Regelmäßiges Vieleck berechnen: n-Eck Fläche, Winkel, Radien

Mit A = n·a² ÷ (4·tan(180° ÷ n)). Das Vieleck besteht aus n gleichen Dreiecken, die sich am Mittelpunkt treffen, und der Tangens liefert die Höhe dieser Dreiecke, den Inkreisradius.

Beim Fünfeck mit a = 10 cm ergibt das 172,048 cm², beim Sechseck mit a = 5 cm 64,952 cm² und beim Achteck mit a = 10 cm 482,843 cm². Stelle beim Taschenrechner den Winkelmodus auf Grad, sonst kommt Unsinn heraus; 180° ÷ n ist beim Achteck 22,5°.

Im Rechner genügt es, n, „Seitenlänge a“ und den Wert einzutragen, die Fläche erscheint mit Probe und Rechenweg. Kennst du statt der Seite den Umfang, teilst du ihn zuerst durch n.

Die Fläche wächst mit dem Quadrat der Seite: Verdoppelst du a, vervierfacht sich A. Achte auf die Einheit, denn aus cm wird cm² und aus m wird m². Wer Pflaster oder Fliesen bestellt, rechnet zur Fläche noch den Verschnitt hinzu.

Er beträgt (n − 2)·180° ÷ n. Der Zähler ist die Winkelsumme aller Innenwinkel, die du durch die Zahl der gleich großen Winkel teilst. Beim Fünfeck sind das 108°, beim Sechseck 120°, beim Achteck 135° und beim Zwölfeck 150°.

Der Außenwinkel ergänzt den Innenwinkel auf 180° und beträgt 360° ÷ n, also 72° beim Fünfeck und 45° beim Achteck; er ist zugleich der Winkel am Mittelpunkt zwischen zwei Nachbarecken.

Die Winkelsumme (n − 2)·180° entsteht, weil sich jedes Vieleck von einer Ecke aus in n − 2 Dreiecke zerlegen lässt: Beim Achteck sind es 6 Dreiecke und damit 1.080°. Ein häufiger Fehler ist, diese Summe mit einem einzelnen Winkel zu verwechseln.

Bei großem n nähert sich der Innenwinkel 180°, das 100-Eck hat 176,4°. Der Rechner zeigt Innenwinkel, Außenwinkel und Winkelsumme im Block „Winkel“ nebeneinander. Zur Probe ergeben acht Winkel zu je 135° beim Achteck wieder 1.080°.

Es sind n·(n − 3) ÷ 2 Diagonalen. Von jeder Ecke gehen n − 3 Diagonalen aus, denn zur Ecke selbst und zu den beiden Nachbarecken führt keine. Weil jede Diagonale zwei Enden hat, teilst du das Produkt durch 2.

Das Dreieck hat damit 0 Diagonalen, das Quadrat 2, das Sechseck 9, das Achteck 20 und das Zwölfeck 54. Beim 100-Eck sind es 4.850.

Der Rechner nennt außerdem, in wie vielen verschiedenen Längen sie vorkommen: Beim Achteck sind es 3, beim Fünfeck nur 1, denn alle fünf Diagonalen sind gleich lang.

Die längste Diagonale misst bei geradem n genau den doppelten Umkreisradius, beim Achteck mit a = 10 cm also 26,131 cm. Wer nur n·(n − 3) rechnet, zählt jede Diagonale doppelt und landet beim Achteck bei 40 statt 20.

Das Zählen hilft zum Beispiel bei Fachwerk- und Rahmenplanungen, wenn jede Diagonale ein Stab ist.

Den Umkreisradius r_u, wenn das Vieleck in einen Kreis passen soll, etwa ein Achteck auf einer runden Platte. Er reicht vom Mittelpunkt bis zur Ecke.

Den Inkreisradius r_i brauchst du, wenn ein Kreis in das Vieleck passen soll oder wenn der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten zählt, beim Sechskant also die Schlüsselweite.

Eine Sechskantschraube mit Schlüsselweite 17 mm hat r_i = 8,5 mm; daraus rechnet der Rechner den Umkreisradius 9,815 mm und das Eckenmaß 19,63 mm aus. Beim Sechseck ist r_u gleich der Seitenlänge, bei anderen Vielecken nicht.

Beim Dreieck ist r_u mit 5,774 cm doppelt so groß wie r_i mit 2,887 cm (a = 10 cm). Das Verhältnis wird mit wachsendem n enger: Beim Zwölfeck mit r_i = 10 cm liegt r_u bei 10,353 cm.

