Matrix-Rechner: Determinante, Inverse und Matrizenoperationen berechnen

Die Determinante einer 2x2-Matrix mit den Eintraegen a, b, c, d wird nach der Formel ad - bc berechnet. Fuer die Matrix [[1, 2], [3, 4]] ergibt sich: 1 mal 4 minus 2 mal 3 = -2. Eine Determinante von 0 bedeutet, dass die Matrix singulaer ist und keine Inverse besitzt.

Eine singulaere Matrix hat eine Determinante von 0. Ihre Zeilen oder Spalten sind linear abhaengig, das heisst mindestens eine Zeile laesst sich als Linearkombination der anderen darstellen.

Singulaere Matrizen sind nicht invertierbar und das zugehoerige Gleichungssystem hat entweder keine oder unendlich viele Loesungen.

Fuer die Inverse einer 3x3-Matrix berechnet der Rechner zuerst die Determinante per Laplace-Entwicklung. Ist sie ungleich 0, bildet er die Kofaktormatrix, transponiert sie zur Adjungierten und teilt jedes Element durch die Determinante.

Das Ergebnis ist die Matrix A^(-1), fuer die gilt: A mal A^(-1) ergibt die Einheitsmatrix.

Bei der Matrixmultiplikation A mal B wird jedes Element c_ij der Ergebnismatrix als Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B berechnet.

Fuer 2x2-Matrizen [[1,2],[3,4]] mal [[5,6],[7,8]] ergibt sich [[1*5+2*7, 1*6+2*8],[3*5+4*7, 3*6+4*8]] = [[19,22],[43,50]]. Die Multiplikation ist nicht kommutativ: A mal B ist im Allgemeinen ungleich B mal A.

Die Transponierte entsteht durch Vertauschen von Zeilen und Spalten: das Element in Zeile i, Spalte j wird zu Zeile j, Spalte i. Aus [[1,2],[3,4]] wird [[1,3],[2,4]]. Eine symmetrische Matrix ist identisch mit ihrer Transponierten, was bedeutet, dass a_ij = a_ji fuer alle Eintraege gilt.

Der Rang gibt die Anzahl linear unabhaengiger Zeilen (oder Spalten) an und wird per Gauss-Elimination bestimmt. Eine 3x3-Matrix mit Rang 3 hat vollen Rang, ihr Gleichungssystem besitzt genau eine Loesung. Rang 2 bedeutet, dass eine Zeile von den anderen abhaengt, und Rang 1, dass alle Zeilen kollinear sind.

Der Rechner prueft drei Eigenschaften: symmetrisch (a_ij = a_ji fuer alle Elemente), Diagonalmatrix (alle Eintraege ausserhalb der Hauptdiagonale sind 0) und Einheitsmatrix (Diagonalmatrix mit ausschliesslich Einsen auf der Diagonale). Diese Eigenschaften werden automatisch erkannt und im Ergebnis angezeigt.

Matrix B wird nur bei den Operationen Matrixprodukt (A mal B) und Matrixsumme (A plus B) benoetigt. Fuer Determinante, Inverse, Transponierte und Rang genuegt Matrix A allein.

Wenn eine binaere Operation gewaehlt wird, tragen Sie die Werte beider Matrizen ein. Die B-Felder werden bei einseitigen Operationen zwar angezeigt, aber fuer die Berechnung ignoriert.