Platonische Körper berechnen: Tetraeder bis Ikosaeder

MathematikStand Oktober 2026Noch keine Bewertung

Ergebnis

Würfel mit a = 5 cm: V = 125 cm³, O = 150 cm²

Einheiten der Zahlen

Längen in cm, Flächen in cm², Volumen in cm³, Diederwinkel in Grad

Maße

Kantenlänge a

Volumen V

125

Oberfläche O

150

Fläche je Seitenfläche

Kugeln und Winkel

Umkugelradius r_u (durch alle Ecken)

4,3301

Kantenkugelradius r_k (berührt alle Kanten)

3,5355

Inkugelradius r_i (berührt alle Flächen)

2,5

Diederwinkel in Grad (zwischen zwei Nachbarflächen)

Aufbau

Ecken E

Kanten K

Flächen F

Form der Seitenflächen

6 × Quadrat

Aufbau einer Ecke

3 Flächen je Ecke, Winkelsumme 3 × 90° = 270° (unter 360°)

Dualer Körper

Oktaeder

Euler-Probe E − K + F

E − K + F = 8 − 12 + 6 = 2

Proben zu Oberfläche und Volumen

Probe: 6 Flächen × 25 cm² = 150 cm² (= O). Zweiter Weg zum Volumen: V = ⅓ · O · r_i = ⅓ · 150 cm² · 2,5 cm = 125 cm³.

Rechenweg

Schritt 1: Die Kantenlänge a = 5 cm ist vorgegeben. Schritt 2: Volumen V = a³ = 125 cm³. Oberfläche O = 6 · a² = 150 cm². Schritt 3: Umkugelradius r_u = 0,866 · a = 4,3301 cm, Kantenkugelradius r_k = 0,7071 · a = 3,5355 cm, Inkugelradius r_i = 0,5 · a = 2,5 cm. Schritt 4: Eine Seitenfläche (Quadrat) hat a² = 25 cm²; bei 6 Flächen ergibt das 150 cm². Der Diederwinkel zwischen zwei Nachbarflächen beträgt 90°.

Alle fünf Körper bei gleicher KantenlängeDetails ein-/ausklappen

Alle fünf Körper bei gleicher Kantenlänge
Körper	Ecken	Kanten	Flächen	Volumen (cm³)	Oberfläche (cm²)	Umkugelradius (cm)	Inkugelradius (cm)
Tetraeder	4	6	4	14,7314	43,3013	3,0619	1,0206
Würfel (gewählt)	8	12	6	125	150	4,3301	2,5
Oktaeder	6	12	8	58,9256	86,6025	3,5355	2,0412
Dodekaeder	20	30	12	957,8899	516,1432	7,0063	5,5676
Ikosaeder	12	30	20	272,7119	216,5064	4,7553	3,7788

Das Hauptergebnis Ergebnis wurde aus den aktuellen Eingaben berechnet. Bitte Einheiten und Nebenkennzahlen zur fachlichen Einordnung mitprüfen.

Kurzantwort

Die fünf platonischen Körper sind durch eine einzige Größe festgelegt. Der Rechner nimmt Kante, Volumen, Oberfläche oder einen Kugelradius, bestimmt daraus die Kantenlänge und liefert alle anderen Maße samt Diederwinkel, Eckenzahl und Vergleichstabelle.

Volumen, Oberfläche, Umkugel-, Kantenkugel- und Inkugelradius

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik

Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Okt. 2026)Quelle: Formeln der regelmäßigen Polyeder nach Bronstein/Semendjajew (Taschenbuch der Mathematik, 11. Aufl. 2020) und Coxeter (Regular Polytopes, 3. Aufl. 1973); Euklid, Elemente XIII; Eulerscher Polyedersatz. Die Darstellung der Zahlen (deutsche Schreibweise, höchstens n Nachkommastellen) ist eine Festlegung dieses Rechners.Stand: Oktober 2026

Überblick

Was berechnet der Rechner für platonische Körper?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Platonische Körper sind die fünf konvexen Polyeder, deren Seitenflächen alle gleiche regelmäßige Vielecke sind und bei denen in jeder Ecke gleich viele Flächen zusammenstoßen: Tetraeder, Würfel (Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Der Rechner liefert zu jedem von ihnen Kantenlänge, Volumen, Oberfläche, Umkugelradius, Kantenkugelradius, Inkugelradius und Diederwinkel, dazu die Zahl der Ecken, Kanten und Flächen.

