Koordinaten umrechnen: Kartesisch ↔ Polar online

Aus den kartesischen Koordinaten (x, y) ergibt sich der Radius r = √(x² + y²) und der Winkel φ = atan2(y, x). Die Funktion atan2 berücksichtigt das Vorzeichen beider Koordinaten und liefert den Winkel im Bereich −180° bis +180°.

Damit ist die Umrechnung eindeutig für alle vier Quadranten. Beispiel: (x=3, y=4) → r = √(9+16) = √25 = 5, φ = atan2(4,3) ≈ 53,13°. Der Rechner gibt dir neben dem Winkel in Grad auch den Wert in Radiant sowie eine Darstellung im Bereich 0°–360° aus.

Das Radiant-Äquivalent zu 53,13° lautet 0,9273 rad (Umrechnung: Grad × π/180).

Polarkoordinaten sind besonders nützlich bei Kreisbewegungen und Winkelmessungen in Physik und Ingenieurwissenschaft, weil der Radius r direkt den euklidischen Abstand zum Koordinatenursprung angibt.

In der Radarmessung entspricht r der Entfernung und φ der Peilung. Sind beide Koordinaten negativ, etwa (x=−3, y=−4), liefert atan2 den Winkel −126,87° und weist damit korrekt den dritten Quadranten aus.

atan(y/x) liefert nur Werte zwischen −90° und +90° und unterscheidet nicht, ob Punkt (1,1) oder (−1,−1) gemeint ist — beide ergeben 45°. atan2(y, x) nimmt beide Argumente getrennt und liefert Werte von −180° bis +180°, sodass alle vier Quadranten korrekt erkannt werden.

Für (1,1): atan2 → +45°. Für (−1,−1): atan2 → −135° (statt wieder 45°). Dieser Unterschied ist entscheidend für korrekte Polardarstellungen. Der Rechner verwendet intern immer atan2, damit dein Winkel immer dem richtigen Quadranten entspricht.

In der Programmierung ist atan2 in nahezu allen Sprachen verfügbar: JavaScript Math.atan2(y, x), Python math.atan2(y, x), C++ std::atan2(y, x). Wichtig ist dabei die Reihenfolge der Argumente: immer erst y, dann x.

Ein häufiger Fehler ist atan(x/y) statt atan(y/x), was zu gespiegelten Winkeln führt. Beide Funktionen geben das Ergebnis in Radiant zurück; zur Umrechnung in Grad multiplizierst du mit 180/π ≈ 57,296.

Wer stattdessen nur atan(y/x) für Punkt (−3, 4) nutzt, erhält fälschlich −53,13° statt des korrekten 126,87°.

Mathematisch konventionell wird φ im Bereich −180° bis +180° (bzw. −π bis +π) angegeben. Der Rechner zeigt dir beide Varianten: phiGrad im Bereich −180° bis +180° und phiGrad360 im Bereich 0° bis 360°.

Die 360°-Variante erhältst du, indem du negative Winkel um 360° erhöhst. Für technische Anwendungen wie Lagewinkel in der Navigation oder Physik wird oft 0°–360° bevorzugt, während mathematische Analysen meist −180° bis +180° nutzen.

Beide Darstellungen beschreiben denselben Punkt im Raum. Die Konversion lautet: φ360 = φ < 0 ? φ + 360° : φ, also ergibt sich für −90° der Wert 270°.

In der Luft- und Seefahrt gilt Nordbezug (0° = Nord) mit Uhrzeigersinn und ausschließlich 0°–360°-Kursangaben.

In der Mathematik und Physik ist das vorzeichenbehaftete Format −180° bis +180° üblicher, weil positive Winkel Gegenuhrzeigersinn und negative Uhrzeigersinn anzeigen.

In der Robotik hat sich 0°–360° durchgesetzt, weil Steuerungen keine negativen Winkelwerte verarbeiten; dort entspricht −45° dem Wert 315°. Der Rechner gibt stets beide Varianten aus.

In der Mathematik gilt die Standard-Konvention: φ = 0° zeigt in Richtung der positiven x-Achse (Osten), und Winkel wachsen gegen den Uhrzeigersinn.

In der Navigation dagegen zeigt 0° (= Nord) auf die positive y-Achse, und Winkel wachsen im Uhrzeigersinn. Dieser Unterschied führt dazu, dass derselbe Punkt in beiden Systemen verschiedene Winkelangaben hat.

Beispiel: Ein Punkt bei mathematischem φ = 53° liegt nordöstlich vom Ursprung; in der nautischen Konvention entspricht das einem Kurs von 90° − 53° = 37° (Bearing von Nord).

Die allgemeine Konversionsformel lautet: Bearing = (90° − φ_math + 360°) mod 360°. Dieser Rechner folgt der mathematischen Gegenuhrzeigersinn-Konvention und gibt φ wahlweise im Bereich −180° bis +180° oder 0° bis 360° aus.

Wer das Ergebnis in eine nautische Seekarte, ein GPS-Gerät oder eine Drohnensteuerung überträgt, muss den Winkel mit der obigen Formel umrechnen. Besonders in der Robotik und Luftfahrt sind solche Konventionswechsel eine häufige Fehlerquelle.

