Sechseck berechnen: Fläche, Umfang, Schlüsselweite

Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks ist A = 3 · √3 ÷ 2 · a², also etwa das 2,598-fache der Seitenlänge zum Quadrat. Bei a = 5 cm ergibt das 64,95 cm², bei a = 10 cm schon 259,81 cm².

Die Fläche wächst mit dem Quadrat der Seite: Doppelte Seitenlänge bedeutet vierfache Fläche. Kennst du statt der Seite die Schlüsselweite, wählst du sie als gegebene Größe aus und der Rechner bestimmt die Seite selbst.

Eine zweite Rechenweise liefert die Probe: A = ½ · U · r_i, also Umfang mal Inkreisradius durch zwei, hier ½ · 30 cm · 4,33 cm = 64,95 cm². Beide Wege müssen übereinstimmen, sonst stimmt die Eingabe nicht.

Achte auf die Einheit: Die Fläche steht in cm², mm² oder m², nie in der Längeneinheit. Wer die Rechteckformel Seite mal Seite nutzt, erhält mit 25 cm² nur knapp 40 Prozent der richtigen Fläche. Für Fliesen rechnest du den Verschnitt zusätzlich ein.

Die Schlüsselweite ist SW = √3 · a, also etwa das 1,732-fache der Seitenlänge. Sie ist der Abstand zweier gegenüberliegender paralleler Seiten und zugleich der doppelte Inkreisradius. Bei a = 5 cm beträgt SW 8,66 cm, bei a = 10 cm 17,32 cm.

Umgekehrt gilt a = SW ÷ √3: Aus einer Schlüsselweite von 13 mm folgt eine Seitenlänge von 7,506 mm. Im Rechner wählst du dafür „Schlüsselweite“ als gegebene Größe und trägst 13 mit der Einheit mm ein.

Die Seitenlänge ist stets kleiner als die Schlüsselweite, denn √3 ist größer als 1. Verwechsle die Schlüsselweite nicht mit dem Eckmaß, das größer ist: Bei SW 13 mm sind es 15,011 mm.

Die Rechnung gilt für ein ideales Sechseck ohne Fasen; die Normwerte für Muttern und Schrauben stehen im Normblatt ISO 4032 und sind hier nicht eingerechnet.

Das Eckmaß ist e = 2 · a und die Schlüsselweite SW = √3 · a. Teilst du beide, erhältst du e ÷ SW = 2 ÷ √3 = 1,1547.

Für SW = 10 mm (M6) ergibt das 11,55 mm, für SW = 13 mm (M8) 15,01 mm, für SW = 24 mm (M16) 27,71 mm und für SW = 36 mm (M24) 41,57 mm. Der Weg zurück ist SW = 0,866 · e: Aus 20 mm Eckmaß wird eine Schlüsselweite von 17,32 mm.

Das ist wichtig beim Fräsen eines Sechskants aus Rundmaterial, weil der Rundstab mindestens das Eckmaß als Durchmesser haben muss. Im Rechner genügt es, die Schlüsselweite vorzugeben und das Eckmaß abzulesen.

Alle Werte gelten für das ideale Sechseck. Bei einem fertigen Bauteil kann das gemessene Eckmaß abweichen, etwa wegen angefaster Ecken. Im Zweifel gilt die Herstellerzeichnung.

Aus der Fläche folgt die Seitenlänge mit a = √(2 · A ÷ (3 · √3)), das ist etwa 0,6204 · √A. Bei A = 100 cm² ergibt das a = 6,204 cm, einen Umfang von 37,224 cm, eine Schlüsselweite von 10,746 cm und ein Eckmaß von 12,408 cm.

Der Rechner erledigt das, wenn du „Fläche“ als gegebene Größe wählst und 100 mit der Einheit cm einträgst: Der Wert gilt dann für cm². Eine häufige Fehlerquelle ist die Verwechslung mit der Seitenlänge.

Wer 100 als Seitenlänge liest, rechnet mit 25.981 cm² und liegt um den Faktor 260 daneben. Prüfe das Ergebnis mit der Rückrechnung: 2,598 · 6,204² ergibt wieder 100 cm².

Die Seite wächst nur mit der Wurzel: Die vierfache Fläche bedeutet die doppelte Seitenlänge. Für Böden und Fliesen gilt zusätzlich: Die Fläche des Sechsecks ist die Nettofläche, Fugen und Verschnitt kommen hinzu.

