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Ausklammern Rechner: gemeinsamen Faktor finden, mit Probe

MathematikStand Noch keine Bewertung
Was soll ausgeklammert werden?
Vorzeichen des Faktors
Restterm auf binomische Formel prüfen
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Kurzantwort

Ausklammern heißt, einen Faktor herauszuziehen, der in jedem Summanden steckt: a·b + a·c = a·(b + c). Der Rechner sucht ihn aus dem ggT der Zahlen und dem kleinsten Exponenten jeder Variablen und prüft das Ergebnis durch Ausmultiplizieren.

Gemeinsame Faktoren aus einer Summe ausklammern: ggT der Zahlen

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik
Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Okt. 2026)Stand:

Überblick

Was berechnet der Ausklammern-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Ausklammern heißt, einen Faktor aus einer Summe herauszuziehen, der in jedem Summanden steckt: Aus 6x²y + 9xy² − 3xy wird 3xy · (2x + 3y − 1). Der Rechner sucht diesen gemeinsamen Faktor selbst.

Er bildet den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der Zahlen vor den Variablen, nimmt von jeder Variablen den kleinsten Exponenten und schreibt den Restterm in eine Klammer.

Die Grundlage ist das Distributivgesetz a·b + a·c = a·(b + c), von rechts nach links gelesen.

Das hilft beim Vereinfachen von Termen, beim Kürzen von Brüchen und vor allem beim Lösen von Gleichungen, denn ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist.

Zu jedem Ergebnis gehört die Probe: Der Rechner multipliziert Faktor und Klammer wieder aus und vergleicht mit deinem Term. Er prüft außerdem, ob der Restterm eine binomische Formel ist, und zerlegt dann weiter.

Ausgeklammert werden nur Monome; ein Computeralgebrasystem für beliebige Terme ist er nicht. Wer sucht danach?

Meist Schülerinnen und Schüler der Klassen 8 bis 10, die Hausaufgaben kontrollieren, und Studierende, die vor einer Nullstellenberechnung einen Term vereinfachen.

Typische Aufgaben lauten „Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus“ oder „Zerlege den Term in ein Produkt“. Beides erledigt der Rechner mit Zwischenschritten, sodass du jede Zeile in deinem Heft nachvollziehen kannst.

Anders als bei einem reinen Ergebnisrechner siehst du, welche Zahl der ggT ist, welche Variable mit welchem Exponenten im Faktor landet und warum der Rest genau so aussieht.

Eingaben

Term, Faktor und Vorzeichen: Was trägst du ein?

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Im Feld „Term (Summe)“ gibst du die Summe ein, zum Beispiel 6x^2y + 9xy^2 - 3xy. Variablen sind einzelne Buchstaben, höchstens vier verschiedene.

Potenzen schreibst du mit ^ oder als x², das Malzeichen darf fehlen. Dezimalzahlen mit Komma und Brüche wie x/2 sind erlaubt, Klammern und Gleichheitszeichen nicht: Löse Klammern vorher auf.

Erlaubt sind Exponenten bis 6 und bis zu 12 Summanden; gleichartige Summanden wie 4x + 2x fasst der Rechner vorher selbst zusammen.

Bei „Was soll ausgeklammert werden?“ wählst du den größten gemeinsamen Faktor, nur den Zahlenfaktor, nur die Variablen oder einen eigenen Faktor. Den gibst du im Feld „Faktor, der ausgeklammert werden soll“ als einzelnes Monom wie 2x oder -3 ein.

Steckt er nicht in jedem Summanden, meldet der Rechner genau, wo er fehlt. „Vorzeichen des Faktors“ steuert das Minuszeichen: Automatisch wird es ausgeklammert, wenn der erste Summand negativ ist.

Mit „Restterm auf binomische Formel prüfen“ zerlegt der Rechner den Rest weiter, sobald er ein Quadrat oder eine Differenz zweier Quadrate ist.

Praxisfälle

Ausklammern nach Aufgabentyp

Sechs typische Suchfragen zum Ausklammern, jede mit Eingabe und dem nachgerechneten Ergebnis aus dem Rechner oben.

