Komplexe-Zahlen-Rechner: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil und wird als z = a + bi geschrieben, wobei i die imaginäre Einheit mit der Eigenschaft i² = −1 ist.

Der Realteil a verhält sich wie eine gewöhnliche reelle Zahl, der Imaginärteil b gibt an, wie viele Vielfache von i hinzukommen.

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen, weil Gleichungen wie x² + 1 = 0 im Reellen keine Lösung besitzen, in den komplexen Zahlen aber die Lösungen x = i und x = −i liefern.

Grafisch lässt sich jede komplexe Zahl als Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene darstellen, mit dem Realteil auf der waagerechten und dem Imaginärteil auf der senkrechten Achse: Für z = 3 + 4i liegt dieser Punkt bei den Koordinaten (3, 4).

Trage Real- und Imaginärteil in den Rechner ein, um Betrag, Argument und Polarform automatisch zu erhalten – bei rein reellen Zahlen genügt es, den Imaginärteil auf 0 zu setzen.

Komplexe Zahlen lösen Gleichungen, die im Reellen unlösbar sind, etwa x² + 1 = 0, und bilden damit die Grundlage des Fundamentalsatzes der Algebra, nach dem jedes Polynom vom Grad n genau n komplexe Nullstellen besitzt.

In der Elektrotechnik beschreiben sie Wechselstromgrößen als Zeiger mit Betrag und Phasenwinkel: Eine Impedanz wie Z = 100 − 318,5i Ohm fasst Wirkwiderstand und Blindwiderstand in einer einzigen Rechengröße zusammen.

In der Signalverarbeitung macht die Fourier-Transformation Frequenzanteile eines Signals nur mit komplexen Zahlen sichtbar, und in der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen grundsätzlich komplexwertig.

Auch die Regelungstechnik nutzt komplexe Zahlen, um die Stabilität von Systemen über die Lage von Polstellen in der komplexen Ebene zu prüfen.

Ohne komplexe Zahlen ließen sich diese Anwendungen in Ingenieurwesen, Physik, Signalverarbeitung und reiner Mathematik nicht einheitlich beschreiben – deshalb gehören sie seit dem 16. Jahrhundert zum festen mathematischen Handwerkszeug.

Der Betrag |z| einer komplexen Zahl z = a + bi gibt den Abstand des zugehörigen Punkts vom Ursprung der Gauß'schen Zahlenebene an und berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras als |z| = √(a² + b²).

Für z = 3 + 4i ergibt sich |z| = √(9 + 16) = √25 = 5, unabhängig davon, ob a oder b negativ sind, denn beide Werte werden quadriert. Der Betrag ist deshalb immer eine nicht-negative reelle Zahl, selbst wenn Real- und Imaginärteil negativ sind.

Anwendung findet der Betrag etwa in der Elektrotechnik als Scheinwiderstand einer Impedanz oder als Amplitude einer überlagerten Schwingung.

Trage die beiden Zahlenwerte in den Rechner ein und setze z₂ auf 0 + 0i mit der Operation Addition, wenn du nur den Betrag von z₁ allein ablesen möchtest – das Ergebnisfeld „Betrag“ zeigt den Wert direkt an, ohne dass du die Wurzel selbst ziehen musst.

Das Argument einer komplexen Zahl ist der Winkel φ zwischen der positiven reellen Achse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt z in der Gauß'schen Zahlenebene, und der Rechner gibt diesen Winkel in Grad aus.

Für z = 3 + 4i beträgt das Argument arctan(4/3) ≈ 53,13°, weil beide Werte positiv sind und der Punkt im ersten Quadranten liegt.

Bei negativem Realteil reicht die einfache Arkustangens-Formel allein nicht aus: Für z = −3 + 4i liegt der Punkt im zweiten Quadranten, und das korrekte Argument beträgt 126,87°, nicht etwa −53,13°.

Deshalb berücksichtigt der Rechner intern automatisch den Quadranten über die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil.

Das Argument ist besonders bei Multiplikation und Division nützlich, weil sich dort die Argumente addieren beziehungsweise subtrahieren, während sich die Beträge multiplizieren beziehungsweise dividieren.

Die Polarform beschreibt eine komplexe Zahl nicht über Realteil und Imaginärteil, sondern über ihren Betrag r und ihr Argument φ in der Form z = r · (cos φ + i · sin φ).

Für z = 3 + 4i mit Betrag 5 und Argument 53,13° lautet die Polarform 5 · (cos 53,13° + i · sin 53,13°), was exakt denselben Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene beschreibt wie die kartesische Schreibweise 3 + 4i.

Der Vorteil der Polarform zeigt sich bei Multiplikation und Division: Statt vier Einzelmultiplikationen wie bei der kartesischen Form werden einfach die Beträge multipliziert oder dividiert und die Argumente addiert oder subtrahiert.