Das Volumen eines Sechskantprismas ist V = A · h, die Grundfläche mal die Höhe. Die Oberfläche ist O = 2 · A + 6 · a · h: zwei Sechsecke und sechs Rechtecke.

Mit a = 5 cm und h = 10 cm sind das 649,52 cm³ und 429,9 cm², nämlich zwei Sechsecke zu je 64,95 cm² und sechs Rechtecke mit zusammen 300 cm². Im Rechner trägst du die Höhe in derselben Einheit wie die Länge ein.

Wer 100 für 100 mm eingibt, obwohl die Einheit cm gilt, erhält mit 6.495,19 cm³ das Zehnfache. Bei Schrauben, Bolzen und Stäben sind Bohrungen, Gewinde und Fasen nicht abgezogen, das Volumen ist deshalb eine Obergrenze.

Lässt du die Höhe leer oder trägst 0 ein, entfallen Volumen und Oberfläche und der Rechner zeigt nur das Sechseck selbst.

Weil das Sechseck aus sechs gleichseitigen Dreiecken besteht. Vom Mittelpunkt zu zwei benachbarten Ecken sind es je r_u, der Winkel dazwischen beträgt 360° ÷ 6 = 60°, und ein gleichschenkliges Dreieck mit 60° an der Spitze ist gleichseitig.

Also gilt a = r_u. Der Inkreisradius ist die Höhe eines solchen Dreiecks: r_i = √3 ÷ 2 · a = 0,866 · a, bei a = 5 cm sind das 4,33 cm.

Daraus folgen mehrere Regeln: Das Eckmaß ist die doppelte Seite, der Umfang das Sechsfache des Umkreisradius und der Innenwinkel 120°, nämlich zwei Dreieckswinkel zu je 60°. Dieser Zusammenhang gilt nur beim Sechseck.

Beim Fünfeck oder Achteck sind Seite und Umkreisradius verschieden; für diese Vielecke nutzt du den Vieleck-Rechner, der n von 3 bis 100 Ecken kennt.

Wegen a = r_u zeichnet man ein Sechseck mit dem Zirkel, indem man den Radius sechsmal auf dem Kreis abträgt.

Nach ISO 272 gehört zu M10 die Schlüsselweite 16 mm und zu M12 die Schlüsselweite 18 mm. Ältere DIN-Werte nannten 17 mm und 19 mm.

Die Tabelle im Rechner nutzt die ISO-Werte: M10 hat bei SW 16 mm eine Seite von 9,24 mm, ein Eckmaß von 18,48 mm und eine Fläche von 221,7 mm²; M12 mit SW 18 mm kommt auf 10,39 mm, 20,78 mm und 280,59 mm².

Wer ein Werkzeug sucht, prüft trotzdem den Aufdruck am Bauteil, denn bei Altteilen kann der alte DIN-Wert gelten. Die Tabelle enthält die Maße des idealen Sechsecks und keine Normmaße.

Die Schlüsselweiten stammen aus einer Tabelle bei Wikipedia, die Normblätter ISO 272 und ISO 4032 selbst sind nicht frei lesbar. Das ist ein Hinweis zur Quellenlage, kein Ersatz für das Normblatt.

Prüfe im Zweifel Schlüssel und Bauteil mit dem Messschieber nach.

Der Rundstab muss mindestens so dick sein wie das Eckmaß des Sechskants. Für SW 17 mm beträgt das ideale Eckmaß 19,63 mm, ein Stab mit 20 mm Durchmesser reicht also mit 0,37 mm Reserve.

Umgekehrt lässt sich aus einem Stab mit 20 mm Durchmesser höchstens ein Sechskant mit SW 17,32 mm fräsen, ein Schlüssel mit SW 17 mm passt noch. Gib im Rechner das Eckmaß 20 mm vor, um die Schlüsselweite abzulesen.

Die Reserve ist knapp, denn Fasen, Rundlauf und Maßtoleranz zehren sie auf; im Zweifel nimmst du den nächstgrößeren Stab. Der Sechskant mit 30 mm Länge hat bei SW 17 mm eine Fläche von 250,28 mm² und ein Volumen von 7.508,44 mm³.

Wer die Rundstabgröße aus der Schlüsselweite ableitet, rechnet also e = SW ÷ 0,866. Als Gegenprobe ergibt das Eckmaß 19,63 mm wieder die Schlüsselweite 17 mm.