Koordinaten umrechnen: Kartesisch ↔ Polar online

Mathematik

Koordinaten umrechnen: Kartesische (x, y) in Polarkoordinaten (r, φ) und zurück umwandeln

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik

Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Juli 2026)Quelle: Analytische Geometrie: Polarkoordinaten r und φ (Azimutwinkel). Winkelberechnung über atan2(y, x) gemäß ISO 80000-2.Stand: Juli 2026

Kurzantwort: Formel: r = √(x²+y²), φ = atan2(y,x). Beispiel: (3|4) → r = 5, φ = 53,13°. Rückrechnung: x = r·cos(φ), y = r·sin(φ).

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Koordinaten-Umrechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Kartesische Koordinaten (x, y) in Polarkoordinaten (r, φ) umzurechnen – oder umgekehrt – ist in Physik, Technik und Mathematik alltäglich. Der Koordinaten-Umrechner berechnet aus x und y den Radius r = √(x² + y²) und den Winkel φ = atan2(y, x) in Grad und Radiant, bestimmt automatisch den Quadranten und gibt den Winkel wahlweise im Bereich −180° bis +180° oder 0° bis 360° aus.

Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Entfernung vom Ursprung und Richtungswinkel, kartesische Koordinaten durch horizontale und vertikale Abstände. Beide Systeme beschreiben denselben Punkt, aber für unterschiedliche Anwendungen ist das eine oder andere natürlicher: Kreisbewegungen, Radardarstellungen und Lautsprecher-Charakteristika beschreibt man am einfachsten polar, während Zeichenflächen, Tabellen und lineare Gleichungssysteme kartesisch arbeiten.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Du gibst die kartesischen Koordinaten x und y des Punktes ein. Positive x-Werte liegen rechts vom Ursprung, negative links.

Positive y-Werte liegen oben, negative unten. Beide Werte können beliebige reelle Zahlen sein, auch negative oder Dezimalzahlen. Der Sonderfall (0, 0) liefert r = 0 und keinen definierten Winkel.

Die Ergebnisse r, φ (in Grad und Radiant), der Winkelbereich 0°–360° und der Quadrant werden automatisch berechnet. Für die Rückrechnung von Polar nach Kartesisch gilt x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ).

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Kartesisch → Polar: r = √(x² + y²) und φ = atan2(y, x). Die Funktion atan2 gibt Werte im Bereich −π bis +π (−180° bis +180°) zurück und berücksichtigt die Vorzeichen beider Koordinaten für eine eindeutige Quadranten-Zuordnung.

Für den Bereich 0°–360° addiert man bei negativen Winkeln 360°. Polar → Kartesisch: x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ), wobei φ in Radiant eingesetzt wird (φ_rad = φ_grad × π/180). Beispiel: (x=3, y=4) → r = √25 = 5, φ = atan2(4,3) ≈ 53,13°. Rückrechnung: x = 5 × cos(53,13°) = 3, y = 5 × sin(53,13°) = 4. ✓

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Nutze den Quadranten-Output als Plausibilitätscheck: Q1 (x>0, y>0) hat Winkel 0°–90°, Q2 (x<0, y>0) hat 90°–180°, Q3 (x<0, y<0) hat 180°–270°, Q4 (x>0, y<0) hat 270°–360°. Stimmt das mit dem Vorzeichen deiner Eingaben überein, ist das Ergebnis plausibel.

Für Navigationsprobleme und Kreisbewegungen ist die 0°–360°-Darstellung meist intuitiver. Für Signalverarbeitung und Fourier-Transformationen wird oft der −180° bis +180°-Bereich (auch ±π Radiant) bevorzugt. Der Rechner gibt beides aus.

Verwandte Anwendung: In CNC-Programmierung beschreiben Polarkoordinaten Bohrbilder auf einem Kreisbogen deutlich kürzer als kartesische Listen.

Fallstricke

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Der häufigste Fehler ist, atan(y/x) statt atan2(y,x) zu verwenden: atan gibt nur Werte von −90° bis +90° zurück und kann Q2 und Q3 nicht unterscheiden. Ein zweiter Fehler ist die Verwechslung von Grad und Radiant: π/4 Radiant sind 45 Grad, nicht 45 Radiant.