Du brauchst nur eine einzige Größe, denn die Kantenlänge legt jeden platonischen Körper vollständig fest. Statt für jeden Körper eine eigene Seite zu öffnen, wählst du Körper und gegebene Größe und siehst alles auf einmal.

Gibst du das Volumen vor, rechnet der Rechner zurück zur Kante. Gibst du einen Kugelradius vor, erhältst du den Körper, der genau in die Kugel passt oder sie von außen umschließt.

Zur Ausgabe gehören außerdem die Fläche je Seitenfläche, die Form der Flächen, die Winkelsumme an der Ecke, der duale Körper und zwei Proben zur Kontrolle.

Die Seite hilft bei Hausaufgaben zur Raumgeometrie, beim Planen von Modellen und Gussformen und beim Vergleichen von Spielwürfeln. Die Tabelle zeigt alle fünf Körper bei derselben Kantenlänge nebeneinander.

Warum es nur fünf gibt, erklärt die Ecke: Die Winkel der Flächen, die sich dort treffen, müssen zusammen unter 360° bleiben, sonst liegt die Ecke flach.

Mit gleichseitigen Dreiecken (60°) gehen 3, 4 oder 5 pro Ecke, mit Quadraten (90°) und Fünfecken (108°) nur je 3. Winkelsumme an der Ecke der fünf platonischen Körper: Tetraeder 180°, Würfel 270°, Oktaeder 240°, Ikosaeder 300°, Dodekaeder 324°, alle unter 360°

Eingaben

Körper, gegebene Größe und Einheit: Was trägst du ein?

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Wähle zuerst den Körper. Danach legst du fest, welche Größe du kennst: die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Umkugelradius r_u (Kugel durch alle Ecken) oder den Inkugelradius r_i (Kugel, die alle Flächen von innen berührt).

Im Feld „Wert“ trägst du diese Zahl ein, größer als 0 und höchstens 1.000.000. Die Längeneinheit (mm, cm oder m) gilt für alle Längen.

Volumen und Oberfläche gibst du in derselben Einheit hoch 3 beziehungsweise hoch 2 ein, bei „cm“ also in cm³ und cm². Ein Liter sind 1.000 cm³.

Mit den Nachkommastellen (2, 3 oder 4) bestimmst du, wie viele Stellen die Anzeige höchstens zeigt; gerechnet wird immer voll genau, und nachgestellte Nullen entfallen.

Werte kleiner oder gleich 0 und über 1.000.000 lehnt der Rechner mit einem Hinweis ab, statt zu rechnen. Typischer Eingabefehler: Radius und Durchmesser verwechseln. r_u und r_i sind Radien, keine Durchmesser.

Hast du den Durchmesser der Kugel gemessen, halbiere ihn vorher.

Praxisfälle

Platonische Körper nach Aufgabentyp

Sechs typische Suchfragen zu platonischen Körpern, jede mit Eingabe und dem nachgerechneten Ergebnis aus dem Rechner oben.

