Komplexe-Zahlen-Rechner: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division

Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen um die imaginaere Einheit i mit der Eigenschaft i² = −1. Jede komplexe Zahl hat die Form z = a + bi, wobei a der Realteil und b der Imaginaerteil ist.

Der Komplexe-Zahlen-Rechner fuehrt die vier Grundrechenarten auf zwei komplexen Zahlen durch und zeigt zusaetzlich Betrag, Argument, Polarform und konjugiert komplexe Zahl des Ergebnisses.

Komplexe Zahlen begegnen uns in der Elektrotechnik bei der Berechnung von Wechselstromkreisen, in der Signalverarbeitung bei der Fourier-Transformation, in der Quantenmechanik und in der Regelungstechnik.

In der Mathematik sind sie unverzichtbar fuer den Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass jedes Polynom vom Grad n genau n Nullstellen in den komplexen Zahlen besitzt.

Auch quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante liefern komplexe Loesungen, die der Quadratische-Gleichung-Rechner als Sonderfall ausgibt.

Der Rechner macht diese Zusammenhaenge direkt zugaenglich: Du gibst Real- und Imaginaerteil beider Zahlen ein, waehlst die Operation und liest das Ergebnis in kartesischer und polarer Darstellung ab.

Trage den Realteil und den Imaginaerteil der ersten komplexen Zahl z₁ in die Felder ein, dann den Realteil und den Imaginaerteil der zweiten komplexen Zahl z₂. Negative Imaginaerteile erzeugen Zahlen wie 1 − 2i.

Waehle anschliessend die gewuenschte Operation: Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Ein typischer Fehler ist, das Vorzeichen des Imaginaerteils zu vergessen: Fuer z = 3 − 4i muss der Imaginaerteil als −4 eingetragen werden, nicht als 4.

Bei der Division darf z₂ nicht die Nullzahl 0 + 0i sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Fuer rein reelle Zahlen setze den Imaginaerteil auf 0, fuer rein imaginaere Zahlen den Realteil auf 0.

Die vier Grundrechenarten fuer z₁ = a + bi und z₂ = c + di: Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise: (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i. Bei der Multiplikation wird das Distributivgesetz angewendet und i² = −1 eingesetzt: (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Beispiel: (3 + 4i) · (1 − 2i) = (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i. Bei der Division wird mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitert, sodass der Nenner reell wird: (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²).

Der Betrag berechnet sich als |z| = √(a² + b²), das Argument als φ = arctan(b/a) in Grad. Die Polarform stellt das Ergebnis als r · (cos φ + i · sin φ) dar, wobei r der Betrag und φ das Argument ist.

Die konjugiert komplexe Zahl entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginaerteils: z̄ = a − bi.

Fuer Multiplikation und Division ist die Polarform besonders praktisch: Beim Multiplizieren werden die Betraege multipliziert und die Argumente addiert, beim Dividieren die Betraege dividiert und die Argumente subtrahiert.