  1. Zahl und Variablen zugleich ausklammern

    „Wie klammere ich 6x²y + 9xy² − 3xy aus?“

    Eingabe
    Term 6x^2y + 9xy^2 - 3xy, größter gemeinsamer Faktor
    Ergebnis
    3xy · (2x + 3y − 1) | Probe stimmt

  2. Negatives Vorzeichen ausklammern

    „Wie klammere ich bei −2x² + 6x das Minus aus?“

    Eingabe
    Term -2x^2 + 6x, Vorzeichen automatisch
    Ergebnis
    −2x · (x − 3) | alle Vorzeichen in der Klammer gedreht

  3. Ausklammern und binomische Formel

    „Wie zerlege ich 2x² + 12x + 18?“

    Eingabe
    Term 2x^2 + 12x + 18, binomische Formel prüfen
    Ergebnis
    2 · (x + 3)² | Restterm x² + 6x + 9

  4. Dezimalzahlen ausklammern

    „Wie klammere ich 0,5x + 1,5 aus?“

    Eingabe
    Term 0,5x + 1,5
    Ergebnis
    0,5 · (x + 3)

  5. Nur den Zahlenfaktor herausziehen

    „Wie klammere ich bei 6x² + 9x nur die Zahl aus?“

    Eingabe
    Term 6x^2 + 9x, nur der gemeinsame Zahlenfaktor
    Ergebnis
    3 · (2x² + 3x) | x bleibt in der Klammer

  6. Wenn nichts auszuklammern ist

    „Kann man bei 3x + 5 ausklammern?“

    Eingabe
    Term 3x + 5
    Ergebnis
    Nichts auszuklammern: ggT 1, x fehlt im zweiten Summanden

Berechnung

Ausklammern: ggT, kleinste Exponenten und Restterm

Verstehe den Formelweg.

Zitiergrafik: Ausklammern von 6x²y + 9xy² − 3xy mit ggT 3 und kleinsten Exponenten 1 für x und y zu 3xy · (2x + 3y − 1) Der Rechner geht in drei Schritten vor. Erstens bildet er den ggT der Beträge aller Koeffizienten nach Euklid: Man teilt die größere Zahl durch die kleinere und setzt mit dem Rest fort, bis die Division aufgeht.

Für 6, 9 und 3 ist ggT(6; 9) = 3 und ggT(3; 3) = 3, bei 48 und 60 ergibt 60 = 1 · 48 + 12 und 48 = 4 · 12 den ggT 12.

Zweitens sucht er für jede Variable den kleinsten Exponenten über alle Summanden: x steht mit 2, 1 und 1 im Term, also wird x¹ ausgeklammert, y steht mit 1, 2 und 1 da, also ebenfalls y¹.

Fehlt eine Variable in einem Summanden, zählt dort der Exponent 0, und sie bleibt in der Klammer. Drittens teilt er jeden Summanden durch den Faktor 3xy: 6x²y ÷ 3xy = 2x, 9xy² ÷ 3xy = 3y und −3xy ÷ 3xy = −1.

Bei Dezimalzahlen und Brüchen gilt: ggT der Zähler geteilt durch das kgV der Nenner, sodass in der Klammer ganze Zahlen stehen: Aus 0,5x + 1,5 wird 0,5 · (x + 3).

Das Vorzeichen des Faktors richtet sich nach deiner Auswahl, im Automatikmodus nach dem ersten Summanden. Als Probe multipliziert der Rechner Faktor und Klammer wieder aus und rechnet zusätzlich mit festen Zahlen für x und y nach.

Ausklammern: a mal b plus a mal c gleich a mal Klammer b plus c; der Grad des Resttermes ist der Grad des Terms minus der Grad des ausgeklammerten Faktors.
Formeln des Ausklammern-Rechners: Das Distributivgesetz von rechts nach links gelesen, dazu die Gradbeziehung Gr = Gt − Gf zwischen Term, Faktor und Restterm.

Nachschlagen

Ausklammern: gemeinsamer Faktor und Restterm typischer Aufgaben

Welcher Faktor steckt in welchem Term? Bei 6x²y + 9xy² − 3xy ist es 3xy, bei 12a³b² + 18a²b³ − 24a²b² schon 6a²b². Die Tabelle zeigt zwölf Terme mit dem größten gemeinsamen Faktor, dem Restterm in der Klammer und dem fertig ausgeklammerten Ergebnis. Bei 2x + 3 und x² + y gibt es nichts auszuklammern.