Wähle im Rechner unter „Gegebene Größe“ genau den Radius, den du gemessen hast, und teile einen gemessenen Durchmesser vorher durch 2, sonst verdoppelt sich jedes Ergebnis.

Du stellst die Flächenformel nach a um: a = √(4·A·tan(180° ÷ n) ÷ n). Bei einem Siebeneck mit A = 100 cm² ergibt das a = 5,246 cm; der Umfang beträgt dann 36,721 cm.

Im Rechner wählst du dazu „Fläche A“ bei „Gegebene Größe“ und trägst 100 ein, die Einheit gilt als Quadratzentimeter. Der Rechner bestimmt zuerst die Seitenlänge und zeigt sie im Block „Maße“ an.

Die Rechnung ist eindeutig, weil die Fläche mit a immer weiter wächst. Ein häufiger Fehler ist, die Fläche als Seitenlänge einzutragen: Ein Siebeneck mit a = 100 cm hätte rund 36.339 cm².

Plausibilitätsprobe: Die Seitenlänge muss deutlich kleiner sein als die Fläche, solange die Fläche größer als 1 ist. Hast du den Umfang, ist es einfacher: Teile ihn durch n, bei 30 cm Umfang im Dreieck also 10 cm.

Nach dem Satz von Gauß und Wantzel genau die n-Ecke, bei denen n = 2^k · (Produkt verschiedener Fermat-Primzahlen) ist; bekannt sind die Fermat-Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537. Im Bereich bis 20 sind das 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17 und 20.

Nicht konstruierbar sind dagegen das Siebeneck, das Neuneck, das Elfeck und das Dreizehneck. Die Konstruktion des Siebzehnecks fand Gauß im Jahr 1796. Der Rechner zeigt zu jedem n eine Zeile „Mit Zirkel und Lineal konstruierbar?“.

Das heißt aber nicht, dass er die Zeichnung liefert, und es sagt nichts über die Rechnung: Auch ein Siebeneck hat eine exakte Fläche, nur lässt sich seine Seite nicht mit den klassischen Werkzeugen aus dem Kreis abtragen.

In der Praxis zeichnest du solche Vielecke mit dem Winkel 360° ÷ n und einem Geodreieck.

Je größer n, desto näher liegen Umkreis und Inkreis beieinander. Beim Zwölfeck mit r_i = 10 cm ist der Umkreisradius 10,353 cm, also gut 3 % größer.

Beim 50-Eck mit a = 1 m sind es 7,963 m und 7,947 m, beim 100-Eck mit a = 1 m 15,918 m und 15,91 m, der Unterschied sinkt auf 0,05 %. Die Fläche des 100-Ecks erreicht dann 99,93 % der Umkreisfläche.

Für Pläne und Skizzen kannst du ab etwa n = 30 mit dem Kreis rechnen, wenn ein Fehler von unter einem Prozent genügt, zum Beispiel beim Schätzen von Rundbauten.

Für Fertigungsmaße gilt das nicht: Ein Achteck bleibt ein Achteck, auch wenn es rund aussieht. Der Rechner endet bei n = 100. Wer mehr Ecken braucht, rechnet mit dem Kreis-Rechner und behandelt die Abweichung als Rundungsfehler der Näherung.

Nein, er rechnet nur Vielecke mit gleich langen Seiten und gleich großen Winkeln. Bei einem Viereck mit ungleichen Seiten, einem Fünfeck mit eingedrückter Ecke oder einem Stern fehlt die Voraussetzung, dass alle Ecken auf einem Kreis liegen.

Für Vierecke gibt es den Flächenrechner für unregelmäßige Vierecke, der mit Diagonalen oder Koordinaten arbeitet.

Der Rechner lehnt Eingaben außerhalb seines Bereichs ausdrücklich ab: n = 2 (zwei Punkte sind nur eine Strecke), n = 5,5 (die Eckenzahl muss ganz sein), n = 101 (über der Grenze von 100) und ein Wert von 0 oder weniger.

Du bekommst einen Hinweis statt einer falschen Zahl.

Prüfe bei Bauteilen aus der Praxis, ob wirklich alle Seiten gleich lang sind, am besten mit der Umfangsprobe: U geteilt durch n muss die gemessene Seitenlänge ergeben, bei 8 Seiten und 80 cm Umfang also 10 cm.