Polarkoordinaten umrechnen: Kartesisch ↔ Polar berechnen

Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt in der Ebene über zwei Größen: den Radius r als geradlinigen Abstand vom Koordinatenursprung und den Winkel φ zur positiven x-Achse – statt wie im kartesischen System über die horizontale Strecke x und die vertikale Strecke y.

Für den Punkt (x=3, y=4) liefert dieser Rechner r = 5 und φ ≈ 53,13° (0,9273 rad): Der Punkt liegt 5 Einheiten vom Ursprung entfernt in einem Winkel von rund 53 Grad zur x-Achse. Die Umrechnung folgt r = √(x² + y²) und φ = atan2(y, x).

Polarkoordinaten eignen sich überall dort, wo Entfernung und Richtung die natürlicheren Größen sind als zwei rechtwinklige Abstände, etwa bei Kreisbewegungen in der Physik, Radarpeilungen oder Antennendiagrammen in der Technik.

Für die Rückrechnung zu x und y gelten x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ). Ein Sonderfall ist der Ursprung (0, 0): Dort liefert der Rechner r = 0, aber keinen sinnvoll definierten Winkel, weil ein Punkt ohne Abstand keine Richtung besitzt.

Aus den kartesischen Koordinaten (x, y) ergibt sich der Radius r = √(x² + y²) und der Winkel φ = atan2(y, x), wobei atan2 das Vorzeichen beider Koordinaten berücksichtigt und den Winkel eindeutig im Bereich −180° bis +180° liefert.

Beispiel: (x=3, y=4) → r = √(9+16) = √25 = 5, φ = atan2(4,3) ≈ 53,13°.

Trägst du stattdessen negative Werte ein, etwa (x=−3, y=−4), bleibt der Radius mit r = 5 identisch, aber der Winkel springt auf −126,87° und weist damit korrekt in den dritten Quadranten.

Der Rechner gibt dir zusätzlich den Winkel im Bereich 0° bis 360° sowie in Radiant aus, sodass du nicht selbst umrechnen musst.

Gib einfach x und y in die beiden Felder ein; ob r oder φ gesucht ist, entscheidet der Rechner automatisch aus beiden Eingaben zusammen.

Achte darauf, x und y nicht zu vertauschen, denn das spiegelt den berechneten Winkel und verschiebt den Punkt in einen falschen Quadranten.

Das kartesische System legt einen Punkt über zwei rechtwinklige Abstände fest – x nach rechts oder links, y nach oben oder unten –, während das Polarkoordinatensystem denselben Punkt über Radius r und Winkel φ beschreibt.

Für den Punkt (3|4) bedeutet das: kartesisch drei Einheiten nach rechts und vier nach oben, polar 5 Einheiten Abstand in einer Richtung von 53,13°.

Beide Systeme beschreiben exakt denselben Punkt, nur die Rechenwege dorthin unterscheiden sich: Geraden und Rechtecke sind kartesisch einfacher zu beschreiben, Kreise und Drehungen dagegen polar.

In der Navigation kommt zusätzlich eine andere Nullrichtung hinzu: Dort zeigt 0° nach Norden und Winkel wachsen im Uhrzeigersinn, während dieser Rechner die mathematische Konvention nutzt, bei der 0° nach Osten zeigt und Winkel gegen den Uhrzeigersinn wachsen.

Wer ein Rechenergebnis in eine Kompass- oder GPS-Anwendung überträgt, muss diese Konvention beachten, sonst zeigt die Richtung um bis zu 90° daneben.

Für rein mathematische und technische Aufgaben reicht die direkte Übernahme von r und φ aus diesem Rechner.

atan(y/x) liefert nur Werte zwischen −90° und +90° und unterscheidet nicht, ob der Punkt (1,1) oder (−1,−1) gemeint ist – beide Quotienten ergeben rechnerisch 45°. atan2(y, x) nimmt beide Koordinaten getrennt entgegen und liefert Werte von −180° bis +180°, sodass alle vier Quadranten korrekt erkannt werden: Für (1,1) ergibt atan2 +45°, für (−1,−1) dagegen −135°.

Dieser Unterschied entscheidet direkt über die Richtigkeit des Ergebnisses, sobald x negativ wird.

Der Rechner verwendet intern ausschließlich atan2, damit dein Winkel immer dem tatsächlichen Quadranten entspricht, unabhängig vom Vorzeichen von x und y.

In der Programmierung ist atan2 in praktisch jeder Sprache verfügbar: JavaScript Math.atan2(y, x), Python math.atan2(y, x), C++ std::atan2(y, x) – wichtig ist dabei stets die Reihenfolge zuerst y, dann x.

Ein häufiger Programmierfehler ist atan(x/y) statt atan(y/x), was zu gespiegelten oder falsch skalierten Winkeln führt.

Wer trotzdem nur die einfache Arkustangens-Funktion für (−3, 4) einsetzt, erhält fälschlich −53,13° statt der über atan2 korrekt berechneten 126,87°.

Eine komplexe Zahl z = x + iy lässt sich in Polarform als z = r × (cos φ + i × sin φ) schreiben, wobei r und φ exakt aus derselben Formel wie bei ebenen Koordinaten folgen: r = √(x² + y²) und φ = atan2(y, x).

Für z = 6 − 8i liefert der Rechner (x=6, y=−8) den Betrag r = 10 und das Argument φ = −53,13° beziehungsweise 306,87° im Bereich 0° bis 360° – die Polarform lautet damit z = 10 × (cos(−53,13°) + i × sin(−53,13°)).

Der Betrag r entspricht dabei geometrisch dem Abstand der komplexen Zahl vom Nullpunkt der komplexen Ebene, das Argument φ dem Winkel zur positiven reellen Achse.