Zwölf Terme mit größtem gemeinsamen Faktor, Restterm in der Klammer und ausgeklammertem Ergebnis
TermGemeinsamer FaktorResttermAusgeklammert
6x²y + 9xy² − 3xy3xy2x + 3y − 13xy · (2x + 3y − 1)
12a³b² + 18a²b³ − 24a²b²6a²b²2a + 3b − 46a²b² · (2a + 3b − 4)
15x²y + 20xy² − 10xy5xy3x + 4y − 25xy · (3x + 4y − 2)
−2x² + 6x−2xx − 3−2x · (x − 3)
4x³ + 6x²2x²2x + 32x² · (2x + 3)
8x + 1242x + 34 · (2x + 3)
x³ − xxx² − 1x · (x² − 1)
ab + acab + ca · (b + c)
0,5x + 1,50,5x + 30,5 · (x + 3)
5x³ − 10x² + 5x5xx² − 2x + 15x · (x² − 2x + 1)
2x + 3keiner–nicht möglich
x² + ykeiner–nicht möglich

Berechnet mit der Rechenfunktion des Rechners (Einstellung größter gemeinsamer Faktor, Vorzeichen automatisch, binomische Prüfung aus). Der Faktor besteht aus dem ggT der Zahlen und dem kleinsten Exponenten jeder Variablen; ist der erste Summand negativ, wird das Minuszeichen mit ausgeklammert.

Binomische Formeln nach dem Ausklammern erkennen

Steckt im Restterm ein Quadrat? Aus 2x² + 12x + 18 wird 2 · (x + 3)², aus x² − 9 wird (x + 3)(x − 3). Die Tabelle zeigt acht Terme, den ausgeklammerten Faktor, den Restterm und die erkannte binomische Formel; bei x² + 5x + 9 passt keine, weil der Mittelterm nicht 2ab ist.

Acht Terme mit ausgeklammertem Faktor, Restterm, erkannter binomischer Formel und vollständiger Zerlegung
TermFaktorResttermBinomische FormelZerlegung
x² + 6x + 9–x² + 6x + 9Erste binomische Formel(x + 3)²
2x² + 12x + 182x² + 6x + 9Erste binomische Formel2 · (x + 3)²
3x² − 6x + 33x² − 2x + 1Zweite binomische Formel3 · (x − 1)²
x² − 9–x² − 9Dritte binomische Formel(x + 3)(x − 3)
9x² − 16–9x² − 16Dritte binomische Formel(3x + 4)(3x − 4)
4x²y² − 12xy + 9–4x²y² − 12xy + 9Zweite binomische Formel(2xy − 3)²
5x³ − 10x² + 5x5xx² − 2x + 1Zweite binomische Formel5x · (x − 1)²
x² + 5x + 9–x² + 5x + 9keine–

Berechnet mit der Rechenfunktion des Rechners (Binomik-Prüfung ein). Die Formeln lauten a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)² und a² − b² = (a + b)(a − b); erkannt werden sie nur bei zwei oder drei Summanden.

Expertenmodus

Häufige Fragen zum Ausklammern

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie klammere ich 6x²y + 9xy² − 3xy aus?

Zuerst der Zahlenfaktor: Der größte gemeinsame Teiler von 6, 9 und 3 ist 3. Dann die Variablen: x kommt mit den Exponenten 2, 1 und 1 vor, y mit 1, 2 und 1, jeweils ist 1 der kleinste. Der gemeinsame Faktor lautet also 3xy.

Jetzt teilst du jeden Summanden durch 3xy: 6x²y ergibt 2x, 9xy² ergibt 3y und −3xy ergibt −1. Das Ergebnis ist 3xy · (2x + 3y − 1). Zur Probe multiplizierst du aus und erhältst wieder 6x²y + 9xy² − 3xy.

Mit x = 2 und y = 3 kommt auf beiden Seiten 216 heraus. Häufig wird der letzte Summand vergessen: Aus −3xy bleibt nicht null, sondern −1 in der Klammer, und die Klammer behält drei Summanden.

Im Rechner siehst du dieselben Schritte nummeriert unter „Rechenweg“ und die Teilungen in der Tabelle „Summanden und Restterm“.

Wie finde ich den größten gemeinsamen Faktor?

Du suchst zwei Dinge getrennt. Für die Zahlen bildest du den größten gemeinsamen Teiler der Beträge, am sichersten mit dem Euklidischen Algorithmus, also wiederholtem Teilen mit Rest.

Für jede Variable nimmst du den kleinsten Exponenten über alle Summanden. Bei 12a³b² + 18a²b³ − 24a²b² ist der ggT von 12, 18 und 24 gleich 6; a steht mit 3, 2 und 2 da, b mit 2, 3 und 2, also wird a² und b² ausgeklammert.

