Logarithmus-Rechner: log, ln und lg mit beliebiger Basis

Drei Grundgesetze regeln den Umgang mit Logarithmen: die Produktregel log(a × b) = log(a) + log(b), die Quotientenregel log(a ÷ b) = log(a) − log(b) und die Potenzregel log(a^n) = n × log(a).

Die Produktregel lässt sich sofort verifizieren: log₁₀(2) ≈ 0,301 und log₁₀(5) ≈ 0,699 addieren sich zu 1,0 — exakt log₁₀(10), weil 2 × 5 = 10 ist.

Die Quotientenregel bestätigt sich analog: log₁₀(1000) − log₁₀(10) = 3 − 1 = 2, identisch mit log₁₀(100) = 2. Für die Potenzregel gilt log₂(64) = 6, und tatsächlich ist 6 = 2 × 3 = 2 × log₂(8), weil 64 = 8² ist.

Ergänzend gelten zwei Randregeln: log_a(1) = 0 für jede zulässige Basis, und log_a(a) = 1.

Wichtig für die Praxis: Diese drei Gesetze gelten ausschließlich für Multiplikation, Division und Potenzierung — log(a + b) lässt sich nicht in log(a) + log(b) zerlegen, das ist der häufigste Fehler beim Vereinfachen logarithmischer Terme.

Ein Logarithmus beantwortet die Frage, welcher Exponent eine Basis auf einen Zielwert bringt: log_a(b) = x bedeutet a^x = b.

Zum Beispiel gilt log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000 ist, und log₂(8) = 3, weil 2³ = 8 ist — derselbe Zahlenwert, aber zu unterschiedlichen Basen berechnet.

Der Logarithmus ist damit die Umkehrfunktion der Potenz: Während eine Potenz aus Basis und Exponent den Zielwert berechnet, sucht der Logarithmus aus Basis und Zielwert den passenden Exponenten.

Eingesetzt wird das überall dort, wo eine exponentielle Beziehung rückwärts gelesen werden muss, etwa bei Verdopplungszeiten von Kapital, Dezibel-Pegeln oder dem pH-Wert einer Lösung.

Wichtig als Grenze: Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, log(0) und der Logarithmus einer negativen Zahl existieren im reellen Zahlenraum nicht.

Geben Sie im Rechner Basis 10 und Wert 100 ein, bestätigt das Ergebnis 2 sofort die Definition, denn 10² = 100.

Auf den meisten wissenschaftlichen Taschenrechnern gibt es zwei feste Logarithmustasten: LOG für den dekadischen Logarithmus zur Basis 10 und LN für den natürlichen Logarithmus zur Basis e ≈ 2,71828.

Für log₁₀(1000) tippen Sie LOG, dann 1000, dann die Gleich-Taste — das Display zeigt 3.

Für Logarithmen zu anderen Basen wie 2 oder 5 gibt es meist keine eigene Taste; hier hilft der Basiswechselsatz log_a(b) = ln(b) ÷ ln(a), den auch dieser Online-Rechner intern verwendet.

Für log₂(32) berechnen Sie also LN(32) ÷ LN(2) und erhalten 5, weil 2⁵ = 32 gilt.

Achten Sie auf die Eingabereihenfolge: Manche Taschenrechner erwarten erst die Zahl und dann die LOG-Taste, andere umgekehrt — ein Blick ins Handbuch klärt das in Sekunden.

Ein häufiger Bedienfehler ist, LOG und LN zu verwechseln, weil beide Tasten oft nebeneinander liegen und ähnlich beschriftet sind, was zu einem komplett falschen Ergebnis führt.

Ohne Hilfsmittel lässt sich ein Logarithmus über bekannte Ankerwerte und die Logarithmusgesetze annähern. Wer log₁₀(2000) sucht, zerlegt zunächst in log₁₀(2) + log₁₀(1000) = 0,301 + 3 = 3,301 — beide Teilwerte sind gängige Merkzahlen.

