Dimensionen existieren verwandte Konstruktionen wie der Hodge-Stern-Operator, die aber keinen einzelnen Ergebnisvektor liefern. Fuer den vollstaendigen Kreuzproduktvektor mit Richtungsangabe muss im Rechner der 3D-Modus aktiv sein.