Mittelpunkt einer Strecke berechnen: 2D, 3D und Teilung

Du bildest für jede Koordinate das arithmetische Mittel der beiden Endpunkte: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2). Für A(2 | 4) und B(8 | −2) rechnest du x_M = (2 + 8) ÷ 2 = 5 und y_M = (4 + (−2)) ÷ 2 = 1, also M(5 | 1).

Wichtig ist, die Koordinaten getrennt zu behandeln: x mit x, y mit y. Im Rechner wählst du „Mittelpunkt M aus A und B“, stellst 2D ein, trägst x₁, y₁, x₂ und y₂ ein und liest M, die Streckenlänge 8,4853 und den Rechenweg ab.

Zur Probe prüfst du, dass |AM| und |MB| gleich lang sind, hier je 4,2426. Negative Zahlen schreibst du mit Minuszeichen, Kommazahlen mit Komma.

Der Mittelpunkt liegt immer auf der Strecke zwischen A und B; fallen beide Punkte zusammen, ist er mit ihnen identisch. Die Formel gilt nur für gerade Strecken in einem kartesischen Koordinatensystem, nicht für Bögen oder Kurven.

In 3D kommt die z-Koordinate dazu: M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2, (z₁ + z₂) ÷ 2). In Vektorschreibweise lautet sie OM = ½ · (OA + OB): Du addierst die Ortsvektoren von A und B komponentenweise und halbierst das Ergebnis.

Ein Beispiel: Für A(1 | 2 | 3) und B(7 | −2 | −5) ist OA + OB = (8 | 0 | −2), also OM = (4 | 0 | −1). Die Streckenlänge ist |AB| = √(6² + (−4)² + (−8)²) = √116 = 10,7703.

Im Rechner stellst du „3D“ ein, dann erscheinen die z-Felder; in 2D sind sie ausgeblendet und werden nicht gerechnet. Beide Schreibweisen führen zum selben Punkt, die Vektorform ist nur kompakter und lässt sich auf mehr Dimensionen übertragen.

Die Mittelsenkrechte gibt der Rechner nur in 2D als Gerade an; in 3D ist die Menge der gleich weit entfernten Punkte eine Ebene, die er nicht ausgibt.

Mit B = 2M − A: Du verdoppelst den Mittelpunkt und ziehst den Anfangspunkt ab, koordinatenweise. Der Grund ist die Mittelpunktformel M = (A + B) ÷ 2, nach B umgestellt.

Ein Beispiel: Für A(3 | −1) und M(0 | 0) ist x₂ = 2 · 0 − 3 = −3 und y₂ = 2 · 0 − (−1) = 1, also B(−3 | 1).

Im Rechner wählst du „Endpunkt B aus A und dem Mittelpunkt M“ und trägst in die Felder des zweiten Punkts die Koordinaten von M ein; die Felder heißen „Punkt B bzw. Mittelpunkt M“. Der Rechner zeigt B, die Richtung AB = (−6 | 2) und die Länge 6,3246.

Die Probe lautet: Der Mittelpunkt von A und dem berechneten B muss wieder M sein. Ein häufiger Fehler ist, M im Modus „Mittelpunkt“ einzutragen; dann erhältst du nur die Mitte zwischen A und M, hier (1,5 | −0,5), nicht den gesuchten Endpunkt.

Für AT : TB = m : n ist T = (n · A + m · B) ÷ (m + n), gleichwertig T = A + m ÷ (m + n) · AB. Ein Beispiel: Für A(2 | 4) und B(8 | −2) mit 1 : 3 gibt es vier Teile, T = ((3 · 2 + 1 · 8) ÷ 4, (3 · 4 + 1 · (−2)) ÷ 4) = (3,5 | 2,5).

Mit 3 : 1 liegt T bei (6,5 | −0,5), mit 1 : 1 im Mittelpunkt (5 | 1). Im Rechner wählst du „Teilungspunkt T im Verhältnis m : n“ und trägst m und n ein.

Beide müssen größer als 0 sein; der Rechner rechnet nur die innere Teilung, bei der T zwischen A und B liegt. Eine äußere Teilung, bei der T außerhalb der Strecke liegt, rechnet er nicht.

Die Reihenfolge zählt: m gehört zu AT, n zu TB, und vertauschte Werte ergeben den gespiegelten Punkt.