Der Faktor ist 6a²b², die Klammer lautet (2a + 3b − 4). Eine Variable darf nur dann in den Faktor, wenn sie in jedem Summanden vorkommt, denn fehlt sie irgendwo, zählt dort der Exponent 0.

Das Verfahren bleibt bei zwei, drei oder zwölf Summanden gleich. Kontrolliere am Ende, ob der Restterm weiter teilbar ist: Er braucht ggT 1 und keine gemeinsame Variable mehr, sonst hast du nicht vollständig ausgeklammert.

Wann lässt sich nichts ausklammern?

Wenn die Zahlen nur den gemeinsamen Teiler 1 haben und keine Variable in allen Summanden steckt. Bei 3x + 5 ist der ggT von 3 und 5 gleich 1, und x fehlt im zweiten Summanden. Auch x² + y bleibt, wie es ist, weil kein Buchstabe überall auftaucht.

Der Rechner meldet dann „Es lässt sich nichts ausklammern“ und zeigt die Begründung. Das ist kein Fehler, sondern ein Befund: Der Term liegt schon in der kürzesten Summenform vor.

Eine verbreitete Fehlannahme lautet, man könne x trotzdem herausziehen und 5 durch x teilen, sodass 3x + 5 zu x · (3 + 5/x) wird. Das ist zwar rechnerisch gültig, aber kein Ausklammern im Sinne der Aufgabe, weil im Rest ein Bruch mit Variable steht.

Für solche Terme helfen andere Verfahren, etwa die Lösungsformel bei einer quadratischen Gleichung.

Wann klammere ich das Minuszeichen mit aus?

Üblich ist, bei einem negativen ersten Summanden das Minuszeichen mitzunehmen, damit die Klammer vorn positiv beginnt. Aus −2x² + 6x wird −2x · (x − 3). Dabei drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um, nicht nur das erste.

Ohne das Minus lautet die Zerlegung 2x · (−x + 3), und auch sie ist richtig, denn beide Produkte ergeben ausmultipliziert −2x² + 6x. Welche Form deine Lehrkraft erwartet, steht meist in der Aufgabe oder im Heft.

Im Rechner wählst du unter „Vorzeichen des Faktors“ zwischen Automatik, immer positiv und immer mit Minus. Für das Lösen einer Gleichung spielt die Wahl keine Rolle: Aus −2x · (x − 3) = 0 folgen x = 0 und x = 3, genau wie aus 2x · (−x + 3) = 0.

Ausnahmen gibt es nur dort, wo die Aufgabe ausdrücklich eine Form vorschreibt.

Wie mache ich beim Ausklammern die Probe?

Du multiplizierst den Faktor mit jedem Summanden der Klammer und schaust, ob wieder der ursprüngliche Term entsteht. Bei 3xy · (2x + 3y − 1) rechnest du 3xy · 2x = 6x²y, 3xy · 3y = 9xy² und 3xy · (−1) = −3xy.

Die Summe 6x²y + 9xy² − 3xy ist genau der Term, mit dem du gestartet bist. Zusätzlich kannst du Zahlen einsetzen, zum Beispiel x = 2 und y = 3: Der Term ergibt 72 + 162 − 18 = 216, das Produkt 18 · 12 = 216.

Stimmen beide Werte überein, ist das ein starkes Indiz, aber kein Beweis, denn ein Rechenfehler kann bei einer einzelnen Zahl zufällig verschwinden. Der Rechner zeigt beide Proben in der Zeile „Probe durch Ausmultiplizieren“.

Fehler entstehen am häufigsten bei den Vorzeichen und bei der Zahl der Summanden, deshalb lohnt sich ein Blick auf beides.

Was haben binomische Formeln mit Ausklammern zu tun?

Oft steckt nach dem Ausklammern ein Quadrat im Restterm. Aus 2x² + 12x + 18 wird 2 · (x² + 6x + 9), und x² + 6x + 9 ist (x + 3)², weil der Mittelterm 6x genau 2 · x · 3 ist. Ebenso gilt 3x² − 6x + 3 = 3 · (x − 1)² und 4x²y² − 12xy + 9 = (2xy − 3)².

Auch eine Differenz zweier Quadrate wie x² − 9 wird zu (x + 3)(x − 3), selbst wenn nichts auszuklammern ist. Der Rechner prüft das, wenn du „Restterm auf binomische Formel prüfen“ auf Ja stellst, und zerlegt dann vollständig.

