Logarithmen-Rechner – log, ln, lg und eigene Basis berechnen

Mathematik

Numerus und Basis eingeben, Logarithmus berechnen, Basiswechsel prüfen und lg, ln sowie ld...

Quelle: Basiswechsel über log_b(x)=ln(x)/ln(b) mit Ausgabe des Logarithmus zur gewählten Basis sowie von lg, ln und ldStand: Juni 2026

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Logarithmen-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

log₁₀(1.000.000) = 6 — der Logarithmus fragt, welchen Exponenten eine Basis braucht, um einen Zielwert zu treffen, und macht damit Wachstumsprozesse, Verdopplungszeiten und Dezibel-Skalen direkt messbar. Dieser Rechner bestimmt Exponenten für beliebige Basen und gibt Ergebnisse nach log₁₀, ln und frei wählbarer Basis aus.

Er ist besonders nützlich in Schule, Naturwissenschaften und Finanzmathematik, weil er zeigt, welche Potenz zu einem Zielwert führt und wie stark eine Größe in logarithmischen Skalen tatsächlich zunimmt.

Der dekadische Logarithmus zur Basis 10 ordnet jede positive Zahl einer Zehnerpotenz zu: log₁₀(1000) = 3 bedeutet, dass 10³ = 1000 ist.

Der natürliche Logarithmus ln verwendet die Eulersche Zahl e ≈ 2,718 als Basis und erscheint in Wachstums- und Zerfallsprozessen.

Der Binärlogarithmus zur Basis 2 ist in der Informatik die Grundlage für Komplexitätsanalysen von Algorithmen und die Bittiefe von Speicherbausteinen. In der Akustik gibt der Dezibel-Wert einen Logarithmus des Verhältnisses zweier Schalldrücke an.

In der Chemie misst der pH-Wert als negativer dekadischer Logarithmus der Protonenkonzentration die Säurestärke.

All diese Anwendungsgebiete nutzen die Eigenschaft des Logarithmus, multiplikative Verhältnisse in additive Differenzen umzuwandeln, was Rechenoperationen und Periodenvergleiche erheblich vereinfacht.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Du gibst Basis und Argument ein, zum Beispiel Basis 2 und Argument 8 oder Basis 10 und Argument 0,01. Die Basis beschreibt die zugrunde liegende Exponentialfunktion, das Argument den gesuchten Zielwert.

Wichtig ist: Basis größer als 0 und ungleich 1, Argument größer als 0. Typische Fehler sind vertauschte Eingaben, ein Argument von 0 oder negative Werte, die im reellen Zahlenraum nicht zulässig sind.

Für den Zehnerlogarithmus verwendest du Basis 10, für den natürlichen Logarithmus Basis e ≈ 2,718282. Der Binärlogarithmus verwendet Basis 2 und wird in der Informatik für Bit-Berechnungen genutzt.

Wenn du aus einem Sachtext einen Logarithmusausdruck extrahieren willst, achte darauf, ob der Nenner oder die Basis des Verhältnisses bereits angegeben ist, und setze genau diese Zahl als Basis ein.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Logarithmusformel und Basisumrechnungssatz: Aus a^x = b folgt x = log_a(b). Der Logarithmus ist also genau der Exponent, den du für die Basis a brauchst, um b zu erhalten.

Beispiel: log_2(8) = 3, weil 2^3 = 8. Für freie Basen rechnet der Rechner mit der Basisumrechnung: log_a(b) = ln(b) ÷ ln(a). So lassen sich auch Logarithmen zu ungewöhnlichen Basen nachvollziehbar berechnen.

Die wichtigsten Logarithmusgesetze: Logarithmus eines Produkts: log(a × b) = log(a) + log(b). Logarithmus eines Quotienten: log(a ÷ b) = log(a) − log(b). Logarithmus einer Potenz: log(a^n) = n × log(a).

Diese Regeln erlauben die Vereinfachung komplexer logarithmischer Ausdrücke und sind die Grundlage für das Logarithmieren von Exponentialgleichungen in Wachstums- und Abklingmodellen.

Ergänzend gilt: log_a(1) = 0 für jede gültige Basis a, und log_a(a) = 1, weil a⁰ = 1 und a¹ = a.