Für Zweierpotenzen hilft das direkte Abzählen: log₂(256) = 8, weil 2 achtmal mit sich selbst multipliziert 256 ergibt (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256).

Bei Zahlen zwischen zwei bekannten Zehnerpotenzen liefert die Intervallschätzung einen groben Wert: log₁₀(30) liegt zwischen log₁₀(10) = 1 und log₁₀(100) = 2, tatsächlich bei rund 1,4771, also näher an der unteren Grenze.

Diese Kopfrechenverfahren ersetzen keine exakte Berechnung, reichen aber für Plausibilitätschecks und Prüfungssituationen ohne Rechner völlig aus.

Für exakte Dezimalstellen bleibt der Logarithmus-Rechner oder eine Logarithmentafel das zuverlässigere Werkzeug, besonders bei krummen Zahlen wie 30 oder 2000.

Der Basiswechselsatz log_a(b) = ln(b) ÷ ln(a) rechnet jeden Logarithmus auf eine beliebige andere Basis um, meist auf den natürlichen Logarithmus ln oder den dekadischen log₁₀, weil beide auf jedem Taschenrechner verfügbar sind.

Für log₅(125) ergibt sich ln(125) ÷ ln(5) = 4,8283 ÷ 1,6094 = 3, was sich sofort bestätigen lässt: 5³ = 125. Ebenso liefert log₃(9) über ln(9) ÷ ln(3) den Wert 2, weil 3² = 9 gilt.

Dieser Rechner übernimmt die Umrechnung automatisch, sobald Sie unter „Basis“ die Option „Andere“ wählen und die gewünschte Basis eintragen.

Praktisch gebraucht wird der Basiswechsel vor allem bei ungewöhnlichen Basen wie 5, 7 oder 12, für die es keine eigene Taschenrechnertaste gibt.

Grenzfall: Die Zielbasis muss größer als 0 und ungleich 1 sein, sonst liefert die Formel keinen sinnvollen Wert, weil der Nenner ln(1) = 0 eine Division durch null erzeugen würde.

ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (rund 2,71828) und dominiert in Analysis, Wachstumsmodellen und Zerfallsprozessen. lg steht im deutschen Schulkontext für den dekadischen Logarithmus zur Basis 10, log ist dagegen kontextabhängig: In Schulbüchern meist Basis 10, in der Informatik häufig Basis 2.

Entscheidend ist nicht die Abkürzung, sondern welche Basis die konkrete Formel oder Aufgabe voraussetzt.

Der Zweierlogarithmus wird oft ld oder lb genannt: ld(256) = 8 gibt an, dass acht Bits nötig sind, um 256 verschiedene Zustände binär darzustellen — die Grundlage jeder Kompressionsberechnung.

Testen Sie bei Unsicherheit zuerst einen bekannten Wert: log₁₀(100) muss 2 ergeben, log₂(8) muss 3 ergeben.

Stimmt das Ergebnis nicht, haben Sie versehentlich die falsche Basis gewählt und sollten die Eingabe korrigieren, bevor Sie mit dem Ergebnis weiterrechnen.

Ein negativer Logarithmuswert zeigt, dass das Argument zwischen 0 und 1 liegt, sofern die Basis größer als 1 ist. Bei log₁₀(0,01) = −2 etwa gilt 10⁻² = 0,01 exakt — kein Fehler, sondern der Hinweis auf einen Kehrwert-Exponenten.

Ähnlich liefert log₁₀(0,1) = −1, weil 10⁻¹ = 0,1 ist. Bei Basen zwischen 0 und 1 kehrt sich das Vorzeichen um: log_{0,5}(8) = −3, denn 0,5⁻³ = 2³ = 8.

In der Chemie nutzt die pH-Skala dieses Prinzip: pH = −log₁₀(c), sodass eine Protonenkonzentration von 0,001 mol/l einen pH-Wert von 3 ergibt.

Praktisch bedeutet ein negatives Vorzeichen also immer: Argument kleiner als 1 bei Basis größer als 1, oder umgekehrt.

