Geometrische Folge Rechner: Glied aₙ, Quotient q, Summe sₙ

Du nutzt die explizite Formel aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹. Vom Startglied a₁ multiplizierst du n − 1 Mal mit dem Quotienten q, denn zwischen erstem und n-tem Glied liegen genau so viele Schritte. Für a₁ = 2, q = 3 und n = 6 rechnest du 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486.

Im Rechner wählst du „Startglied a₁ und Quotient q“, trägst die drei Werte ein und liest aₙ direkt ab; zusätzlich steht dort die rekursive Form a₁ = 2, aₙ₊₁ = aₙ · 3.

Häufig schleicht sich der Fehler ein, n statt n − 1 zu verwenden: Dann kommt 2 · 3⁶ = 1.458 heraus, und das ist in Wahrheit schon a₇. Prüfe dein Ergebnis mit der Gliedertabelle, denn die Zeile n = 6 muss denselben Wert zeigen.

Auch bei sehr großem n funktioniert die Formel sofort: Für a₁ = 1 und q = 2 hat das Glied Nr. 5.000 über 1.500 Stellen, der Rechner zeigt es in Zehnerpotenz-Schreibweise.

Die Summe der ersten n Glieder ist sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1), solange q ungleich 1 ist. Für a₁ = 2, q = 3 und n = 6 ergibt sich 2 · (729 − 1) ÷ 2 = 728.

Gleichwertig ist die Schreibweise a₁ · (1 − qⁿ) ÷ (1 − q); sie wird bei |q| < 1 gern bevorzugt, weil Zähler und Nenner dann positiv bleiben.

Bei q = 1 versagt der Bruch, weil durch null geteilt würde; dort gilt sₙ = n · a₁, bei a₁ = 4 und n = 8 also 32. Der Rechner prüft die Formel bis n = 1.000 zusätzlich durch einzelnes Aufsummieren aller Glieder und meldet einen Widerspruch als Fehler.

Bei q > 1 dominiert das letzte Glied: Im Standardfall macht a₆ = 486 etwa 66,8 Prozent der Summe 728 aus, die Rechenschritte stehen im Feld „Rechenweg“.

Nur wenn der Betrag des Quotienten kleiner als 1 ist. Dann gilt s∞ = a₁ ÷ (1 − q). Für a₁ = 1 und q = 0,5 sind das 1 ÷ 0,5 = 2: Die Partialsummen 1; 1,5; 1,75; 1,875 nähern sich der 2, nach zehn Gliedern steht s₁₀ bei 1,998046875.

Bei |q| ≥ 1 divergiert die Reihe, weil die Glieder nicht gegen 0 gehen. Mit q = 2 wachsen die Summen 1; 3; 7; 15 über jede Grenze, mit q = −1 pendeln sie zwischen a₁ und 0.

Auch negatives q kann konvergieren: Mit a₁ = 8 und q = −0,5 ist s∞ = 8 ÷ 1,5 = 16/3, ungefähr 5,333.

Der Rechner nennt den Reihenwert in einem eigenen Ergebnisfeld und schreibt bei Divergenz ausdrücklich „divergent“, statt eine Formel mit sinnlosem Ergebnis auszuwerten.

Beachte den Unterschied zum Grenzwert der Folge: Er ist bei |q| < 1 immer 0, der Wert der Reihe dagegen nicht.

Teile das spätere Glied durch das frühere und ziehe die Wurzel aus dem Abstand der Nummern: qᵐ⁻ᵏ = aₘ ÷ aₖ. Bei a₃ = 12 und a₆ = 96 ist q³ = 8, also q = 2; danach folgt a₁ = aₖ ÷ qᵏ⁻¹ = 12 ÷ 4 = 3.

Ist der Abstand m − k gerade, gibt es zwei Lösungen: Aus a₂ = 6 und a₄ = 24 folgt q² = 4, also q = 2 mit a₁ = 3 oder q = −2 mit a₁ = −3. Der Rechner nennt im Modus „Zwei beliebige Glieder“ beide und rechnet mit der positiven Lösung weiter.

Aus a₁ = 1 und a₃ = 2 entsteht q = √2 ≈ 1,4142135623731; hier ist die Lösung irrational, und der Rechner rundet auf 15 gültige Stellen.

Keine reelle Lösung gibt es, wenn eine gerade Potenz negativ sein müsste, etwa bei a₁ = 3 und a₃ = −12, und ein Glied mit dem Wert 0 gibt es in keiner geometrischen Folge.

