Unregelmäßiges Viereck Fläche berechnen – 3 Methoden

Du brauchst neben den vier Seiten ein fünftes Maß und zerlegst das Viereck damit in Dreiecke. Am einfachsten ist die Diagonale: Sie teilt das Viereck in die Dreiecke ABC und ACD, deren Flächen du nach Heron berechnest und addierst.

Beispiel: Bei a = 20, b = 15, c = 18, d = 12 und e = 25 m hat das erste Dreieck 150,00 m² (s = 30, √(30·10·15·5)), das zweite 100,62 m², zusammen sind es 250,62 m².

Im Rechner wählst du dazu den Modus „4 Seiten + eine Diagonale“, trägst die Seiten der Reihe nach ein und liest Fläche, Teilflächen, Umfang und Hektar ab.

Kennst du statt der Diagonale zwei gegenüberliegende Winkel oder die Koordinaten der Ecken, stehen dafür die Modi Winkel und Koordinaten bereit.

Prüfe zuletzt, ob die Fläche unterhalb der angezeigten Obergrenze von 255,00 m² liegt; andernfalls stimmt ein Messwert nicht.

Nein, vier Seiten legen ein Viereck nicht eindeutig fest. Es verhält sich wie ein Gelenkrahmen aus vier Latten: Du kannst ihn flach drücken oder aufrichten, ohne eine Seite zu verändern, und die Fläche ändert sich mit.

Mit den Seiten 20, 15, 18 und 12 m ergibt eine Diagonale von 7 m nur 68,30 m², 25 m ergeben 250,62 m², 29 m ergeben 194,43 m², und die größtmögliche Fläche liegt bei 255,00 m².

Wer nur die Seiten kennt, kann deshalb allenfalls diese Obergrenze nennen, nicht die tatsächliche Fläche. Miss darum eine Diagonale, zwei gegenüberliegende Winkel oder die Koordinaten der Ecken.

Nur bei Sonderformen wie Rechteck, Quadrat oder Raute genügen weniger Angaben, weil die Winkel dort feststehen. Für solche Standardformen ist der Flächenrechner die bessere Wahl, für alles Schiefe dieser Rechner.

Rechner, die nur nach vier Seiten fragen, raten entweder oder liefern bloß die Obergrenze; hier bekommst du eine echte Fläche.

Bei einem Viereck mit einspringender Ecke liegt nur eine der beiden Diagonalen im Inneren, und nur diese darfst du für die Zerlegung nutzen.

Die äußere Diagonale verläuft teilweise außerhalb der Figur; die beiden Dreiecke überdecken sich dann, und ihre Flächen müssten voneinander abgezogen statt addiert werden.

Beim L-förmigen Viereck mit den Ecken (0|0), (30|0), (12|8) und (0|20) beträgt die innere Diagonale 14,42 m und die Fläche 240,00 m². Mit der äußeren Diagonale von 36,06 m ergäbe die Addition 360,00 m², also rund 50 % zu viel.

Erkennbar ist die innere Diagonale daran, dass sie von der einspringenden Ecke ausgeht.

Im Koordinatenmodus wählt der Rechner die innere Diagonale automatisch; im Diagonalenmodus musst du sie selbst bestimmen und beim Messen darauf achten, dass die Messschnur im Inneren des Vierecks liegt.

Wer unsicher ist, zeichnet das Viereck maßstäblich auf Papier und sieht sofort, welche Diagonale innen liegt.

Weil beide Teildreiecke die Dreiecksungleichung erfüllen müssen: Je zwei Seiten zusammen sind länger als die dritte. Bei a = 20, b = 15, c = 18 und d = 12 m darf die Diagonale e deshalb nur echt zwischen 6 und 30 m liegen.

Die Obergrenze 30 m ergibt sich aus c + d = 18 + 12, die Untergrenze 6 m aus dem Unterschied c − d, der größer ist als a − b = 5.

Mit e = 31 m meldet der Rechner einen Fehler im Dreieck ACD und nennt diesen Bereich, statt eine Fläche auszugeben; genau 30 oder 6 m ergeben ein plattgedrücktes Dreieck ohne Fläche und werden ebenfalls abgewiesen.

Meistens steckt ein Messfehler oder Zahlendreher dahinter, etwa 2.500 statt 25 m durch gemischte Einheiten. Miss die Diagonale nach und prüfe, ob sie wirklich die gegenüberliegenden Ecken A und C verbindet.