Nachschlagen

Logarithmus-Tabelle: log₁₀ und ln für wichtige Werte

Diese Tabelle zeigt den dekadischen Logarithmus (Basis 10) und den natürlichen Logarithmus (Basis e ≈ 2,7183) für häufig benötigte Zahlenwerte.

Dekadischer Logarithmus log₁₀(x) und natürlicher Logarithmus ln(x) für x = 0,001 bis 1000
x	log₁₀(x)	ln(x)
0,001	−3,0000	−6,9078
0,01	−2,0000	−4,6052
0,1	−1,0000	−2,3026
1	0,0000	0,0000
2	0,3010	0,6931
e ≈ 2,7183	0,4343	1,0000
5	0,6990	1,6094
10	1,0000	2,3026
100	2,0000	4,6052
1 000	3,0000	6,9078

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Für die Einordnung helfen feste Anker: log₁₀(10) = 1, log₁₀(100) = 2, log₁₀(0,1) = −1 und ln(e) = 1. Wenn dein Ergebnis diese Richtung verfehlt, liegt meist ein Eingabefehler vor.

In Praxisaufgaben zu Wachstum oder Zerfall solltest du zusätzlich prüfen, ob Basis und Einheit wirklich zur Fragestellung passen.

Ein wertvoller Merkanker für Zinsaufgaben: Der Logarithmus des Verdopplungsfaktors 2 dividiert durch den Logarithmus des Zinsfaktors ergibt direkt die Laufzeit.

Für Klanglevel in Dezibel gilt: Jede Erhöhung um 10 dB entspricht einer Verzehnfachung des Schallleistungsverhältnisses. Für pH-Werte gilt: Jede Einheit entspricht einer Verzehnfachung der Protonenkonzentration.

Diese konkreten Ankerpunkte ermöglichen eine sofortige Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses, bevor du es weiterverwendest. Für pH-Berechnungen gilt: pH = −log₁₀(c), wobei c die Konzentration in mol/L ist.

pH 7 steht für neutrale Lösung, pH unter 7 für saure und pH über 7 für basische Lösung. Jede pH-Einheit entspricht einer Verzehnfachung der Ionenkonzentration.

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall: Eine Kapitalanlage soll sich bei fester jährlicher Verzinsung von 6 % verdoppeln. Gefragt ist, nach wie vielen Jahren der Startwert 5.000 € die Marke von 10.000 € überschreitet. Bedingung: 5.000 × 1,06^n = 10.000, also 1,06^n = 2.

Durch Logarithmieren: n = log(2) ÷ log(1,06) = 0,3010 ÷ 0,0253 ≈ 11,9 Jahre. Das konkrete Ergebnis: Nach spätestens 12 vollen Zinsjahren verdoppelt sich das Kapital. Als Vergleich: Bei 8 % Zinsen wäre n = log(2) ÷ log(1,08) ≈ 9,0 Jahre.

Der Logarithmus macht diesen Periodenvergleich direkt messbar. Als zweites Anwendungsbeispiel: Ein Ingenieur misst zwei Schallpegel von 40 dB und 50 dB und fragt sich, um welchen Faktor der Schalldruck gestiegen ist.

Formel: ΔdB = 10 × log₁₀(P2/P1), also 10 = 10 × log₁₀(P2/P1) → log₁₀(P2/P1) = 1 → P2/P1 = 10. Das Ergebnis: Der Schalldruck hat sich verzehnfacht, obwohl der Dezibel-Unterschied nur 10 Punkte beträgt.

Genau diese nichtlineare Verstärkung macht der Logarithmen-Rechner unmittelbar anschaulich.

Vertiefung

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Häufig werden beim Logarithmus Basis und Argument vertauscht, sodass statt log_a(b) fälschlich log_b(a) gerechnet wird und ein völlig anderer Exponent entsteht. Ebenso wird die Grundbedingung übersehen, dass die Basis größer als 0 und ungleich 1 sein muss und das Argument positiv sein muss.

Ein dritter Fehler ist, den Logarithmus wie eine normale Division zu deuten, statt als Exponentenfrage aus a^x = b.