Tetraeder aus der Kantenlänge
„Wie berechne ich Volumen und Oberfläche eines Tetraeders mit 10 cm Kante?“
Eingabe
Tetraeder, gegeben Kantenlänge, Wert 10, Zentimeter
Ergebnis
V = 117,8511 cm³ | O = 173,2051 cm² | r_u = 6,1237 cm | r_i = 2,0412 cm
Würfel aus dem Volumen
„Welche Kante hat ein Würfel mit 1.000 cm³?“
Eingabe
Würfel, gegeben Volumen, Wert 1000, Zentimeter
Ergebnis
a = 10 cm | O = 600 cm² | r_u = 8,6603 cm | r_i = 5 cm
Dodekaeder aus der Kantenlänge
„Wie groß sind Volumen und Oberfläche eines Dodekaeders mit 2 cm Kante?“
Eingabe
Dodekaeder, gegeben Kantenlänge, Wert 2, Zentimeter
Ergebnis
V = 61,305 cm³ | O = 82,5829 cm² | je Fünfeck 6,8819 cm²
Ikosaeder aus dem Volumen
„Welche Kante braucht ein Ikosaeder mit 100 cm³ Inhalt?“
Eingabe
Ikosaeder, gegeben Volumen, Wert 100, Zentimeter
Ergebnis
a = 3,5788 cm | O = 110,9178 cm² | r_u = 3,4036 cm
Oktaeder aus dem Umkugelradius
„Wie groß ist ein Oktaeder, das in eine Kugel mit 5 cm Radius passt?“
Eingabe
Oktaeder, gegeben Umkugelradius, Wert 5, Zentimeter
Ergebnis
a = 7,0711 cm | V = 166,6667 cm³ | O = 173,2051 cm²
Tetraeder aus dem Inkugelradius
„Wie groß ist ein Tetraeder, in das eine Kugel mit 1 m Radius passt?“
Eingabe
Tetraeder, gegeben Inkugelradius, Wert 1, Meter
Ergebnis
a = 4,899 m | V = 13,8564 m³ | O = 41,5692 m²

Berechnung

Formeln der fünf platonischen Körper: von a zu V, O und Radien

Verstehe den Formelweg.

Alles folgt aus der Kantenlänge a. Das Volumen ist ein fester Faktor mal a³, die Oberfläche ein fester Faktor mal a².

Beim Würfel gilt V = a³ und O = 6a², beim Tetraeder V = a³·√2/12 ≈ 0,1179·a³ und O = a²·√3 ≈ 1,7321·a², beim Oktaeder V = a³·√2/3 ≈ 0,4714·a³ und O = 2a²·√3 ≈ 3,4641·a².

Das Dodekaeder hat V = a³·(15 + 7√5)/4 ≈ 7,6631·a³ und O = 3a²·√(25 + 10√5) ≈ 20,6457·a², das Ikosaeder V = 5a³·(3 + √5)/12 ≈ 2,1817·a³ und O = 5a²·√3 ≈ 8,6603·a².

Ist V, O oder ein Kugelradius gegeben, kehrt der Rechner die Formel um: a = ∛(V ÷ Faktor), a = √(O ÷ Faktor), a = r_u ÷ Faktor oder a = r_i ÷ Faktor. Der Würfel mit V = 1.000 cm³ hat so a = ∛1.000 = 10 cm.

Umkugelradius, Kantenkugelradius und Inkugelradius sind ebenfalls feste Vielfache von a, beim Würfel 0,866·a, 0,7071·a und 0,5·a.

Der Diederwinkel δ hängt nicht von der Größe ab: cos δ = 1/3 beim Tetraeder, 0 beim Würfel, −1/3 beim Oktaeder, −1/√5 beim Dodekaeder und −√5/3 beim Ikosaeder.

Zur Kontrolle rechnet der Rechner zwei unabhängige Proben: Die Summe aller Seitenflächen ergibt O, und das Volumen entsteht auch als V = ⅓·O·r_i, weil der Körper aus Pyramiden über allen Flächen besteht. Dazu kommt die Euler-Probe E − K + F = 2.

Platonische Körper: Volumen gleich Volumenfaktor mal Kante hoch drei, Oberfläche gleich Oberflächenfaktor mal Kante zum Quadrat, Volumen gleich ein Drittel mal Oberfläche mal Inkugelradius. — Formeln des Rechners für platonische Körper: V = p·a³ und O = q·a² mit festen Faktoren je Körper, dazu die Probe V = ⅓·O·r aus der Zerlegung in Pyramiden über allen Flächen.

Nachschlagen

Platonische Körper: Ecken, Kanten, Flächen und Winkel im Überblick

Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat welcher Körper, und welcher Diederwinkel gehört dazu? Das Ikosaeder hat 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Dreiecke, das Dodekaeder 20 Ecken, 30 Kanten und 12 Fünfecke. In jeder Zeile gilt E − K + F = 2, und die Winkelsumme an der Ecke bleibt unter 360°.

