Arithmetische Folge Rechner: Glied aₙ, Differenz d und Summe sₙ

Du nutzt die explizite Formel aₙ = a₁ + (n − 1)·d. Vom Startglied a₁ gehst du n − 1 Schritte der Länge d, denn zwischen dem ersten und dem n-ten Glied liegen genau so viele Abstände. Für a₁ = 3, d = 4 und n = 10 rechnest du 3 + 9 · 4 = 39.

Im Rechner wählst du „Startglied a₁ und Differenz d“, trägst die drei Werte ein und liest aₙ direkt ab; zusätzlich steht dort die lineare Form aₙ = 4·n − 1, mit der du jedes weitere Glied im Kopf bestimmst.

Häufig schleicht sich der Fehler ein, n statt n − 1 zu verwenden: Dann kommt 43 heraus, und das ist in Wahrheit schon a₁₁. Prüfe dein Ergebnis mit der Gliedertabelle, denn die Zeile n = 10 muss denselben Wert zeigen.

Auch bei sehr großem n funktioniert die Formel sofort: Das Glied Nr. 1.000.000.000 dieser Folge ist 3.999.999.999, während Aufzählen unmöglich wäre.

Teile den Unterschied der beiden Werte durch den Unterschied der Gliednummern: d = (aₘ − aₖ) ÷ (m − k). Bei a₃ = 11 und a₈ = 31 ist das (31 − 11) ÷ (8 − 3) = 20 ÷ 5 = 4. Danach folgt das Startglied aus a₁ = aₖ − (k − 1)·d, hier 11 − 2 · 4 = 3.

Der Rechner erledigt beide Schritte im Modus „Zwei beliebige Glieder“ und zeigt zusätzlich eine Probe, die a₃ und a₈ aus a₁ und d zurückrechnet.

Die Reihenfolge der Angaben spielt keine Rolle: k darf größer sein als m, das Vorzeichen kürzt sich heraus. Nicht erlaubt ist k = m, denn dann steht im Nenner null, und zwei Angaben zur selben Nummer legen d nicht fest.

Ergibt die Division keinen ganzen Wert, etwa bei a₂ = 1 und a₅ = 2 mit d = 1/3, zeigt der Rechner den exakten Bruch statt einer gerundeten Dezimalzahl.

Gauß paarte erstes und letztes Glied, zweites und vorletztes und so weiter; jedes Paar hat dieselbe Summe a₁ + aₙ. Bei n Gliedern gibt es n ÷ 2 Paare, daher gilt sₙ = n ÷ 2 · (a₁ + aₙ).

Für 1, 2, …, 100 ist a₁ + a₁₀₀ = 101, und es gibt 50 Paare, also 5.050. Bei 3, 7, …, 39 ergibt jedes Paar 42, fünf Paare liefern 210.

Bei ungerader Gliederzahl bleibt ein Glied in der Mitte allein; die Formel stimmt trotzdem, weil n ÷ 2 dann eine halbe Zahl ist, etwa 5,5 bei n = 11 mit s₁₁ = 253. Ist aₙ noch unbekannt, nimmst du sₙ = n·a₁ + n·(n − 1) ÷ 2 · d.

Der Rechner prüft beide Formen gegeneinander und bis n = 1.000 zusätzlich durch einzelnes Aufsummieren aller Glieder. Die Formel gilt nur für arithmetische Folgen, nicht für Folgen wie 1, 4, 9, 16.

Bilde die Differenzen aufeinanderfolgender Glieder. Sind alle gleich, ist die Folge arithmetisch. Bei 2; 5; 8; 11 ergeben sich 3; 3; 3, also d = 3 und das 20. Glied 59.

Bei 1; 4; 9; 16; 25 lauten die Differenzen 3; 5; 7; 9, sie sind nicht konstant, die Folge ist nicht arithmetisch. Weil die zweiten Differenzen alle 2 sind, handelt es sich um eine Folge 2. Ordnung, und der Rechner sagt das ausdrücklich dazu.

Im Modus „Zahlenreihe“ trennst du die Zahlen mit Semikolon oder Leerzeichen; 2,5 ohne Leerzeichen gilt als Dezimalzahl.

Wichtig: Ein Test mit nur zwei gleichen Differenzen kann täuschen, und eine endliche Reihe beweist nie, dass die Folge danach so weiterläuft. Der Rechner prüft genau die Zahlen, die du eingibst, und verlangt mindestens drei.