Die Bretschneider-Formel passt, wenn du alle vier Seiten und zwei gegenüberliegende Innenwinkel kennst, aber keine Diagonale. Sie lautet A = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d) − a·b·c·d·cos²((α+γ)/2)) und gilt für gewöhnliche wie für einspringende Vierecke.

Für 20, 15, 18 und 12 m mit α = 79° und γ = 80° ergibt sie 250,74 m²; bei α + γ = 180° verschwindet der Kosinus-Term und die Fläche erreicht das Maximum von 255,00 m².

Weil die Formel nur die Winkelsumme nutzt, prüft der Rechner zusätzlich die Diagonale BD, einmal aus α, einmal aus γ: 21,27 gegen 21,34 m sind nur etwa 0,3 % Unterschied.

Ab 3 % Abweichung warnt der Rechner, ab 15 % weist er ab, so bei α = 79° und γ = 100° mit 16,1 %. Trage immer gegenüberliegende Innenwinkel ein, keine benachbarten und keine Außenwinkel.

Entscheidend ist die Summe α + γ, nicht jeder Winkel einzeln; deshalb sind beide Messwerte gleich wichtig.

Mit der Gaußschen Trapezformel: Du nennst die vier Ecken nacheinander rund um das Viereck, und der Rechner bildet A = ½·|Σ(xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|. Für (0|0), (30|0), (24|18) und (4|14) ergibt das ½·|0 + 540 + 264 + 0| = 402,00 m² bei 83,93 m Umfang.

Als Kontrolle liefert das Rechteck (0|0), (4|0), (4|3), (0|3) genau 12,00 Flächeneinheiten. Den Nullpunkt und die Drehrichtung wählst du frei; entscheidend ist die Reihenfolge.

Liegen die Punkte kreuz und quer, etwa (0|0), (10|10), (10|0), (0|10), kreuzen sich zwei Seiten, und der Rechner weist die Eingabe ab, weil sich dort die Beiträge der beiden Dreiecke aufheben.

Koordinaten stammen aus Lageplänen, Vermessungsskizzen oder Kartenmaterial. Achte darauf, dass x und y dieselbe Einheit haben und dass du Meter oder Zentimeter passend einstellst, sonst stimmt die Fläche um Zehnerpotenzen nicht.

Je genauer du die Punkte festlegst, desto genauer wird die Fläche; runde sie nicht vorher grob auf.

Die Rechnung ist exakt, aber nur so genau wie deine Messwerte. Sind alle Längen um 1 % zu groß, wächst die Fläche um etwa 2 %: Aus 250,62 m² werden 255,65 m².

Eine einzelne ungenaue Diagonale wirkt dagegen oft schwächer: Beim Grundstück mit 40, 30, 35 und 25 m ergeben e = 47,5 m 1.022,45 m² und e = 49,0 m 1.014,74 m² statt 1.020,52 m² bei 48,0 m.

Der Rechner geht von einem ebenen Viereck mit geraden Seiten aus und nimmt Horizontalstrecken an; am Hang gemessene Schrägstrecken überschätzen die Grundfläche.

Für Kaufverträge, Bauanträge oder Grenzfragen zählt die Angabe aus dem Liegenschaftskataster oder einer Vermessung durch eine Vermessungsstelle.

Nutze den Rechenwert für Planung und Mengen, etwa 1.020,52 m² oder 0,1021 ha für Saatgut und Dünger, und rechne bei Material einen kleinen Zuschlag für Verschnitt und Messunsicherheit ein.

Bei gegebenen Seiten hat das Sehnenviereck die größte Fläche, also das Viereck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen und dessen gegenüberliegende Winkel sich zu 180° ergänzen.

Die Formel A_max = √((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)) folgt aus der Bretschneider-Formel, wenn der Kosinus-Term wegfällt; s ist der halbe Umfang. Für 20, 15, 18 und 12 m ist s = 32,5 und A_max = 255,00 m², für 40, 30, 35 und 25 m sind es 1.024,70 m².

Der Rechner zeigt diese Obergrenze in jedem Modus an und macht so die Plausibilitätsprüfung leicht: Das Grundstück mit 1.020,52 m² schöpft sie zu 99,6 % aus, das L-förmige Viereck mit 240,00 m² nur etwa 55 % seiner 440,32 m².

Liegt dein Ergebnis über der Obergrenze, stimmt ein Messwert nicht. Weit darunter bedeutet ein stark verzogenes oder einspringendes Viereck.

Die Obergrenze taugt auch als Kontrolle beim Nachmessen: Springt das Verhältnis stark, wurde vermutlich eine Seite falsch gelesen.