Beachte die Grenze: Eine Summe zweier Quadrate wie x² + 9 ist im Bereich der reellen Zahlen keine binomische Formel und lässt sich nicht weiter zerlegen. Stimmt der Mittelterm nicht, wie bei x² + 5x + 9, bleibt die Klammer stehen.

Kann ich Dezimalzahlen und Brüche ausklammern?

Ja, der Rechner arbeitet mit exakten Brüchen. Der gemeinsame Zahlenfaktor ist dann der ggT der Zähler geteilt durch das kgV der Nenner. Aus 0,5x + 1,5 wird 0,5 · (x + 3), denn 0,5 = 1/2 und 1,5 = 3/2 haben den Faktor 1/2 gemeinsam.

Bei x/2 + 3/4 sind die Koeffizienten 1/2 und 3/4: Der ggT der Zähler 1 und 3 ist 1, das kgV der Nenner 2 und 4 ist 4, der Faktor lautet 1/4, also 0,25 · (2x + 3). So stehen in der Klammer ganze Zahlen.

Schreibe Brüche mit Variablen als x/2 oder als Dezimalzahl 0,5x; die Schreibweise 1/2x lehnt der Rechner ab, weil sie mehrdeutig ist. Das Komma ist das Dezimalzeichen, ein Punkt gilt ebenfalls als solches; Tausenderpunkte gibt es nicht.

Rechne bei Brüchen möglichst zuerst alles auf einen gemeinsamen Nenner um, dann sind die Ergebnisse leichter zu lesen.

Warum bleibt in der Klammer manchmal noch ein x?

Weil du nur einen Teil ausgeklammert hast oder ausklammern solltest. Bei 6x² + 9x liefert „nur der Zahlenfaktor“ das Ergebnis 3 · (2x² + 3x), und „nur die Variablen“ ergibt x · (6x + 9).

Der größte gemeinsame Faktor zieht beides zugleich heraus: 3x · (2x + 3). Mancher Aufgabentext verlangt die Teilschritte, deshalb bietet der Rechner alle drei Wege an.

Dazu kommt der eigene Faktor: Bei 4x³ + 6x² mit 2x entsteht 2x · (2x² + 3x), und in der Klammer steckt weiter ein x, weil 2x nicht der größte gemeinsame Faktor ist.

Vollständig ausgeklammert ist ein Term erst dann, wenn der Rest den ggT 1 hat und keine Variable mehr in allen Summanden steht.

Prüfe das mit der Tabelle „Variablen und kleinste Exponenten“: Steht dort in der Spalte „Ausgeklammert“ bei einer Variablen noch „nein“, obwohl der kleinste Exponent größer als 0 ist, fehlt ein Schritt.

Hinweise

Ergebnis lesen: Restterm, Grad und binomische Formel

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Lies zuerst die Zeile „Ausgeklammerter Term“. Bei 2x² + 12x + 18 steht dort 2 · (x + 3)².

Die 2 ist der ggT der Zahlen, x fehlt im Summanden 18 und bleibt deshalb in der Klammer. Der Restterm x² + 6x + 9 ist die erste binomische Formel mit a = x und b = 3, denn 2ab = 6x.

Dadurch wird aus der Klammer ein Quadrat, und du siehst sofort die doppelte Nullstelle x = −3. Zitiergrafik: Restterm x² + 6x + 9 als erste binomische Formel (x + 3)² mit a = x, b = 3 und 2ab = 6x, Ergebnis 2 · (x + 3)² Meldet der Rechner dagegen „Es lässt sich nichts ausklammern“, wie bei 3x + 5, ist der Term schon in der kürzesten Summenform: Der ggT ist 1, und x fehlt im zweiten Summanden.

Der Vergleich von „Höchster Grad im Term“ und „Höchster Grad im Restterm“ zeigt dir den Gewinn. Bei x³ − 4x² + 4x sinkt er von 3 auf 2, und aus einer Gleichung dritten Grades wird eine quadratische.

Prüfe immer die Probezeile: Steht dort „Probe stimmt“, darfst du das Ergebnis übernehmen. Die Tabelle „Variablen und kleinste Exponenten“ erklärt, warum eine Variable ausgeklammert wurde oder in der Klammer blieb. Das spart Zeit.

Nächster Schritt bei einer Gleichung: jeden Faktor einzeln gleich null setzen und lösen, denn ein Produkt wird nur dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

Anwendung

Praxisbeispiel: Eine Gleichung dritten Grades durch Ausklammern lösen

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Eine Schülerin soll die Gleichung x³ − 4x² + 4x = 0 lösen, ohne eine Lösung zu raten. Ein Verfahren für Gleichungen dritten Grades kennt sie noch nicht. Sie trägt den Term x^3-4x^2+4x ein und lässt den größten gemeinsamen Faktor ausklammern.