Ecken, Kanten, Flächen, Seitenflächenform, Winkelsumme an der Ecke, Diederwinkel und dualer Körper der fünf platonischen Körper
Körper	Ecken	Kanten	Flächen	Seitenfläche	Flächen je Ecke	Winkelsumme an der Ecke	Diederwinkel	Dualer Körper
Tetraeder	4	6	4	gleichseitiges Dreieck	3	180°	70,5288°	Tetraeder
Würfel	8	12	6	Quadrat	3	270°	90°	Oktaeder
Oktaeder	6	12	8	gleichseitiges Dreieck	4	240°	109,4712°	Würfel
Dodekaeder	20	30	12	regelmäßiges Fünfeck	3	324°	116,5651°	Ikosaeder
Ikosaeder	12	30	20	gleichseitiges Dreieck	5	300°	138,1897°	Dodekaeder

Berechnet mit der Rechenlogik des Rechners. Die Zahlen hängen nur von der Form ab, nicht von der Größe. Der Diederwinkel ist der Winkel zwischen zwei Nachbarflächen, die Winkelsumme an der Ecke die Summe der Flächenwinkel dort.

Volumen, Oberfläche und Kugelradien bei Kantenlänge 1

Bei einer Kante von 1 cm hat das Tetraeder 0,1179 cm³ Volumen, der Würfel 1 cm³ und das Dodekaeder 7,6631 cm³. Die Tabelle zeigt die festen Faktoren: Das Volumen ist der Faktor mal a³, die Oberfläche der Faktor mal a², jeder Radius der Faktor mal a.

Volumen, Oberfläche, Umkugel-, Kantenkugel- und Inkugelradius der fünf platonischen Körper bei Kantenlänge 1
Körper	Volumen (a³)	Oberfläche (a²)	Umkugelradius (a)	Kantenkugelradius (a)	Inkugelradius (a)
Tetraeder	0,1179	1,7321	0,6124	0,3536	0,2041
Würfel	1	6	0,866	0,7071	0,5
Oktaeder	0,4714	3,4641	0,7071	0,5	0,4082
Dodekaeder	7,6631	20,6457	1,4013	1,309	1,1135
Ikosaeder	2,1817	8,6603	0,9511	0,809	0,7558

Berechnet mit der Rechenlogik des Rechners, auf vier Nachkommastellen gerundet. Für eine andere Kantenlänge a multiplizierst du das Volumen mit a³, die Oberfläche mit a² und die Radien mit a.

Kantenlänge und Oberfläche bei gleichem Volumen von 1.000 cm³

Welcher Körper braucht für einen Liter die wenigste Außenfläche? Das Ikosaeder mit 514,8349 cm² vor dem Dodekaeder mit 531,1614 cm²; der Würfel kommt auf 600 cm², das Tetraeder auf 720,5622 cm². Je mehr Flächen, desto kleiner die Oberfläche.

Kantenlänge, Oberfläche und Umkugelradius der fünf platonischen Körper bei jeweils 1.000 cm³ Volumen
Körper	Flächen	Kantenlänge (cm)	Oberfläche (cm²)	Umkugelradius (cm)
Tetraeder	4	20,3965	720,5622	12,4902
Würfel	6	10	600	8,6603
Oktaeder	8	12,849	571,9106	9,0856
Dodekaeder	12	5,0722	531,1614	7,1075
Ikosaeder	20	7,7103	514,8349	7,3329

Berechnet mit der Rechenlogik des Rechners (gegebene Größe Volumen, 1.000 cm³). Die Reihenfolge der Oberflächen ist bei jedem Volumen gleich, weil die Oberfläche mit dem Volumen hoch zwei Drittel wächst.

Expertenmodus

Häufige Fragen zu platonischen Körpern

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Warum gibt es genau fünf platonische Körper?

Weil die Flächenwinkel an einer Ecke zusammen unter 360° bleiben müssen, sonst liegt die Ecke flach.

Gleichseitige Dreiecke haben 60°, also passen 3, 4 oder 5 an eine Ecke: 3 × 60° = 180° ergibt das Tetraeder, 4 × 60° = 240° das Oktaeder und 5 × 60° = 300° das Ikosaeder. Sechs Dreiecke erreichen schon 360°.

