Teiler und Vielfache: ggT, kgV und alle Teiler berechnen

Das kleinste gemeinsame Vielfache berechnest du am zuverlässigsten über die Primfaktorzerlegung: Zerlege beide Zahlen in ihre Primfaktoren und multipliziere jeden vorkommenden Faktor mit seiner höchsten auftretenden Potenz.

Für 9 und 12 ergibt das 9 = 3² und 12 = 2² × 3, sodass sich kgV(9, 12) = 2² × 3² = 36 ergibt — der Rechner bestätigt das im kgV-Modus direkt zusammen mit dem ggT von 3.

Alternativ funktioniert das Aufschreiben der Vielfachenreihen: Vielfache von 9 sind 9, 18, 27, 36 …, Vielfache von 12 sind 12, 24, 36 …, und 36 ist die erste gemeinsame Zahl.

Trage dazu beide Zahlen in die Felder Zahl und Zweite Zahl ein, wähle den Modus kgV und prüfe das Ergebnis notfalls mit einem zweiten Beispiel.

Nur bei sehr großen Zahlen lohnt sich die Primfaktormethode wirklich, weil das Aufschreiben von Vielfachenreihen dann unpraktisch lang wird. Ist eine der beiden Zahlen ein Vielfaches der anderen, ist das kgV automatisch die größere Zahl selbst.

Der größte gemeinsame Teiler lässt sich am schnellsten mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen: Teile die größere durch die kleinere Zahl mit Rest, ersetze dann die größere Zahl durch die kleinere und die kleinere durch den Rest, bis der Rest null wird — der letzte Rest ungleich null ist der ggT.

Für 60 und 70 liefert das die Kette 70 = 1 × 60 + 10 und 60 = 6 × 10 + 0, also ggT(60, 70) = 10, was der Rechner im ggT-Modus mit genau diesen Schritten protokolliert.

Alternativ funktioniert die Primfaktorzerlegung: Multipliziere alle gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleineren Potenz.

Wähle für die Berechnung im Feld Berechnung den Modus ggT, trage beide Zahlen ein und prüfe das Ergebnis mit der Probe, ob es beide Zahlen tatsächlich ohne Rest teilt.

Nur bei sehr großen Zahlen ist der euklidische Algorithmus wirklich deutlich schneller als das vollständige Zerlegen in Primfaktoren, weil er ganz ohne Faktorisierung auskommt.

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die zwei gegebene Zahlen beide ohne Rest teilt, während das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) die kleinste Zahl ist, die von beiden Zahlen ohne Rest geteilt wird — beide Kennzahlen beantworten also entgegengesetzte Fragen.

Für 18 und 24 ist ggT(18, 24) = 6 und kgV(18, 24) = 72, was sich mit der Kontrollformel ggT × kgV = a × b prüfen lässt: 6 × 72 = 432 = 18 × 24.

Nutze den ggT, wenn du einen Bruch wie 18/24 auf 3/4 kürzen willst, und das kgV, wenn du zwei Brüche wie 1/18 und 1/24 auf einen gemeinsamen Nenner bringen musst. Wechsle dazu im Rechner nur den Modus, die eingegebenen Zahlen bleiben gleich.

Verwechslungsgefahr besteht vor allem bei kleinen Zahlenpaaren, bei denen ggT und kgV zahlenmäßig nah beieinanderliegen können.

Alle Teiler einer Zahl findest du, indem du systematisch prüfst, welche Zahlen von 1 bis zur Quadratwurzel der Zahl ohne Rest teilen, und zu jedem gefundenen Teiler den passenden Partnerteiler ergänzt.

Für 36 sind das die Paare 1×36, 2×18, 3×12, 4×9 und 6×6, zusammen also die neun Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36 — genau das Ergebnis, das der Rechner im Teiler-Modus für die Eingabe 36 liefert.

Alternativ liefert die Primfaktorzerlegung die Teileranzahl direkt: 36 = 2² × 3² ergibt (2+1) × (2+1) = 9 Teiler, ohne dass du jeden einzelnen Teiler notieren musst. Gib dazu im Feld Zahl nur die erste Zahl ein und wähle den Modus Teiler.

Bei Primzahlen bricht die Suche besonders schnell ab, weil dort außer 1 und der Zahl selbst kein weiterer Teiler existiert.

Über die Primfaktorzerlegung bestimmst du ggT und kgV, indem du beide Zahlen vollständig in Primfaktoren zerlegst und danach die Exponenten vergleichst: Für den ggT nimmst du jeden gemeinsamen Primfaktor mit der kleineren Potenz, für das kgV jeden vorkommenden Primfaktor mit der größeren Potenz.

Für 18 = 2 × 3² und 24 = 2³ × 3 ergibt das ggT = 2¹ × 3¹ = 6 und kgV = 2³ × 3² = 72, exakt die Werte, die der Rechner im ggT- und im kgV-Modus für dieselbe Eingabe anzeigt.

Der Primfaktor-Modus selbst zerlegt nur eine einzelne Zahl, liefert dir aber die Bausteine für den manuellen Vergleich.

Notiere dazu am besten beide Zerlegungen mit denselben Primzahlen untereinander, auch wenn ein Faktor bei einer der Zahlen nicht vorkommt (Exponent 0). Bei Zahlen ohne gemeinsamen Primfaktor ergibt sich automatisch ggT = 1 und kgV = a × b.

Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler genau 1 beträgt, sie also außer der 1 keinen gemeinsamen Teiler besitzen — das gilt zum Beispiel für 8 und 9, denn ggT(8, 9) = 1, obwohl beide Zahlen selbst keine Primzahlen sind.

Teilerfremdheit heißt nicht, dass eine der Zahlen prim sein muss, sondern nur, dass ihre Primfaktorzerlegungen keinen gemeinsamen Faktor teilen.

Praktisch wichtig ist das beim Bruchkürzen: Ein Bruch ist genau dann vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. Prüfe das im Rechner, indem du beide Zahlen im ggT-Modus einträgst und auf das Ergebnis 1 achtest.

Bei zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen wie 8 und 9 ist die Teilerfremdheit garantiert, weil sie keinen gemeinsamen Primteiler haben können — ein nützlicher Sonderfall für die schnelle Kontrolle.

Die Anzahl der Teiler einer Zahl ergibt sich direkt aus ihrer Primfaktorzerlegung: Erhöhe jeden Exponenten um 1 und multipliziere die Ergebnisse miteinander.

Für 12 = 2² × 3¹ liefert das (2+1) × (1+1) = 6 Teiler, was mit der vollständigen Liste 1, 2, 3, 4, 6 und 12 aus dem Teiler-Modus übereinstimmt.

Diese Formel erspart dir das Auflisten aller Teiler, wenn du nur wissen willst, wie viele es sind, etwa bei großen Zahlen mit mehreren Primfaktoren.

Wechsle für die vollständige Liste in den Teiler-Modus, für die reine Anzahl reicht der Primfaktor-Modus mit anschließender Rechnung von Hand.

Primzahlen haben nach dieser Formel immer genau 2 Teiler, weil ihre Zerlegung aus einem einzigen Primfaktor mit Exponent 1 besteht — ein schneller Test, um Primzahlen zu erkennen.

Der ggT dient beim Bruchrechnen zum vollständigen Kürzen, das kgV zum Auffinden eines gemeinsamen Nenners: Beide Kennzahlen lösen entgegengesetzte Aufgaben.

Um 16/40 zu kürzen, teilst du Zähler und Nenner durch ggT(16, 40) = 8 und erhältst 2/5 als kleinstmögliche Darstellung.

Um 5/12 und 3/8 zu addieren, brauchst du dagegen kgV(12, 8) = 24 als gemeinsamen Nenner: 5/12 wird zu 10/24 und 3/8 zu 9/24, zusammen also 19/24. Gib die beiden Nenner in den Rechner ein und wechsle je nach Aufgabe zwischen ggT- und kgV-Modus.

Ein häufiger Fehler ist, für beide Aufgaben denselben Wert zu verwenden — Kürzen mit dem kgV oder Nenner-Angleichen mit dem ggT liefert kein richtiges Ergebnis, weil beide Kennzahlen nicht denselben Zweck erfüllen.

Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen und macht sichtbar, aus welchen Bausteinen sie aufgebaut ist — für 84 ergibt das 2² × 3 × 7.

Dieser Bauplan liefert dir gleichzeitig den ggT und das kgV zweier Zahlen: Vergleichst du die Zerlegungen von 84 (2² × 3 × 7) und 126 (2 × 3² × 7), nimmst du für den ggT jeden gemeinsamen Faktor mit der kleineren Potenz (2 × 3 × 7 = 42) und für das kgV jeden Faktor mit der größeren Potenz (2² × 3² × 7 = 252) — beide Werte zeigt der Rechner im ggT- und im kgV-Modus für dieselbe Eingabe an.

Wähle den Primfaktor-Modus, um den Bauplan einer einzelnen Zahl zu sehen, und wechsle danach für den direkten Vergleich zweier Zahlen in den ggT- oder kgV-Modus.

Bei Primzahlen besteht die Zerlegung aus nur einem einzigen Faktor mit Exponent 1, was sie sofort als teilerfremd zu jeder Zahl ausweist, die diesen Primfaktor nicht enthält.

Ob ein ggT- oder kgV-Ergebnis stimmt, prüfst du am zuverlässigsten mit der Kontrollformel ggT(a, b) × kgV(a, b) = a × b: Für 14 und 21 liefert der Rechner ggT = 7 und kgV = 42, und tatsächlich ergibt 7 × 42 = 294 genau 14 × 21.

Stimmt das Produkt nicht überein, hat sich bei der Eingabe oder bei einer manuellen Nebenrechnung ein Fehler eingeschlichen.

Zusätzlich hilft die Richtungsprobe: Der ggT muss immer kleiner oder gleich der kleineren Eingabezahl sein, das kgV immer größer oder gleich der größeren Eingabezahl — beides trifft hier zu, denn 7 ≤ 14 und 42 ≥ 21.

Nutze für die Kontrolle einfach beide Modi nacheinander mit denselben zwei Zahlen und vergleiche die Ergebnisse von Hand.

Bei teilerfremden Zahlen wie 14 und 15 lässt sich die Probe besonders leicht merken, weil das kgV dann exakt dem Produkt beider Zahlen entspricht.