Der Rechner findet ggT 1 und die Variable x mit den Exponenten 3, 2 und 1, also wird x¹ ausgeklammert. Der Restterm lautet x² − 4x + 4, und er erkennt darin die zweite binomische Formel: Das Ergebnis ist x · (x − 2)².

Die Probe stimmt, der Grad sinkt von 3 auf 2. Zitiergrafik: Funktion x³ − 4x² + 4x = x · (x − 2)² mit einfacher Nullstelle bei 0 und doppelter Nullstelle bei 2 Ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist. Aus x = 0 oder (x − 2)² = 0 folgen die Lösungen x = 0 und x = 2; bei x = 2 berührt die Kurve die x-Achse nur, weil der Faktor quadriert ist.

Damit ist die Gleichung gelöst. Zur Kontrolle setzt sie Werte dazwischen ein: Bei x = 1 ergibt der Term 1, bei x = 3 ergibt er 3, und für x kleiner als 0 ist er negativ.

Die Kurve verläuft also zwischen den Nullstellen oberhalb der Achse und steigt danach weiter. Wäre sie bei „Immer positiv ausklammern“ geblieben, hätte sich an den Lösungen nichts geändert, nur die Schreibweise wäre länger geworden.

Ihr Heft enthält am Ende die Zeile „L = {0; 2}“ und die Skizze dazu, und beim nächsten ähnlichen Term weiß sie, dass sie zuerst nach dem gemeinsamen Faktor suchen muss.

Fallstricke

Vier typische Fehler beim Ausklammern

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Fehler 1: Den letzten Summanden vergessen. Wer aus 6x²y + 9xy² − 3xy den Faktor 3xy herauszieht, muss für −3xy die −1 in die Klammer schreiben, nicht null.

Die Klammer hat immer so viele Summanden wie der Term, hier drei. Das zeigt die Spalte „Geteilt durch den Faktor“. Fehler 2: Nicht vollständig ausklammern. Aus 6x² + 9x folgt 3 · (2x² + 3x), aber in der Klammer steckt noch ein x.

Vollständig ist erst 3x · (2x + 3): Der Restterm braucht ggT 1 und darf keine Variable mehr in allen Summanden haben. Fehler 3: Das Minuszeichen halb ausklammern, also nur beim Faktor und nicht in der Klammer.

Aus −2x² + 6x wird −2x · (x − 3), nicht −2x · (x + 3): Beim Ausklammern von −2x drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer, nicht nur das erste. Fehler 4: Eine Variable herausziehen, die nicht überall steckt.

Aus x² + x + y lässt sich nichts ausklammern, weil y im ersten Summanden fehlt. Der Exponent 0 entscheidet. Fehler 5: Klammer weglassen. 3xy · 2x + 3y − 1 ist etwas anderes als 3xy · (2x + 3y − 1), weil Punktrechnung vor Strichrechnung gilt.

Schreibe den Restterm immer in Klammern, auch wenn er nur aus zwei Summanden besteht. Der Rechner zeigt die Klammer deshalb stets mit an, selbst bei einem sehr kurzen Rest.

Nächster Schritt

Ausklammern-Rechner: Fazit, Quellen und Grenzen

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Rechner liefert zu einer Summe den ausgeklammerten Term, den Faktor, den Restterm, den Rechenweg und die Probe durch Ausmultiplizieren, auf Wunsch mit binomischer Formel.

Entscheidend sind ein vollständig ausgeklammerter Faktor (ggT 1 im Rest, keine gemeinsame Variable mehr) und die richtige Wahl des Vorzeichens. Alle Zahlen stammen aus der Rechenfunktion dieser Seite.

Quellen: Das Distributivgesetz und die Arbeit mit Variablen und Termen gehören zu den KMK-Bildungsstandards Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (2003); der ggT folgt dem Euklidischen Algorithmus (Euklid, Elemente VII.2).

Grenzen: nur Monome als gemeinsame Faktoren, höchstens vier Variablen, zwölf Summanden und Exponenten bis 6. Gemeinsame Klammern und das Zerlegen in Linearfaktoren gehören nicht dazu.