In der Praxis zeigt sich dieser Fehler besonders bei Potenzen mit dekadischem Logarithmus: Wer log₁₀(1000) = 3 als Division 1000 ÷ 3 liest, missversteht den logarithmischen Kern.

Zusätzlich werden auf dem Taschenrechner der dekadische Logarithmus (log) und der natürliche Logarithmus (ln) verwechselt, obwohl beide unterschiedliche Basen haben.

In der Finanzmathematik führt das zu falschen Wachstumszeiten, bei Dezibel-Berechnungen in der Akustik zu falschen Pegelwerten, beim pH-Wert in der Chemie zu falschen Konzentrationsaussagen.

Ohne Plausibilitätscheck gegen bekannte Ankerwerte wie log₁₀(100) = 2 oder log₁₀(1000) = 3 fallen diese Fehler auf logarithmischen Skalen oft spät auf.

Ein weiterer verbreiteter Fehler betrifft die Logarithmusgesetze: Viele wenden log(a + b) = log(a) + log(b) an, was falsch ist — diese Additionsregel gilt nur für Produkte, nicht für Summen. Die korrekte Regel lautet log(a × b) = log(a) + log(b).

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Logarithmus-Rechner gibt das Ergebnis sowie die verwendete Formel inklusive natürlichem Logarithmus und log₁₀ aus.

Prüfe, dass Basis und Argument die Zulässigkeitsbedingungen erfüllen, und nutze Ankerwerte wie log₁₀(100) = 2 als Plausibilitätskontrolle. Ergebnisse im negativen Bereich sind zulässig und bedeuten, dass das Argument kleiner als 1 ist.

Für komplexere Ausdrücke nutze die Logarithmusgesetze für Produkt, Quotient und Potenz, um schrittweise zu vereinfachen. Der Basiswechsel log_a(b) = ln(b) ÷ ln(a) erlaubt außerdem, jeden Logarithmus auf einem Taschenrechner auszuwerten.

Sinnvolle nächste Schritte: Der Potenzen-Rechner ist die direkte Umkehr — er berechnet a^x aus Basis und Exponent, während der Logarithmus-Rechner x aus a und b zurückgewinnt.

Für das Lösen von Exponentialgleichungen der Form a^x = b ist der Logarithmusrechner die unmittelbare Vorbereitung.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · log₂(8) = 3

Logarithmus zur Basis 2

Basis: 2
Argument: 8

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Logarithmen-Rechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wann ist ein Logarithmus der richtige Rechenweg und nicht eine Potenz?

Immer dann, wenn der Exponent gesucht ist und nicht der Zielwert. Bei einer Potenz kennen Sie Basis und Exponent und berechnen das Ergebnis.

Beim Logarithmus ist die Basis bekannt und der Zielwert ebenfalls, aber die Frage lautet: Welcher Exponent führt dorthin?

Typische Anwendungen sind Verdopplungszeiten beim Zinseszins, Halbwertszeiten bei radioaktivem Zerfall oder die Schallpegelskala in Dezibel. Genau für diesen Rückwärts-Rechenweg ist der Logarithmusrechner gedacht.

In der Chemie gilt für den pH-Wert die Formel pH = −log₁₀(c_H₊), die eine extreme Protonenkonzentrationsspanne von 10⁻¹⁴ bis 1 mol/l auf die handhabbare Skala 0 bis 14 komprimiert — ein anschauliches Beispiel dafür, wie logarithmische Abbildungen extreme Wertebereiche bewältigbar machen.

Warum muss die Basis positiv und ungleich 1 sein?

Weil nur dann eine eindeutige, stetige Umkehrfunktion der Exponentialfunktion existiert. Mit Basis 1 würde jeder Exponent denselben Zielwert 1 liefern, sodass keine Rückrechnung möglich wäre und der gesuchte Exponent völlig unbestimmt bliebe.

Mit negativen Basen entstehen im reellen Zahlenraum für viele Argumente keine definierten Werte, weil alternierende Vorzeichen auftreten und die Funktion ständig zwischen positiven und negativen Werten springt.

Der Rechner blockiert diese Fälle bewusst, damit kein mathematisch unzulässiges Ergebnis angezeigt wird.