Quadrate haben 90°, nur drei passen (270°) und bilden den Würfel. Regelmäßige Fünfecke haben 108°, auch hier passen nur drei (324°), das ergibt das Dodekaeder. Ab dem Sechseck erreichen bereits drei Flächen 360°.

Mehr Möglichkeiten gibt es nicht; diesen Beweis führt schon Euklid im Buch XIII seiner Elemente. Im Rechner steht die Winkelsumme unter „Aufbau einer Ecke“.

Ein häufiger Irrtum: Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist kein platonischer Körper, weil ihre Flächen nicht alle gleich sind.

Zur Kontrolle prüfst du im Rechner bei jedem der fünf Körper: Die Winkelsumme liegt unter 360°, und die Euler-Probe liefert 2.

Wie berechne ich das Volumen eines Dodekaeders?

Mit V = a³·(15 + 7√5)/4, das sind rund 7,6631·a³. Bei a = 1 cm ergibt das 7,6631 cm³, bei a = 2 cm 61,305 cm³ und bei a = 5 cm 957,8899 cm³. Die Oberfläche folgt aus O = 3a²·√(25 + 10√5), rund 20,6457·a², bei a = 2 cm also 82,5829 cm².

Weil das Volumen mit der dritten Potenz wächst, bringt eine doppelte Kante den Faktor 8. In den Wurzeln steckt der goldene Schnitt, deshalb ist der Faktor nie ein glatter Bruch.

Wähle im Rechner das Dodekaeder, die Kantenlänge, trage den Wert ein und stelle die Einheit ein. Kennst du nur das Volumen, wähle „Volumen V“ als gegebene Größe, dann bestimmt der Rechner zuerst die Kante.

Häufiger Fehler: die Formel des Würfels (a³) zu übernehmen, damit wäre das Ergebnis rund 7,7-mal zu klein. Die Werte stehen auch in der Vergleichstabelle, dort für alle fünf Körper bei gleicher Kante.

Wie komme ich vom Volumen auf die Kantenlänge?

Durch Umkehren der Formel: a ist die dritte Wurzel aus V geteilt durch den Volumenfaktor des Körpers. Beim Würfel mit V = 1.000 cm³ ist das a = ∛1.000 = 10 cm.

Für dasselbe Volumen von 1.000 cm³ brauchst du beim Tetraeder 20,3965 cm Kante, beim Oktaeder 12,849 cm, beim Dodekaeder 5,0722 cm und beim Ikosaeder 7,7103 cm. Je mehr Flächen der Körper hat, desto kürzer sind bei gleichem Inhalt die Kanten.

Im Rechner wählst du „Volumen V“ als gegebene Größe, tippst den Wert in cm³ ein und liest die Kantenlänge in der ersten Zeile ab. Achte auf die Einheit: Das Volumen gehört in die Längeneinheit hoch 3, also 1.000 cm³ und nicht 1.000 cm.

Kennst du die Oberfläche statt des Volumens, kehrst du mit der Quadratwurzel um; beim Würfel mit 600 cm² kommt ebenfalls 10 cm heraus. Wer Liter eingibt, muss vorher in cm³ umrechnen, denn ein Liter sind 1.000 cm³.

Welcher platonische Körper hat bei gleichem Volumen die kleinste Oberfläche?

Das Ikosaeder. Bei V = 1.000 cm³ hat es 514,8349 cm² Oberfläche, das Dodekaeder 531,1614 cm², das Oktaeder 571,9106 cm², der Würfel 600 cm² und das Tetraeder 720,5622 cm².

Je mehr Flächen ein platonischer Körper hat, desto näher liegt er an der Kugel, und die Kugel hat bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche überhaupt.

Das hilft bei Verpackung, Lack, Folie oder Wärmeverlust, weil die Außenfläche den Aufwand bestimmt. Die Reihenfolge stimmt bei jedem Volumen, denn alle Maße wachsen mit derselben Potenz.

Ein häufiger Irrtum ist, den Würfel für die sparsamste Form zu halten; die Oberfläche wächst mit dem Volumen hoch zwei Drittel, die Reihenfolge der fünf Körper bleibt aber bei jedem Volumen dieselbe; schon das Oktaeder braucht bei 1.000 cm³ rund 28 cm² weniger.