Bilde die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder. Sind alle gleich, ist die Folge geometrisch. Bei 3; 6; 12; 24 ergeben sich 2; 2; 2, also q = 2 und das zehnte Glied a₁₀ = 1.536.

Bei 1; 4; 9; 16 lauten die Quotienten 4; 2,25; 16/9, sie sind nicht konstant, die Folge ist nicht geometrisch.

Entscheidend ist, was zwischen den Gliedern gleich bleibt: ein Faktor bei der geometrischen, eine Differenz bei der arithmetischen Folge, die der Arithmetische-Folge-Rechner ausführlich behandelt.

Im Modus „Zahlenreihe“ trennst du die Zahlen mit Semikolon oder Leerzeichen; 2,5 ohne Leerzeichen gilt als Dezimalzahl. Enthält die Reihe eine 0, kann sie nicht geometrisch sein.

Wichtig: Eine endliche Reihe beweist nie, dass die Folge danach so weiterläuft. Der Rechner prüft genau die eingegebenen Zahlen, verlangt mindestens drei und nennt bei einem Treffer die nächsten drei Glieder, bei 3; 6; 12; 24 also 48; 96; 192.

Bei negativem q wechseln die Vorzeichen der Glieder von Schritt zu Schritt: Die Folge ist alternierend. Mit a₁ = 3 und q = −2 entsteht 3; −6; 12; −24; 48, das fünfte Glied ist a₅ = 48 und die Summe s₅ = 33.

Der Betrag entscheidet über das weitere Verhalten. Ist |q| > 1, wachsen die Beträge über jede Grenze, und die Folge hat keinen Grenzwert. Ist |q| < 1, schrumpfen sie: Mit a₁ = 8 und q = −0,5 steht a₆ bei −0,25, und die Folge konvergiert gegen 0.

Der Sonderfall q = −1 lässt die Glieder zwischen a₁ und −a₁ springen, sodass die Partialsummen abwechselnd a₁ und 0 sind, bei a₁ = 4 und n = 8 also 0.

Im Rechner steht das Verhalten im Feld „Monotonie und Verhalten“; eine alternierende Folge heißt dort ausdrücklich nicht monoton.

Achte beim Eintippen auf das Minuszeichen vor q, denn ein vergessenes Vorzeichen macht aus der Wechselfolge eine steigende.

Löse aₙ = x nach dem Exponenten auf: qᵉ = x ÷ a₁ mit e = n − 1. Per Logarithmus ist e = log(x ÷ a₁) ÷ log(q). Nur wenn e eine ganze Zahl ab 0 ergibt, ist x ein Glied, und es ist das Glied Nr. n = e + 1.

Für 5, 10, 20 und so weiter (a₁ = 5, q = 2) ist x = 640 das 8. Glied, denn 640 ÷ 5 = 128 = 2⁷; die Summe bis dahin beträgt s₈ = 1.275. Bei x = 650 kommt kein ganzzahliger Exponent heraus.

Im Modus „Welches Glied erreicht den Wert x?“ prüft der Rechner das exakt, nicht mit gerundeten Logarithmen, und nennt sonst die beiden Nachbarglieder, etwa a₆ = 486 und a₇ = 1.458 für x = 500 in der Folge 2, 6, 18.

Bei negativem q muss auch das Vorzeichen passen: In 3; −6; 12; … steht −96 an Stelle 6, +96 nie.

Ein Zuwachs um einen festen Prozentsatz ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten q = 1 + p ÷ 100. Bei 5 Prozent ist q = 1,05, nicht 0,05; bei einer Abnahme um 20 Prozent ist q = 0,8.

Startet ein Betrag bei a₁ = 1.000 und wächst jährlich um 5 Prozent, ist das elfte Glied a₁₁ = 1.000 · 1,05¹⁰ = 1.628,89 nach zehn Jahren, denn a₁ gilt als Stand zu Beginn.

Bei einer Abnahme um 20 Prozent von a₁ = 100 liegt a₂₀ nur noch bei 1,44, und die Reihe hat den Wert s∞ = 100 ÷ (1 − 0,8) = 500. Der Rechner kennt nur den Quotienten und nicht den Prozentsatz; rechne ihn vorher um.

Wer Verdopplungszeit, Halbwertszeit oder den Endwert nach t Perioden braucht, findet das im Rechner für exponentielles Wachstum; die Gliedertabelle hier zeigt dagegen den Verlauf Schritt für Schritt.