Eine negative Basis wie (−2) erzeugt bei rationalen Exponenten mit geradem Nenner nicht-reelle Werte, da (−2)^(1/2) bereits komplex ist und außerhalb der reellen Zahlen liegt.

Nur für positive Basen ungleich 1 ist die Exponentialfunktion streng monoton und damit bijektiv, was die eindeutige Logarithmus-Inversion über den gesamten Definitionsbereich garantiert.

Worin unterscheiden sich log, ln und lg praktisch?

ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e (etwa 2,718) und wird vor allem in der Analysis, in Wachstums- und Zerfallsmodellen sowie in der Informationstheorie verwendet.

lg steht im deutschsprachigen Schulkontext üblicherweise für den dekadischen Logarithmus zur Basis 10. log ist kontextabhängig: In Schulbüchern häufig Basis 10, in Informatikquellen häufig Basis 2.

Entscheidend ist nicht die Abkürzung allein, sondern welche Basis Ihre Formel oder Ihr Taschenrechner tatsächlich voraussetzt.

In der Informatik und Informationstheorie wird ld(n) oder lb(n) für den Zweierlogarithmus verwendet: ld(n) gibt die Anzahl der Bits an, die benötigt werden, um n verschiedene Zustände binär darzustellen, und ist damit die Grundlage für Kompressionsratenberechnungen.

Was bedeutet ein negativer Logarithmuswert?

Er zeigt, dass das Argument zwischen 0 und 1 liegt, sofern die Basis größer als 1 ist. Beispiel: log₁₀(0,01) = −2, weil 10 hoch −2 genau 0,01 ergibt.

Ein negatives Ergebnis ist also kein Fehler, sondern ein Hinweis darauf, dass der gesuchte Exponent eine Kehrwertwirkung beschreibt, also eine sehr kleine Zahl erzeugt. Bei Basen zwischen 0 und 1 sind die Vorzeichen genau umgekehrt.

Bei der Schallpegel-Skalierung in Dezibel beschreibt log₁₀(0,000001) = −6 eine Amplitudenverringerung um sechs Zehnerpotenzen unterhalb des Referenzpegels.

Das negative Vorzeichen signalisiert stets Argumente kleiner als 1 bei Basis größer als 1 und entspricht damit dem Kehrwertcharakter des jeweiligen Exponenten.

Wie prüfe ich ein Ergebnis am schnellsten?

Potenzieren Sie die eingegebene Basis mit dem berechneten Logarithmuswert. Wenn Sie dadurch wieder das ursprüngliche Argument erhalten, ist die Rechnung konsistent.

Diese Rückprobe ist besonders nützlich, wenn Sie mit ungewöhnlichen Basen wie 2, 5 oder 0,5 oder mit gerundeten Dezimalzahlen arbeiten. Wer z. B. log₂(32) = 5 errechnet, prüft: 2⁵ = 32 — stimmt. Für log₂(64) = 6 lautet die Probe 2⁶ = 64 ✓.

Bei log₁₀(1000) = 3 gilt 10³ = 1000 ✓. Wenn die Rückprobe nicht aufgeht, liegt entweder ein Fehler in der Basiswahl oder ein vertauschtes Argument vor.

Bei Basen kleiner als 1 wie log_{0,5}(8) = −3 lautet die Probe (0,5)^(−3) = 2³ = 8 ✓, was bestätigt, dass negativer Exponent mit Basis kleiner als 1 einen Wert größer als 1 liefert.

Wie hängen Logarithmen mit Wurzeln und Bruchpotenzen zusammen?

Wurzeln und Bruchpotenzen beschreiben denselben Zusammenhang von Exponenten in anderer Schreibweise.

Die n-te Wurzel aus x entspricht der Bruchpotenz x^(1/n), und beide drücken aus, welcher Faktor n-mal mit sich selbst multipliziert das Argument ergibt. Ein Logarithmus beantwortet die inverse Frage: Welcher Exponent führt von der Basis zum Argument?

Beim Basiswechselsatz gilt log_a(x) = ln(x) / ln(a), was Logarithmen zu beliebigen Basen auf den natürlichen Logarithmus zurückführt und die Umrechnung zwischen verschiedenen Logarithmendarstellungen ermöglicht.