Drittens wird bei der Rückrechnung (polar → kartesisch) oft vergessen, φ von Grad in Radiant umzuwandeln, bevor man es in cos/sin einsetzt. Vierter Fehler: x und y vertauschen, was einen falschen Quadranten und falschen Winkel ergibt.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Koordinaten-Umrechner berechnet aus kartesischen Koordinaten (x, y) Radius und Winkel im Polarkoordinatensystem und gibt Quadrant, Grad, Radiant und 0°–360°-Winkel aus.

Für die Rückrechnung polar → kartesisch gelten x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ). Verwandte Rechner: Pythagoras-Rechner für den Radius ohne Winkel, Trigonometrie-Rechner für Winkelberechnungen in Dreiecken.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · r = 5,000; φ = −126,870° (−2,214 rad); φ im Bereich 0°–360° = 233,130°; Quadrant: Q3

Punkt im dritten Quadranten (−3 | −4)

x: -3
y: -4

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Koordinaten-Umrechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie rechne ich kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten um?

Aus den kartesischen Koordinaten (x, y) ergibt sich der Radius r = √(x² + y²) und der Winkel φ = atan2(y, x). Die Funktion atan2 berücksichtigt das Vorzeichen beider Koordinaten und liefert den Winkel im Bereich −180° bis +180°.

Damit ist die Umrechnung eindeutig für alle vier Quadranten. Beispiel: (x=3, y=4) → r = √(9+16) = √25 = 5, φ = atan2(4,3) ≈ 53,13°. Der Rechner gibt dir neben dem Winkel in Grad auch den Wert in Radiant sowie eine Darstellung im Bereich 0°–360° aus.

Was ist der Unterschied zwischen atan und atan2?

atan(y/x) liefert nur Werte zwischen −90° und +90° und unterscheidet nicht, ob Punkt (1,1) oder (−1,−1) gemeint ist — beide ergeben 45°. atan2(y, x) nimmt beide Argumente getrennt und liefert Werte von −180° bis +180°, sodass alle vier Quadranten korrekt erkannt werden.

Für (1,1): atan2 → +45°. Für (−1,−1): atan2 → −135° (statt wieder 45°). Dieser Unterschied ist entscheidend für korrekte Polardarstellungen. Der Rechner verwendet intern immer atan2, damit dein Winkel immer dem richtigen Quadranten entspricht.

In welchem Bereich liegt der Winkel φ in Polarkoordinaten?

Mathematisch konventionell wird φ im Bereich −180° bis +180° (bzw. −π bis +π) angegeben. Der Rechner zeigt dir beide Varianten: phiGrad im Bereich −180° bis +180° und phiGrad360 im Bereich 0° bis 360°.

Die 360°-Variante erhältst du, indem du negative Winkel um 360° erhöhst. Für technische Anwendungen wie Lagewinkel in der Navigation oder Physik wird oft 0°–360° bevorzugt, während mathematische Analysen meist −180° bis +180° nutzen.

Beide Darstellungen beschreiben denselben Punkt im Raum.

Wie rechne ich Polarkoordinaten zurück in kartesische Koordinaten?

Die Rückumrechnung lautet x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ). Beispiel: r=5, φ=53,13° → x = 5 × cos(53,13°) = 5 × 0,6 = 3 und y = 5 × sin(53,13°) = 5 × 0,8 = 4. Das stimmt exakt mit dem Ausgangspunkt (3,4) überein.

Beachte, dass φ in Radiant umgerechnet werden muss, wenn du direkt mit cos/sin rechnest: φ_rad = φ_grad × π/180. Der Rechner führt diese Umrechnung intern durch und gibt dir Radiant auch direkt als Ergebnis aus.

Was beschreibt der Quadrant und wie finde ich ihn?

Der Quadrant beschreibt, in welchem der vier Bereiche der Ebene ein Punkt liegt. Q1 (x>0, y>0): oben rechts, Winkel 0°–90°. Q2 (x<0, y>0): oben links, 90°–180°. Q3 (x<0, y<0): unten links, −180° bis −90° bzw. 180°–270°.

Q4 (x>0, y<0): unten rechts, −90° bis 0° bzw. 270°–360°. Liegt ein Punkt exakt auf einer Achse, spricht man von einer Achsenposition (positive x-Achse: 0°, positive y-Achse: 90°, negative x-Achse: 180°, negative y-Achse: 270°).