Im Rechner gibst du das Volumen vor, wechselst nur den Körper und liest die Oberfläche in der Tabelle oder im Ergebnis ab.

Wie groß ist der Diederwinkel der platonischen Körper?

Der Diederwinkel ist der Winkel zwischen zwei Nachbarflächen an einer Kante. Er beträgt beim Tetraeder 70,5288°, beim Würfel 90°, beim Oktaeder 109,4712°, beim Dodekaeder 116,5651° und beim Ikosaeder 138,1897°.

Er hängt nicht von der Größe ab, sondern nur von der Form. Je mehr Flächen der Körper hat, desto flacher wird der Knick an der Kante.

Mit der Hälfte von 180° minus Diederwinkel erhältst du den Gehrungswinkel, mit dem du Kanten beim Modellbau schneiden musst; beim Würfel sind das 45°.

Verwechsle den Diederwinkel nicht mit dem Winkel der Seitenfläche: Das Fünfeck des Dodekaeders hat 108° Innenwinkel, der Diederwinkel aber 116,5651°.

Der Rechner zeigt ihn als eigene Zeile und mit der von dir gewählten Zahl an Nachkommastellen an, gerundet wird erst bei der Anzeige.

Zur Kontrolle: Beim Würfel treffen sich drei Quadrate mit 90° an einer Ecke, der Diederwinkel von 90° heißt, dass sich benachbarte Flächen im rechten Winkel schneiden. Ändert sich die Kantenlänge, bleibt jeder Diederwinkel unverändert.

Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat ein Ikosaeder?

Ein Ikosaeder hat 12 Ecken, 30 Kanten und 20 Flächen, alle Flächen sind gleichseitige Dreiecke. In jeder Ecke treffen sich 5 Dreiecke, die Winkelsumme beträgt 5 × 60° = 300°.

Mit dem Eulerschen Polyedersatz prüfst du die Zählung: E − K + F = 12 − 30 + 20 = 2. Dieselbe Probe gilt für jeden platonischen Körper, etwa beim Würfel 8 − 12 + 6 = 2.

Die Kantenzahl lässt sich auch aus den Flächen herleiten: 20 Dreiecke haben zusammen 60 Seiten, und weil jede Kante zu zwei Flächen gehört, bleiben 30 Kanten. Beim Ikosaeder mit a = 5 cm ergibt das V = 272,7119 cm³ und O = 216,5064 cm².

Die Zahlen für alle fünf Körper findest du in der Vergleichstabelle; ein Rechenfehler beim Zählen fällt dort sofort an der Euler-Probe auf.

Prüfe damit auch eigene Modelle: Stimmt die Summe nicht, fehlt eine Fläche, oder eine Ecke wurde doppelt gezählt.

Wann brauche ich Umkugel- und wann Inkugelradius?

Den Umkugelradius r_u nimmst du, wenn der Körper in eine Kugel passen soll, etwa ein Modell in eine Kugelschale: Sie berührt alle Ecken. Den Inkugelradius r_i nimmst du, wenn eine Kugel in den Körper passen soll: Sie berührt alle Flächen von innen.

Beim Würfel mit a = 5 cm ist r_u = 4,3301 cm und r_i = 2,5 cm.

Hast du den Radius vorgegeben, erhältst du die Größe des Körpers: Ein Würfel um eine Kugel mit r_i = 10 cm hat a = 20 cm und V = 8.000 cm³, ein Würfel in einer Kugel mit r_u = 10 cm nur a = 11,547 cm und V = 1.539,6007 cm³.

Der dritte Radius, r_k, gehört zur Kugel, die alle Kanten berührt, beim Würfel mit a = 5 cm sind das 3,5355 cm. Achtung: Alle drei sind Radien. Wer den gemessenen Durchmesser einträgt, rechnet mit der doppelten Kugel.

Welcher Körper gehört als Dual zum Würfel?

Das Oktaeder. Verbindest du die Mittelpunkte der sechs Würfelflächen, entsteht ein Oktaeder mit 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen; Ecken und Flächen sind also vertauscht, die Kantenzahl bleibt gleich.