Konkret gilt log₁₀(x) = ln(x)/ln(10) ≈ ln(x)/2,303 und log₂(x) = ln(x)/ln(2) ≈ ln(x)/0,693.

So lassen sich Spezialbasen wie 2 oder 5 auf die Taschenrechner-Standardfunktionen ln und log₁₀ zurückführen, ohne den Logarithmus direkt zur ungewöhnlichen Basis neu berechnen zu müssen, was gerade bei der binären Basis 2 in der Informatik sehr praktisch ist.

Welche Eingabefehler sind bei Alltagswerten am häufigsten?

Am häufigsten werden Basis und Argument vertauscht, Prozentwerte nicht in Dezimalzahlen übersetzt oder ein Nullwert als Argument eingegeben.

Der Logarithmus von 0 ist nicht definiert, weil keine Potenz einer positiven Basis jemals exakt 0 ergibt, sondern sich der Wert nur immer weiter dem Wert 0 annähert.

Auch gerundete Messwerte können den Eindruck erwecken, ein Ergebnis sei ungenau, obwohl die Ungenauigkeit bereits in der Eingabe steckte und der Rechner selbst korrekt arbeitet.

Eine kurze Plausibilitätsprüfung vor der Eingabe spart hier viel Suchzeit. Bei Zinsaufgaben ist der Prozentwert-Fehler besonders verbreitet: 5 % Zins bedeutet r = 0,05, nicht r = 5.

Dann liefert ln(2)/ln(1+0,05) ≈ 14,2 Jahre als Verdopplungszeit, während ln(2)/ln(6) ≈ 0,39 Jahre ein völlig falsches Ergebnis wäre. Prüfen Sie deshalb stets, ob Basis und Numerus an der richtigen Stelle stehen.

Für welche Praxisfälle ist der Rechner besonders hilfreich?

Hilfreich ist er für Wachstums- und Zerfallsmodelle, Pegelskalen in Dezibel oder auf der Richter-Skala, Verdopplungszeiten bei Zinsen und Halbwertszeiten in der Physik oder Medizin sowie überall dort, wo eine Exponentialbeziehung rückwärts gelesen werden muss.

Wer wissen möchte, nach wie vielen Jahren sich ein Betrag bei 3 % Zins verdoppelt, rechnet ln(2) / ln(1,03) ≈ 23,4 Jahre, und genau dieser Rechenweg ist der zentrale Anwendungsfall des Logarithmusrechners.

Bei der Richter-Skala beschreibt die Differenz M₂ − M₁ = log₁₀(I₂/I₁), wie viel stärker ein Erdbeben im Vergleich zu einem anderen ist, wobei ein Unterschied von 2 Skalenpunkten einer hundertfach größeren Bodenerschütterungsintensität entspricht.

In der Chemie liefert der pH-Wert mit pH = −log₁₀(c) ein weiteres Beispiel, und auch in der Akustik dient log₁₀ der Umrechnung von Schalldruckverhältnissen in Dezibel.

So deckt der Rechner ein breites Spektrum naturwissenschaftlicher und finanzieller Fragestellungen ab.

Weiterführende Rechner und Themen

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Zinseszins-RechnerZinseszins für Einmalanlage und Sparplan mit Raten berechnen – mit Jahrestabelle, Liniendiagramm und Aufschlüsselung Einzahlungen vs. Zinsen. Kostenlos für 2026.Potenzen berechnenDen zum Logarithmus inversen Potenzwert direkt ausrechnen.Wurzeln berechnenQuadrat-, Kubik- und n-te Wurzeln als weitere Umkehrfunktion lösen.ProzentrechnerProzentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen – universeller Prozentrechner.Quadratische GleichungQuadratische Gleichung lösen mit der Mitternachtsformel, Lösungen, Scheitelpunkt und Diskriminante.GleichungsrechnerLineare und quadratische Gleichungen lösen – mit Diskriminante und Lösungsweg.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.Algebra Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Algebra mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.Logarithmen-Rechner über alle Filter weiter eingrenzenSuche für weitere Varianten, Kategorien und Rechentypen mit ähnlichem Intent.