Diese Darstellung vereinfacht Multiplikation und Division komplexer Zahlen erheblich, weil sich Beträge multiplizieren und Winkel addieren lassen, statt umständlich mit Real- und Imaginärteil zu rechnen.

Setze den Realteil in das Feld x und den Imaginärteil in das Feld y ein, dann liefert dir dieser Rechner Betrag und Argument direkt als r und φ. Für die Rückrechnung von Polarform zu Real- und Imaginärteil gelten x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ).

Die Rückrechnung erfolgt über x = r × cos(φ) und y = r × sin(φ), wobei φ vor dem Einsetzen von Grad in Radiant umgewandelt werden muss (φ_rad = φ_grad × π/180).

Beispiel: Für r = 10 und φ = 60° ergibt sich x = 10 × cos(60°) = 5 und y = 10 × sin(60°) ≈ 8,6603 – gibst du diese x- und y-Werte in diesen Rechner ein, bestätigt er mit r = 10 und φ = 60° exakt die ursprünglichen Polarkoordinaten.

Dieser Rechner selbst nimmt nur x und y als Eingabe entgegen und rechnet ausschließlich von kartesisch nach polar; die Rückrichtung führst du wie oben mit Taschenrechner oder Tabellenkalkulation aus und prüfst das Ergebnis anschließend hier.

Ein typischer Anwendungsfall ist ein CNC-Bohrbild: Ist ein Lochkreis mit Radius und Winkelabstand geplant, lassen sich die Maschinenkoordinaten x und y für jede Bohrung so vorab berechnen.

Runde den Winkel φ dabei nicht zu stark, bevor du ihn in cos und sin einsetzt, sonst weichen die zurückgerechneten x- und y-Werte spürbar vom Original ab.

Der Quadrant gibt an, in welchem der vier Bereiche der Ebene ein Punkt liegt, und wird allein aus den Vorzeichen von x und y bestimmt: Q1 (x>0, y>0) liegt oben rechts mit Winkeln 0° bis 90°, Q2 (x<0, y>0) oben links mit 90° bis 180°, Q3 (x<0, y<0) unten links mit 180° bis 270°, Q4 (x>0, y<0) unten rechts mit 270° bis 360°.

Liegt ein Punkt exakt auf einer Achse, meldet der Rechner statt Q1 bis Q4 ausdrücklich eine Achsenposition, etwa „pos. y-Achse“ für x=0 und y=7 bei φ=90°.

Der Quadrant dient als schneller Plausibilitätscheck: Stimmt er nicht mit dem erwarteten Vorzeichen deiner Eingaben überein, liegt meist ein Zahlendreher vor.

In der Navigation entspricht Q1 (bei 0°=Ost) der nordöstlichen Richtung, Q2 der nordwestlichen, Q3 der südwestlichen und Q4 der südöstlichen. In der Elektrotechnik zeigen Phasendiagramme induktives Verhalten häufig in Q1, kapazitives in Q4.

Für x = 0 und y = 0 gibt es keinen Quadranten – der Rechner meldet dort ausdrücklich „Ursprung“.

Der Ursprung (0, 0) ist ein mathematischer Sonderfall: Der Radius ergibt sich zu r = √(0²+0²) = 0, der Winkel φ ist dagegen nicht definiert, weil ein Punkt ohne Abstand zum Ursprung keine Richtung besitzt.

Dieser Rechner gibt dafür φ = 0° und 0 Radiant aus – das ist die in JavaScript festgelegte Konvention atan2(0,0) = 0, kein mathematisch bedeutsamer Winkel.

Erkennbar ist der Sonderfall am Quadranten-Feld, das statt Q1 bis Q4 ausdrücklich „Ursprung“ anzeigt, statt die Null als Richtung „nach rechts“ misszuverstehen.

Sobald du x oder y auch nur geringfügig von 0 wegbewegst, liefert der Rechner wieder einen eindeutigen Winkel: Bereits x=0,01 und y=0 ergeben φ=0° auf der positiven x-Achse.

Verwandte, aber eindeutig lösbare Grenzfälle sind reine Achsenpunkte: (x=5, y=0) liefert φ=0°, (x=0, y=7) liefert φ=90° – beide sind eindeutig definiert, nur der Koordinatenursprung selbst nicht.

Übernimm die 0° am Ursprung deshalb nie unbesehen als Richtungswert in eine Weiterrechnung.

Nein, dieser Rechner rechnet ausschließlich zwischen ebenen kartesischen Koordinaten (x, y) und ebenen Polarkoordinaten (r, φ) um, nicht zwischen dreidimensionalen Kugelkoordinaten.

Für 3D benötigst du sphärische Koordinaten (r, θ, φ) mit einem zusätzlichen Polarwinkel θ zur z-Achse: r = √(x²+y²+z²), θ = arccos(z/r), φ = atan2(y,x).

Bei zylindrischen Koordinaten (ρ, φ, z) bleibt die Umrechnung von x und y dagegen identisch zu diesem Rechner – ρ = √(x²+y²) und φ = atan2(y,x) entsprechen exakt r und φ hier, nur z kommt unverändert als dritte Koordinate hinzu.

Für die häufigsten schulischen und technischen 2D-Aufgaben – Winkel- und Abstandsberechnung in der Ebene, Navigation, Antennendiagramme, CNC-Bohrbilder – reicht diese 2D-Variante vollständig aus.

Sphärische Koordinaten werden zusätzlich in der Geografie für Breiten- und Längengrade sowie in der Quantenmechanik für Wellenfunktionen gebraucht, benötigen aber eine eigene dritte Koordinate und damit einen eigenen Rechner.

Prüfe vor der Berechnung also immer, ob deine Aufgabe wirklich nur zwei Koordinaten (x, y) oder tatsächlich drei (x, y, z) umfasst.