Gleichartige Summanden fasst der Rechner vorher zusammen, Dezimalzahlen und Brüche rechnet er exakt. Für Klassenarbeiten und Prüfungen gelten die Vorgaben deiner Lehrkraft, auch zur Schreibweise des Vorzeichens.

Vertiefung

Rechenbeispiele: vom Zahlenfaktor bis zum Binom

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · 2 · (x + 3)², Restterm x² + 6x + 9

Ausklammern und binomische Formel zusammen

Term (Summe)
2x^2 + 12x + 18
Was soll ausgeklammert werden?
Größter gemeinsamer Faktor (Zahl und Variablen)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Beispiel 2 · Mittel · −2x · (x − 3)

Negativer erster Summand

Term (Summe)
-2x^2 + 6x
Was soll ausgeklammert werden?
Größter gemeinsamer Faktor (Zahl und Variablen)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Beispiel 3 · Komplex · 6a²b² · (2a + 3b − 4), Grad von 5 auf 1

Zwei Variablen mit unterschiedlichen Exponenten

Term (Summe)
12a^3b^2 + 18a^2b^3 - 24a^2b^2
Was soll ausgeklammert werden?
Größter gemeinsamer Faktor (Zahl und Variablen)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Beispiel 4 · Komplex · 0,5 · (x + 3)

Dezimalzahlen

Term (Summe)
0,5x + 1,5
Was soll ausgeklammert werden?
Größter gemeinsamer Faktor (Zahl und Variablen)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Beispiel 5 · Komplex · 3 · (2x² + 3x)

Nur den Zahlenfaktor ausklammern

Term (Summe)
6x^2 + 9x
Was soll ausgeklammert werden?
Nur der gemeinsame Zahlenfaktor (ggT)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Beispiel 6 · Komplex · (x + 3)(x − 3)

Differenz zweier Quadrate ohne Faktor

Term (Summe)
x^2 - 9
Was soll ausgeklammert werden?
Größter gemeinsamer Faktor (Zahl und Variablen)
Vorzeichen des Faktors
Automatisch (Minus bei negativem ersten Summanden)
Restterm auf binomische Formel prüfen
Ja, prüfen und weiter zerlegen

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

Nullstellen-RechnerNullstellen einer Funktion numerisch berechnen – für Polynome, sin, cos, e^x und ln, mit Newton-Schritten und Vorzeichenwechsel-Nachweis.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.PotenzenrechnerPotenzen mit positiven, negativen und gebrochenen Exponenten berechnen – inkl. wissenschaftlicher Notation.Kurvendiskussions-RechnerVollstaendige Kurvendiskussion online: Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte, Ableitungen und Asymptoten einer Funktion berechnen.Römische-Zahlen-UmrechnerArabische Zahlen in römische Zahlen umrechnen und römische Schreibweisen zurück in Dezimalzahlen wandeln.Matrix-RechnerDeterminante, Inverse, Transponierte, Matrixprodukt, Matrixsumme und Rang fuer 2x2- und 3x3-Matrizen berechnen – mit Rechenweg und Matrixeigenschaften.Vektor-RechnerBetrag, Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Winkel fuer 2D- und 3D-Vektoren berechnen – mit vollstaendigem Rechenweg, Einheitsvektor und Orthogonalitaetspruefung.Eigenwerte-RechnerEigenwerte und Eigenvektoren fuer 2x2- und 3x3-Matrizen berechnen: Charakteristisches Polynom, Spur-/Determinantenprobe und Diagonalisierbarkeit.Komplexe-Zahlen-RechnerKomplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren – mit Betrag, Argument, Polarform und konjugiert komplexem Ergebnis.Papierfalten-RechnerWie oft kann man Papier falten? Maximale Faltungen für dein Blatt nach Gallivan, Dicke nach n Faltungen und Faltungen bis zu Eiffelturm, Mond oder Sonne berechnen.Fibonacci-RechnerFibonacci-Folge berechnen: n-tes Glied exakt bis F(1.000), Folge bis 100 oder 1000, Prüfung auf Fibonacci-Zahl und Lucas-Zahlen mit Quotient zum Goldenen Schnitt.Buchstabenwert-RechnerBuchstabenwert berechnen: Wortwert eines Textes mit A = 1 bis Z = 26, wählbarer Umlaut-Regel, Zählung rückwärts, Quersumme und einstellige Quersumme, ganzer Text oder je Wort.Elliptische-Kurven-RechnerElliptische Kurven y² = x³ + a·x + b rechnen: Punkt prüfen, Punktaddition, Verdopplung und Skalarmultiplikation über ℝ und F_p, Punktanzahl, Ordnung und Hasse-Prüfung mit Rechenweg.Wurzelrechnern-te Wurzel einer Zahl berechnen und als Potenz darstellen – mit Plausibilitätsprüfung.Logarithmen-RechnerLogarithmus berechnen für beliebige Basis, natürlicher Logarithmus ln und dekadischer Logarithmus lg.