Genauso bilden Dodekaeder und Ikosaeder ein Paar (20 Ecken und 12 Flächen gegen 12 Ecken und 20 Flächen, beide mit 30 Kanten). Das Tetraeder ist zu sich selbst dual. Der Rechner nennt den dualen Körper unter „Aufbau“.

Ein Rechenbeispiel: Beim Würfel mit a = 10 cm ist der Inkugelradius 5 cm. Das Oktaeder in seiner Mitte hat genau diesen Umkugelradius und damit a = 7,0711 cm. Gib dafür beim Oktaeder „Umkugelradius“ und 5 cm ein.

Verwechsle Dual nicht mit Archimedischen Körpern wie dem Fußball: Sie gehören nicht zu den platonischen und fehlen hier.

Praktisch heißt das: Beim Dodekaeder liegen die zwölf Ecken des Ikosaeders in den Flächenmitten, und umgekehrt sitzen die zwanzig Ecken des Dodekaeders in den Flächenmitten des Ikosaeders.

Hinweise

Ergebnis lesen: Kugelradien, Diederwinkel und Vergleich

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Lies zuerst die Kantenlänge und die zwei Hauptmaße. Beim Würfel mit a = 5 cm stehen dort V = 125 cm³ und O = 150 cm².

Danach hilft der Vergleich der Kugelradien: Die Umkugel hat 4,3301 cm Radius, die Inkugel 2,5 cm.

Eine Kugel mit 5 cm Durchmesser passt also gerade in den Würfel, und der Würfel selbst passt in eine Kugel mit 8,6603 cm Durchmesser. Fünf platonische Körper bei 5 cm Kantenlänge im Vergleich: Volumen von 14,7314 cm³ beim Tetraeder bis 957,8899 cm³ beim Dodekaeder, Oberfläche von 43,3013 bis 516,1432 cm² Die Vergleichstabelle zeigt, wie weit die Körper bei gleicher Kante auseinanderliegen.

Bei a = 5 cm hat das Dodekaeder 957,8899 cm³, das Tetraeder nur 14,7314 cm³. Das heißt nicht, dass das Dodekaeder „besser“ ist, sondern dass es aus zwölf großen Fünfecken besteht.

Willst du Material oder Inhalt fair vergleichen, gib stattdessen dasselbe Volumen ein und sieh dir die Oberfläche an. Der Diederwinkel verrät die Form: 70,5288° beim Tetraeder wirkt spitz, 138,1897° beim Ikosaeder schon fast rund.

Brauchst du ein Gewicht, multiplizierst du das Volumen mit der Dichte deines Materials. Lies auch den Hinweis unter dem Ergebnis.

Er sagt dir, wenn der Rechner aus Volumen, Oberfläche oder Radius zuerst die Kante bestimmt hat, und meldet sehr kleine Werte in Zehnerpotenz-Schreibweise.

Die zwei Proben zeigen dieselben Zahlen wie die Hauptergebnisse, so erkennst du, dass die Rechnung in sich stimmt. Die Zeile „Einheiten der Zahlen“ nennt, ob Längen, Flächen und Volumen in mm, cm oder m stehen.

Anwendung

Praxisbeispiel: Kerzenform mit 100 cm³ Wachs wählen

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Eine Kerzengießerin hat pro Stück Wachs für 100 cm³ und will entscheiden, welche Form sich lohnt. Sie wählt im Rechner das Ikosaeder, stellt „Volumen V“ ein, trägt 100 ein und nimmt Zentimeter.

Ergebnis: Die Form braucht 3,5788 cm Kantenlänge, die Oberfläche beträgt 110,9178 cm², der Umkugelradius 3,4036 cm. Fünf platonische Körper mit je 100 cm³ Volumen: Kantenlänge von 2,3543 cm beim Dodekaeder bis 9,4672 cm beim Tetraeder, kleinste Oberfläche 110,9178 cm² beim Ikosaeder Dann wechselt sie den Körper und lässt das Volumen stehen.