Nach einem Treffer nennt er außerdem die nächsten drei Glieder, bei 2; 5; 8; 11 also 14; 17; 20.

Rekursiv gibst du das Startglied vor und beschreibst, wie jedes Glied aus seinem Vorgänger entsteht: a₁ = 3 und aₙ₊₁ = aₙ + 4. Jedes neue Glied ist also das vorige plus die Differenz. Das liefert 3, 7, 11, 15, 19 und so weiter.

Der Vorteil ist die anschauliche Entstehung, der Nachteil, dass du für das 100. Glied erst die 99 Vorgänger kennen müsstest. Deshalb rechnest du mit der expliziten Formel aₙ = a₁ + (n − 1)·d direkt: a₁₀ = 39.

Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Folge, und der Rechner gibt sie nebeneinander aus, im Beispiel zusammen mit aₙ = 4·n − 1. Aufgaben verlangen oft genau den Wechsel zwischen beiden Schreibweisen.

Achte auf den Startindex: Beginnt eine Folge bei a₀, verschiebt sich die Formel zu aₙ = a₀ + n·d, und die Gliednummern unterscheiden sich um eins. Dieser Rechner zählt immer ab a₁.

Löse die explizite Formel nach n auf: n = (x − a₁) ÷ d + 1. Nur wenn n eine ganze Zahl von mindestens 1 ergibt, ist x ein Glied. Für 18, 20, 22 und so weiter (a₁ = 18, d = 2) ist x = 40 das 12. Glied, denn (40 − 18) ÷ 2 + 1 = 12.

Bei x = 41 kommt 12,5 heraus: Der Wert liegt zwischen dem 12. Glied (40) und dem 13. (42) und wird übersprungen. Liegt n unter 1, etwa bei einer fallenden Folge und einem Wert über a₁, läuft die Folge von x weg.

Im Modus „Welches Glied hat den Wert x?“ erledigt der Rechner das und gibt bei einem Treffer zusätzlich die Summe bis dahin aus, hier s₁₂ = 348.

Bei d = 0 ist die Formel nicht anwendbar: Entweder gleicht x dem Startglied, dann passt jede Gliednummer, oder x kommt nie vor.

Bei negativem d fällt die Folge streng monoton und divergiert gegen −∞. Mit a₁ = 100 und d = −7 ergibt sich a₁₅ = 2 und s₁₅ = 765; schon a₁₆ = −5 liegt unter null.

Die Formeln bleiben unverändert, nur das Vorzeichen von d gehört in jede Rechnung, im Rechner als −7.

Bei d = 0 sind alle Glieder gleich a₁: Die Folge ist konstant, ihr Grenzwert ist a₁, und die Summe ist schlicht n·a₁, bei a₁ = 8 und n = 50 also 400.

Eine Folge mit d ≠ 0 hat dagegen keinen endlichen Grenzwert, sie wächst oder fällt über jede Schranke, auch bei sehr kleinem d wie 0,001.

Wer das Verhalten anderer Folgen für n gegen unendlich untersuchen will, findet im Grenzwert-Rechner die passende Methode.

Der Rechner zeigt Monotonie und Verhalten in einem eigenen Ergebnisfeld an, damit du das Vorzeichen nicht aus den Zahlen ablesen musst.

Entscheidend ist, was zwischen benachbarten Gliedern gleich bleibt. Bei einer arithmetischen Folge ist es die Differenz: 2; 5; 8; 11 wächst jedes Mal um 3, also linear.

Bei einer geometrischen Folge ist es der Quotient: 2; 4; 8; 16 wird jedes Mal mit 2 multipliziert, also exponentiell. Prüfe beides an der Zahlenreihe, indem du benachbarte Glieder subtrahierst und dividierst.

Gleiche Differenzen bedeuten arithmetisch, gleiche Quotienten geometrisch; trifft keines zu, wie bei 1; 4; 9; 16, liegt eine andere Bildungsvorschrift vor.

Im Modus „Zahlenreihe“ meldet der Rechner den konstanten Quotienten ausdrücklich, falls er vorliegt. Der Unterschied zeigt sich am Wachstum: Nach vier Gliedern steht die erste Folge bei 11, die zweite schon bei 16, und der Abstand wächst weiter.

Für Zuwachs mit festem Prozentsatz, etwa Zinseszins, passt die geometrische Folge; einfache Zinsen mit festem Betrag je Jahr bilden dagegen eine arithmetische Folge.