Der Rechner berechnet die Polarform automatisch aus jedem Ergebnis, sodass ein manueller Wechsel zwischen den beiden Darstellungsformen nicht nötig ist – nur beim Betrag 0 ist das Argument mathematisch nicht eindeutig definiert.

Die konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi ist z̄ = a − bi: Der Realteil bleibt unverändert, nur das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt. Für z = 5 − 2i lautet die konjugiert komplexe Zahl also z̄ = 5 + 2i.

Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer eigenen Konjugierten, entsteht stets eine reelle Zahl: z · z̄ = a² + b², für z = 3 + 4i also 3² + 4² = 25.

Genau diese Eigenschaft nutzt der Rechner bei der Division, um den Nenner reell zu machen, bevor er den Bruch auflöst.

Geometrisch entspricht die Konjugation einer Spiegelung des Punkts an der reellen Achse in der Gauß'schen Zahlenebene: Der Betrag bleibt dabei unverändert, nur das Vorzeichen des Arguments kehrt sich um.

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen erfolgen komponentenweise, also getrennt für Real- und Imaginärteil: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.

Für z₁ = 3 + 4i und z₂ = 1 − 2i ergibt die Addition 3 + 1 = 4 als Realteil und 4 + (−2) = 2 als Imaginärteil, also insgesamt 4 + 2i.

Bei der Subtraktion derselben beiden Zahlen entsteht dagegen 2 + 6i, weil der Imaginärteil von z₂ diesmal abgezogen statt addiert wird.

In der Gauß'schen Zahlenebene entspricht die Addition zweier komplexer Zahlen der Vektoraddition: Man hängt die beiden Pfeile vom Ursprung aneinander.

Ein häufiger Fehler ist, das Vorzeichen eines negativen Imaginärteils beim Subtrahieren zu übersehen – trage Zahlen wie 1 − 2i deshalb konsequent mit dem Minuszeichen im Imaginärteil-Feld ein.

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen folgt dem Distributivgesetz unter der Regel i² = −1: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Für z₁ = 3 + 4i und z₂ = 1 − 2i ergibt sich der Realteil als 3 · 1 − 4 · (−2) = 3 + 8 = 11 und der Imaginärteil als 3 · (−2) + 4 · 1 = −6 + 4 = −2, insgesamt also 11 − 2i.

Ein häufiger Fehler ist, den Term bd · i² als +bd statt als −bd zu behandeln, weil dabei das Minuszeichen aus i² = −1 verloren geht und sich das Vorzeichen im Realteil umdreht.

In Polarform lässt sich dieselbe Multiplikation einfacher ausführen: Die Beträge werden multipliziert und die Argumente addiert, was besonders bei mehrfachen Multiplikationen hintereinander Rechenaufwand spart.

Um durch eine komplexe Zahl zu teilen, erweitert man den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, damit dieser reell wird: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).

Für z₁ = 3 + 4i geteilt durch z₂ = 1 − 2i ergibt das (3 + 4i)(1 + 2i) / 5 = (−5 + 10i) / 5 = −1 + 2i.

Der Kehrwert einer komplexen Zahl ist der Spezialfall, bei dem z₁ = 1 + 0i gesetzt wird: Der Kehrwert von 2 + 3i beträgt zum Beispiel 0,1538 − 0,2308i, berechnet über dieselbe Erweiterungsformel.

Die Division ist nur definiert, wenn der Nenner nicht die Nullzahl 0 + 0i ist – in diesem Fall zeigt der Rechner keine Fehlermeldung, sondern gibt für Real- und Imaginärteil sowie Betrag jeweils 0 und für Polarform und Konjugierte einen leeren Wert zurück.

Die imaginäre Einheit i ist so definiert, dass i² = −1 gilt – das ist die Grundannahme, auf der die gesamte Rechnung mit komplexen Zahlen aufbaut.

Im Rechner lässt sich das direkt nachprüfen: Trägst du für z₁ und z₂ jeweils 0 + 1i ein und wählst Multiplikation, liefert das Ergebnis −1 + 0i.

Aus i² = −1 folgt auch, warum die Wurzel aus einer negativen Zahl wie −4 keine reelle, aber eine komplexe Lösung hat: 2i mal 2i ergibt −4, also ist 2i die gesuchte Wurzel aus −4.

Die Potenzen von i wiederholen sich danach in einem Zyklus von vier: i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1, und danach beginnt der Zyklus erneut.

Um eine hohe Potenz wie i¹⁷ zu bestimmen, genügt es, 17 durch 4 zu teilen und nur den Rest zu betrachten: i¹⁷ = i¹ = i.