Prüfen Sie das Vorzeichen im Rechner deshalb als ersten Plausibilitätscheck, bevor Sie das Ergebnis in einer Formel weiterverwenden — ein unerwartetes Vorzeichen deutet fast immer auf eine vertauschte Basis hin.

Nur eine positive Basis ungleich 1 macht den Logarithmus zur eindeutigen Umkehrfunktion der Potenz. Mit Basis 1 würde jeder Exponent denselben Zielwert 1 liefern, sodass sich kein Exponent mehr eindeutig zurückrechnen ließe.

Mit negativen Basen entstehen bei vielen Argumenten keine reellen Werte, weil etwa (−2) hoch 0,5 bereits eine komplexe Zahl ist. Der Rechner blockiert Basis 0 und negative Basen mit einer Fehlermeldung.

Tragen Sie unter „Eigene Basis“ aber die Zahl 1 ein, weicht er still auf Basis 10 aus, ohne das anzuzeigen: Für den Numerus 8 erscheint dann 0,9031 (lg(8)) statt der erwarteten Fehlermeldung.

Kontrollieren Sie deshalb bei ungewöhnlichen Basiswerten immer, ob die eingetragene Basis auch tatsächlich übernommen wurde — die Probe deckt diesen Fall nicht auf, weil sie automatisch mit der ersetzten Basis 10 zurückrechnet.

Basis 0,5 dagegen wird korrekt akzeptiert und liefert für Argumente über 1 negative Ergebnisse.

Der Logarithmus zur Basis 2, geschrieben als ld oder lb, gibt an, wie viele Bits nötig sind, um eine bestimmte Anzahl unterschiedlicher Zustände binär zu codieren.

Für ld(1024) = 10 bedeutet das: 10 Bits reichen aus, um 1.024 verschiedene Werte darzustellen, weil 2¹⁰ = 1.024 ist.

Diese Beziehung ist die Grundlage für Speicheradressierung, Farbtiefen in Bildern und die Zeitkomplexität von Sortieralgorithmen wie Mergesort, deren Laufzeit mit n × ld(n) wächst.

Für eine krumme Zahl wie 1.000 liefert der Rechner ld(1.000) ≈ 9,9658 — nicht ganzzahlig, weil 1.000 keine exakte Zweierpotenz ist, weshalb in der Praxis auf 10 Bits aufgerundet wird.

Geben Sie im Rechner Basis 2 und den gewünschten Wert ein, erscheint das Ergebnis direkt im Feld „ld (Basis 2)“, ohne dass Sie zusätzlich auf „Andere“ umstellen müssen.

Wichtig: Bei Nicht-Zweierpotenzen muss in der Praxis stets aufgerundet werden, denn ein Bit lässt sich nicht anteilig belegen.

Am schnellsten prüfen Sie ein Ergebnis, indem Sie die eingegebene Basis mit dem berechneten Logarithmuswert potenzieren: Kommt wieder das ursprüngliche Argument heraus, ist die Rechnung korrekt.

Für log₂(256) = 8 lautet die Probe 2⁸ = 256 ✓, für log₅(125) = 3 entsprechend 5³ = 125 ✓. Diese Rückprobe hilft besonders bei ungewöhnlichen Basen wie 5 oder 12 oder bei gerundeten Dezimalzahlen, weil sich Eingabefehler sonst leicht einschleichen.

Bei einer Basis kleiner als 1, etwa log_{0,95}(0,5) ≈ 13,5134, lautet die Probe 0,95 hoch 13,5134 ≈ 0,5 ✓ — ein Wert, der bei Abklingprozessen mit jährlich 5 % Schwund die Halbwertszeit in Jahren angibt.

Geht die Rückprobe nicht auf, liegt entweder eine vertauschte Basis oder ein falsch übernommenes Argument vor.

Der Rechner zeigt das Probe-Feld mit mehreren Nachkommastellen an, sodass Sie ohne eigenes Runden direkt vergleichen können, auch bei irrationalen Ergebnissen wie ln(5) ≈ 1,6094.