Der Würfel braucht 4,6416 cm Kante und hat 129,2661 cm² Oberfläche, das Oktaeder 5,964 cm und 123,2144 cm², das Dodekaeder 2,3543 cm und 114,4353 cm², das Tetraeder 9,4672 cm und 155,2404 cm².

Bei gleichem Volumen hat das Ikosaeder die kleinste Oberfläche, rund 14 Prozent weniger als der Würfel. Für sie heißt das: weniger Fläche zum Polieren, Bemalen oder Verpacken. Das Tetraeder ist die sperrigste Wahl.

Sie entscheidet sich für das Ikosaeder und baut die Form mit 3,5788 cm Kantenlänge.

Zur Kontrolle liest sie die Proben unter dem Ergebnis: 20 Flächen mit je 5,5459 cm² ergeben wieder 110,9178 cm², und V = ⅓ · O · r_i liefert mit dem Inkugelradius 2,7047 cm die 100 cm³ zurück.

Damit weiß sie, dass sich weder bei der Kante noch beim Volumen ein Tippfehler eingeschlichen hat. Offen bleibt, was der Rechner nicht kennt: Wandstärke der Silikonform und Schrumpf des Wachses muss sie selbst zugeben.

Fallstricke

Fünf typische Fehler bei platonischen Körpern

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Fehler 1: Das Volumen als Kantenlänge eintippen. Wer 1000 einträgt und „Kantenlänge a“ stehen lässt, rechnet einen Würfel mit 1000 cm Kante und 1.000.000.000 cm³.

Gemeint war meist ein Würfel mit V = 1.000 cm³, also einem Liter, und der hat a = 10 cm. Stelle zuerst die gegebene Größe um. Fehler 2: Umkugelradius und Inkugelradius verwechseln. Beim Würfel mit a = 5 cm ist r_u = 4,3301 cm und r_i = 2,5 cm.

Wer eine Kugel sucht, die in den Körper hineinpasst, braucht den Inkugelradius. Die Kugel, in die der Körper hineinpasst, hat den Umkugelradius. Fehler 3: Doppelte Kante für doppeltes Volumen halten.

Verdoppelst du a von 5 auf 10 cm, wächst das Volumen des Würfels von 125 auf 1.000 cm³ (Faktor 8) und die Oberfläche von 150 auf 600 cm² (Faktor 4). Fehler 4: Den Diederwinkel mit dem Winkel der Seitenfläche gleichsetzen.

Die Seitenfläche des Dodekaeders hat 108° Innenwinkel, der Diederwinkel zwischen zwei Nachbarflächen aber 116,5651°. Fehler 5: Die Oberfläche als Flächenzahl mal a² rechnen. Das stimmt nur beim Würfel (6 × 25 cm² = 150 cm²).

Beim Tetraeder mit a = 5 cm ergeben vier Dreiecke 43,3013 cm², nicht 100 cm², weil ein Dreieck nur den Anteil 0,433 von a² deckt.

Nächster Schritt

Platonische Körper berechnen: Fazit, Quellen und Grenzen

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Rechner macht aus einer einzigen Größe alle Maße eines platonischen Körpers: Kantenlänge, Volumen, Oberfläche, die drei Kugelradien und den Diederwinkel, dazu Ecken, Kanten und Flächen mit Proben und Vergleichstabelle.

Entscheidend sind die richtig gewählte gegebene Größe und die Einheit hoch 2 oder hoch 3 bei Oberfläche und Volumen. Bei gleichem Volumen hat der Körper mit den meisten Flächen die kleinste Oberfläche.

Quellen: Grundlage sind die Tabellen der regelmäßigen Polyeder im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein und Semendjajew (11.

Auflage 2020) und Coxeters Regular Polytopes; die Fünfzahl begründet Euklid in den Elementen, Buch XIII, die Euler-Probe ist der Polyedersatz. Grenzen: Der Rechner kennt nur ideale, konvexe Körper.

Archimedische Körper, Sternkörper, Fasen und Dichten fehlen, zulässig sind Werte bis 1.000.000. Stand der Prüfung: 09.10.2026.

Vertiefung

Rechenbeispiele: vom Tetraeder bis zum Ikosaeder

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · V = 117,8511 cm³, O = 173,2051 cm², Inkugelradius 2,0412 cm