Der Rechner bestimmt den Quadranten automatisch und gibt ihn im Ergebnis aus.

Wo werden Polarkoordinaten in der Praxis verwendet?

Polarkoordinaten eignen sich überall dort, wo Entfernungen und Richtungen natürlicher sind als x/y-Verschiebungen. In der Navigation (Radar, GPS-Peilung) beschreibt man Ziele mit Kurswinkel und Entfernung.

In der Physik beschreiben Kreisbewegungen und elektromagnetische Wellen sich einfacher polar. In der Ingenieurspraxis benutzt man Polardiagramme für Antennencharakteristiken und Lautsprecherabstrahlverhalten.

In der Mathematik vereinfachen Polarkoordinaten Kurven wie Spiralen (r = a·φ) oder Kreise (r = const). In der CNC-Programmierung können Bohrbilder auf einem Kreisring polar definiert werden.

Was passiert, wenn x=0 und y=0 eingegeben wird?

Der Ursprung (0,0) ist ein Sonderfall: Der Radius r = √(0²+0²) = 0, und der Winkel φ ist mathematisch undefiniert (atan2(0,0) ist nicht definiert). In der Praxis liefern die meisten Implementierungen 0° oder eine Fehlermeldung.

Der Rechner behandelt diesen Sonderfall und gibt r=0 aus, ohne einen sinnlosen Winkelwert zu zeigen, weil ein Punkt im Ursprung keine Richtung hat. Sobald du einen der Werte von 0 wegbewegst, ergibt sich wieder ein eindeutiger Winkel.

Kann ich diesen Rechner auch für 3D-Koordinaten (Kugelkoordinaten) verwenden?

Nein, dieser Rechner rechnet nur zwischen kartesischen 2D-Koordinaten (x, y) und ebenen Polarkoordinaten (r, φ) um. Für 3D benötigst du sphärische Koordinaten (r, θ, φ) oder zylindrische Koordinaten (ρ, φ, z).

In sphärischen Koordinaten kommt ein zweiter Winkel θ (Polarwinkel zur z-Achse) hinzu: r = √(x²+y²+z²), θ = arccos(z/r), φ = atan2(y,x). Für die meisten schulischen und technischen Anwendungen reicht die 2D-Variante aus.

Wenn du 3D-Koordinaten umrechnen möchtest, würde ein separater Sphärischer-Koordinaten-Rechner helfen.

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

PythagorasrechnerFehlende Seite und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit Satz des Pythagoras berechnen.SteigungsrechnerSteigung m = Δy/Δx, Steigungswinkel und prozentuales Gefälle aus zwei Koordinatenpunkten berechnen.Trigonometrie-RechnerSinus, Cosinus und Tangens aus einem Winkel in Grad berechnen inklusive Bogenmaß und Tangens-Sonderfall bei 90°/270°.WinkelrechnerWinkel in Grad, Bogenmaß und Gon umrechnen, fehlende Winkel im Dreieck berechnen, Komplementär- und Supplementärwinkel.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.DiagonalenrechnerDiagonale von Rechteck, Quadrat, Quader (Raumdiagonale) und Bildschirm aus Zoll und Seitenverhältnis nach dem Satz des Pythagoras berechnen.DreiecksrechnerDreieck berechnen aus drei Seiten oder aus Seiten und Winkeln: fehlende Seiten, Winkel, Fläche, Umfang, Höhen sowie In- und Umkreisradius nach SSS, SWS, WSW und SSW.Ellipse-RechnerEllipsen-Fläche und Umfang aus großer und kleiner Halbachse berechnen – mit Exzentrizität.Binomische-Formeln-RechnerAlle drei binomischen Formeln berechnen: (a+b)², (a−b)² und (a+b)(a−b) – mit Zahlenwerten, vollständigem Rechenweg und symbolischer Darstellung.Mischungsverhältnis-RechnerMischungsverhältnis berechnen: Gesamtmenge und Anteile eingeben, Teilmengen bestimmen oder aus bekannten Mengen das vereinfachte Verhältnis berechnen.Geometrie Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Geometrie mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.