Der Quadrant beschreibt, in welchem der vier Bereiche der Ebene ein Punkt liegt. Q1 (x>0, y>0): oben rechts, Winkel 0°–90°. Q2 (x<0, y>0): oben links, 90°–180°. Q3 (x<0, y<0): unten links, −180° bis −90° bzw. 180°–270°.

Q4 (x>0, y<0): unten rechts, −90° bis 0° bzw. 270°–360°. Liegt ein Punkt exakt auf einer Achse, spricht man von einer Achsenposition (positive x-Achse: 0°, positive y-Achse: 90°, negative x-Achse: 180°, negative y-Achse: 270°).

Der Rechner bestimmt den Quadranten automatisch und gibt ihn im Ergebnis aus.

Der Quadrant ist in vielen Anwendungen direkt nützlich: In der Navigation entspricht Q1 (0°–90°) der nordöstlichen Richtung, Q2 der nordwestlichen, Q3 der südwestlichen und Q4 der südöstlichen, wenn 0° = Ost gesetzt wird.

In der Elektrotechnik zeigen Phasendiagramme induktives Verhalten im Q1 (Strom eilt Spannung nach), kapazitives im Q4. Bei Punkten exakt auf der negativen x-Achse (y=0, x<0) gilt φ = 180°, was eine Achsenposition ist.

Polarkoordinaten eignen sich überall dort, wo Entfernungen und Richtungen natürlicher sind als x/y-Verschiebungen. In der Navigation (Radar, GPS-Peilung) beschreibt man Ziele mit Kurswinkel und Entfernung.

In der Physik beschreiben Kreisbewegungen und elektromagnetische Wellen sich einfacher polar. In der Ingenieurspraxis benutzt man Polardiagramme für Antennencharakteristiken und Lautsprecherabstrahlverhalten.

In der Mathematik vereinfachen Polarkoordinaten Kurven wie Spiralen (r = a·φ) oder Kreise (r = const). In der CNC-Programmierung können Bohrbilder auf einem Kreisring polar definiert werden.

In der Computergrafik und Spieleentwicklung werden Sichtfeld- und Kollisionsberechnungen oft polar durchgeführt, weil Entfernung und Blickwinkel die natürlichen Parameter sind.

Auch in der Astronomie sind sphärische Koordinaten — das 3D-Äquivalent — unverzichtbar.

Ein konkretes Beispiel: Ein CNC-Bohrpunkt auf einem Kreisring mit r = 50 mm bei φ = 30° ergibt x = 50 × cos(30°) ≈ 43,3 mm und y = 50 × sin(30°) = 25 mm, was direkt mit diesem Rechner umgekehrt prüfbar ist.

Der Ursprung (0,0) ist ein Sonderfall: Der Radius r = √(0²+0²) = 0, und der Winkel φ ist mathematisch undefiniert, weil ein Punkt ohne Abstand zum Ursprung keine Richtung hat.

In der Praxis liefern die meisten Implementierungen 0° oder eine Fehlermeldung. Auch dieser Rechner gibt bei (0,0) φ = 0° und 0 Radiant aus – das ist die in JavaScript festgelegte Konvention atan2(0,0) = 0, kein mathematisch bedeutsamer Winkel.

Interpretiere die Null hier also nicht als Richtung "nach rechts": Sie ist eine Setzung. Erkennbar ist der Sonderfall am Quadranten-Feld, das statt Q1 bis Q4 ausdrücklich "Ursprung" meldet.

Sobald du einen der Werte von 0 wegbewegst, ergibt sich wieder ein eindeutiger Winkel.

Ein verwandter, aber lösbarer Grenzfall: (x=5, y=0) liefert atan2(0,5) = 0° korrekt auf der positiven x-Achse, und (x=0, y=7) liefert atan2(7,0) = 90° korrekt auf der positiven y-Achse.

Diese Achsenpunkte sind eindeutig definiert; nur der Koordinatenursprung selbst hat keine Richtungsinformation.

Nein, dieser Rechner rechnet nur zwischen kartesischen 2D-Koordinaten (x, y) und ebenen Polarkoordinaten (r, φ) um. Für 3D benötigst du sphärische Koordinaten (r, θ, φ) oder zylindrische Koordinaten (ρ, φ, z).

In sphärischen Koordinaten kommt ein zweiter Winkel θ (Polarwinkel zur z-Achse) hinzu: r = √(x²+y²+z²), θ = arccos(z/r), φ = atan2(y,x). Für die meisten schulischen und technischen Anwendungen reicht die 2D-Variante aus.

Wenn du 3D-Koordinaten umrechnen möchtest, würde ein separater Sphärischer-Koordinaten-Rechner helfen.

Bei zylindrischen Koordinaten (ρ, φ, z) bleiben x und y wie in 2D-Polarkoordinaten, und z wird unverändert übernommen: ρ = √(x²+y²), φ = atan2(y,x). Dieser Rechner liefert also bereits ρ und φ, wenn du z separat notierst.

Sphärische Koordinaten werden in der Elektrotechnik für 3D-Antennendiagramme, in der Geografie für Breiten- und Längengrade sowie in der Quantenmechanik für Wellenfunktionen verwendet.

Erkenne den richtigen Koordinatentyp anhand der Dimension der Aufgabe, bevor du rechnest.