Die Länge folgt aus dem Satz des Pythagoras: |AB| = √(Δx² + Δy²) in 2D und √(Δx² + Δy² + Δz²) in 3D, wobei Δ die Differenz der Koordinaten ist.

Für A(2 | 4) und B(8 | −2) ist Δ = (6 | −6), also |AB| = √(36 + 36) = √72 = 8,4853; die halbe Strecke |AM| ist 4,2426. Der Rechner nennt die Länge in jedem Modus, dazu den Richtungsvektor AB = OB − OA, hier (6 | −6).

Beim Teilungspunkt gibt er zusätzlich |AT| und |TB| an, die zusammen die Länge |AB| ergeben. Das Vorzeichen der Differenzen spielt für die Länge keine Rolle, weil quadriert wird, wohl aber für den Richtungsvektor.

Die Länge hat dieselbe Einheit wie die Koordinaten; der Rechner nimmt keine Einheit an, du setzt sie selbst, etwa Meter. Ausgegeben werden höchstens vier Nachkommastellen, gerechnet wird mit den ungerundeten Werten.

Die Mittelsenkrechte ist die Gerade durch den Mittelpunkt M, die senkrecht auf AB steht. In 2D hat sie die Steigung −Δx ÷ Δy, wenn Δy nicht 0 ist, und geht durch M.

Für A(2 | 4) und B(8 | −2) ist Δ = (6 | −6), die Steigung also −6 ÷ (−6) = 1, und mit M(5 | 1) folgt y = x − 4.

Ist AB waagerecht, etwa A(0 | 0) und B(9 | 0), ist die Mittelsenkrechte die senkrechte Gerade x = 4,5; ist AB senkrecht, ist sie waagerecht. Der Rechner gibt die Gleichung in den Modi „Mittelpunkt“ und „Endpunkt“ in 2D an, nicht beim Teilungspunkt.

Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten sind von A und B gleich weit entfernt. Fallen A und B zusammen, gibt es keine eindeutige Mittelsenkrechte, und der Rechner schreibt „Entfällt“.

In 3D ist die Menge der gleich weit entfernten Punkte eine Ebene, die er nicht ausgibt.

Du zeichnest um A und um B Kreisbögen mit demselben Radius, der größer sein muss als die halbe Strecke AB.

Die beiden Kreisbögen schneiden sich in zwei Punkten; die Gerade durch diese Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte von AB, und sie trifft die Strecke im Mittelpunkt M.

Ist der Radius kleiner oder gleich der halben Länge, schneiden sich die Bögen nicht, und die Konstruktion scheitert.

Wenn A und B in einem Koordinatensystem liegen, kannst du das Ergebnis mit dem Rechner prüfen: Für A(2 | 4) und B(8 | −2) muss die Konstruktion M(5 | 1) treffen, und der Radius muss größer als 4,2426 sein.

Die Konstruktion liefert den Punkt mit Bleistiftgenauigkeit, die Rechnung genau; beides führt zum selben M. Das Lineal brauchst du nur, um die beiden Schnittpunkte zu verbinden.

Den Teilungspunkt im Verhältnis 1 : 3 konstruierst du so nicht direkt, dafür rechnest du ihn besser, hier T(3,5 | 2,5).

Ja, beides ist erlaubt: Negative Koordinaten schreibst du mit Minuszeichen, zum Beispiel −2, Kommazahlen mit Dezimalkomma, zum Beispiel 2,5. Die Koordinaten dürfen zwischen −1.000.000 und 1.000.000 liegen.

Ein Beispiel: Für A(2,5 | −1,25) und B(0,1 | 0,2) berechnet der Rechner M(1,3 | −0,525) und die Länge 2,804. Die Ausgabe nutzt ebenfalls das Dezimalkomma und schreibt negative Zahlen mit dem Minuszeichen.

Das Ergebnis wird mit bis zu vier Nachkommastellen ausgegeben, gerechnet wird mit den ungerundeten Zahlen. Ein leeres Feld, Text oder ein Wert außerhalb des Bereichs führt zu einer Fehlermeldung mit dem Grund; der Rechner korrigiert nichts still.

Im Modus Teilungspunkt müssen m und n größer als 0 sein, Null oder negative Werte werden abgelehnt. In 2D sind die z-Felder ausgeblendet und werden nicht verwendet.

Punkte, die zusammenfallen, sind erlaubt: Dann ist die Länge 0 und der Mittelpunkt gleich A, und die Mittelsenkrechte entfällt.