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  • Ausklammern von 6x²y + 9xy² − 3xy: ggT der Zahlen 3, kleinste Exponenten 1 für x und y, Faktor 3xy, Restterm 2x + 3y − 1, Zahlenprobe 216 gleich 216

    Faktorsuche beim Ausklammern von 6x²y + 9xy² − 3xy

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       alt="Ausklammern von 6x²y + 9xy² − 3xy: ggT der Zahlen 3, kleinste Exponenten 1 für x und y, Faktor 3xy, Restterm 2x + 3y − 1, Zahlenprobe 216 gleich 216"
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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/ausklammern-rechner">Faktorsuche beim Ausklammern von 6x²y + 9xy² − 3xy auf Rechner-Portal</a></p>

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  • Ausklammern von 2x² + 12x + 18: Faktor 2, Restterm x² + 6x + 9 als erste binomische Formel (x + 3)² mit a = x, b = 3 und 2ab = 6x, Ergebnis 2 · (x + 3)²

    Binomische Formel im Restterm: 2x² + 12x + 18

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       alt="Ausklammern von 2x² + 12x + 18: Faktor 2, Restterm x² + 6x + 9 als erste binomische Formel (x + 3)² mit a = x, b = 3 und 2ab = 6x, Ergebnis 2 · (x + 3)²"
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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/ausklammern-rechner">Binomische Formel im Restterm: 2x² + 12x + 18 auf Rechner-Portal</a></p>

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  • Funktion x³ − 4x² + 4x = x · (x − 2)² mit einfacher Nullstelle bei x = 0 und doppelter Nullstelle bei x = 2, an der die Kurve die x-Achse nur berührt

    Nullstellen nach dem Ausklammern: x³ − 4x² + 4x

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  <img src="https://rechner-portal.de/images/mathematik/ausklammern-rechner-nullstellen.svg"
       alt="Funktion x³ − 4x² + 4x = x · (x − 2)² mit einfacher Nullstelle bei x = 0 und doppelter Nullstelle bei x = 2, an der die Kurve die x-Achse nur berührt"
       width="760" height="360">
</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/ausklammern-rechner">Nullstellen nach dem Ausklammern: x³ − 4x² + 4x auf Rechner-Portal</a></p>

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Quellen, Transparenz und Haftung

Haftungsausschluss

Die Ergebnisse dieses Rechners sind Orientierungswerte und ersetzen keine professionelle Beratung. Für verbindliche Entscheidungen – insbesondere in finanziellen, gesundheitlichen oder rechtlichen Angelegenheiten – empfehlen wir die Einholung fachkundiger Beratung. Aktuelle Vertrags-, Produkt- und Regulierungsdaten können von den Rechenwerten abweichen.

Rechnerspezifische Grenzen: Mathematikrechner bilden Standardverfahren ab. Für Klassenarbeiten, Prüfungen und Nachweise gelten die Vorgaben der Lehrkraft; der Rechner ersetzt kein Computeralgebrasystem.

Quelle: Distributivgesetz und Euklidischer Algorithmus (Euklid, Elemente VII.2); Anforderungsbereich laut KMK-Bildungsstandards Mathematik 2003. Die Konventionen zum Vorzeichen und zur Reihenfolge der Summanden sind Festlegungen dieses Rechners.

Stand: 2026-10-09

Externe Fachquellen
Qualitätsnachweise
Verantwortlich
Kilian Achatz
Herausgeber
Rechner-Portal
Letzte fachliche Prüfung
09. Oktober 2026
Fachbereich
Mathematik / Algebra
Formeln basieren auf
Distributivgesetz a·b + a·c = a·(b + c); größter gemeinsamer Teiler der Koeffizienten nach Euklid, kleinster Exponent je Variable; binomische Formeln (a ± b)² = a² ± 2ab + b² und a² − b² = (a + b)(a − b).
Zitation & Richtlinien

APA-Format

Rechner-Portal (2026). Ausklammern-Rechner. Abgerufen von https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/ausklammern-rechner

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Rechner-Portal, 2026. Ausklammern-Rechner. Available at: https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/ausklammern-rechner

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