Folgen und Reihen Rechner: Glied, Partialsumme, Grenzwert

Eine Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen: s₁ = a₁, s₂ = a₁ + a₂, s₃ = a₁ + a₂ + a₃ und so weiter. Bei a₁ = 3 und d = 4 lauten die Partialsummen 3; 10; 21; 36; 55 bis s₁₀ = 210, und diese Zahlen bilden wieder eine nummerierte Liste.

Daraus folgt auch, was der Wert einer unendlichen Reihe ist: der Grenzwert der Partialsummenfolge, falls er existiert. Für a₁ = 2 und q = 0,5 sind die Partialsummen 2; 3; 3,5; 3,75; 3,875 und streben gegen 4.

Deshalb gibt es zwei verschiedene Fragen, nämlich wohin die Glieder aₙ laufen (hier gegen 0) und wohin die Summen sₙ laufen (hier gegen 4).

Im Rechner steht die Partialsumme in der zweiten Spalte der Gliedertabelle; stelle dort 50 Zeilen ein, wenn du das Näherungsverhalten über längere Strecken sehen willst.

Sie ist die endliche Reihe einer arithmetischen Folge mit a₁ = 15, d = −1 und n = 15 Gliedern und hat den Wert 120.

Nach Gauß ergeben erstes und letztes Glied zusammen 15 + 1 = 16, ebenso zweites und vorletztes; bei 15 Gliedern gibt es 7,5 solche Paare, also s₁₅ = 15 ÷ 2 · 16 = 120.

Im Rechner wählst du „arithmetisch“, den Weg „Startglied“ und trägst a₁ = 15, d = −1 und n = 15 ein; er zeigt a₁₅ = 1, s₁₅ = 120 und die Probe durch Aufsummieren. Ein häufiger Fehler ist, 15 Paare zu zählen und 240 zu erhalten.

Die unendliche arithmetische Reihe hat dagegen keinen Wert: Für a₁ = 3 und d = 4 wachsen die Partialsummen auf s₁₀ = 210 und s₂₀ = 820 und weiter über jede Grenze.

Zwischen Glied k und Glied m liegen |m − k| Schritte, also gilt q hoch |m − k| gleich aₘ ÷ aₖ. Bei a₂ = 6 und a₄ = 24 ist q² = 4, und weil der Abstand 2 gerade ist, passen q = 2 und q = −2.

Mit q = 2 folgt a₁ = 6 ÷ 2 = 3, a₆ = 96 und s₆ = 189; mit q = −2 ist a₁ = −3, a₆ = 96 und s₆ = 63. Bei ungeradem Abstand bleibt nur eine Lösung: Aus a₂ = 6 und a₃ = −12 folgt eindeutig q = −2.

Ist das Verhältnis keine perfekte Potenz, etwa bei a₁ = 2 und a₃ = 4 (q² = 2), nennt der Rechner nur die Näherung |q| ≈ 1,4142136 und rechnet nicht weiter, weil er exakt mit Brüchen arbeitet. Wähle dazu den Weg „Zwei bekannte Glieder“.

Das hängt von der Folge ab; mit dem dritten Weg „Glied aₙ gesucht“ erfährst du es sofort. Für die geometrische Folge mit a₁ = 2 und q = 3 gilt 2 · 3ⁿ⁻¹ = 486, also 3ⁿ⁻¹ = 243 = 3⁵ und damit n = 6; die Summe der ersten sechs Glieder ist s₆ = 728.

Der Rechner multipliziert dazu schrittweise und vergleicht jedes Glied exakt mit dem Zielwert, statt zu runden. Für 500 meldet er „kein Glied der Folge“, weil 486 und 1.458 den Wert überspringen.

Bei arithmetischen Folgen genügt die Umkehrformel n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1: In 18, 20, 22, … ist 40 das 12. Glied, 41 dagegen kein Glied, denn n = 12,5 ist keine ganze Zahl. Prüfe bei Misserfolg Vorzeichen und Startglied.

Die Probe im Rechner bestätigt, dass a₆ wirklich 486 ergibt und die Summe zum selben n gehört.

Die Formel s∞ = a₁ ÷ (1 − q) ist nur für |q| < 1 gültig. Setzt du trotzdem a₁ = 2 und q = 1,5 ein, kommt 2 ÷ (1 − 1,5) = −4 heraus, eine negative Zahl für eine Summe positiver Glieder, also offensichtlich Unsinn.

In Wahrheit wachsen die Partialsummen 2; 5; 9,5; 16,25; 26,375 über jede Grenze, der Rechner meldet „divergent“.

Bei |q| < 1 verkleinert sich der Rest dagegen immer weiter: Für a₁ = 8 und q = −0,5 springen die Partialsummen um den Grenzwert 16/3 ≈ 5,3333, und s₆ = 5,25 liegt schon nah daran. Die Faustregel lautet deshalb: erst |q| prüfen, dann s∞ rechnen.

Das schützt vor dem klassischen Fehler, die Formel blind anzuwenden und ein Ergebnis mit falschem Vorzeichen zu übernehmen. Bei q = 1 und q = −1 divergiert die Reihe ebenfalls; das behandelt eine eigene Frage unten auf dieser Seite.

Nur im Sonderfall d = 0. Dann ist jedes Glied gleich a₁, die Folge ist konstant und konvergiert gegen a₁: Für a₁ = 5 und d = 0 gilt a₇ = 5 mit Grenzwert 5, die Partialsumme s₇ = 35 wächst jedoch weiter, die Reihe divergiert.

Bei d > 0 laufen die Glieder gegen +∞, bei d < 0 gegen −∞: Von a₁ = 100 mit d = −7 sinkt die Folge auf a₁₅ = 2 und danach unter jede Grenze. Eine arithmetische Folge ist also nie eine Nullfolge, außer sie besteht nur aus Nullen.

Für den Grenzwert beliebiger Terme in n, etwa mit Brüchen, ist der Grenzwert-Rechner zuständig. Der Folgen-und-Reihen-Rechner zeigt dir den Grenzwert der Folge und den Wert der Reihe getrennt an, damit beides nicht verwechselt wird.

Beachte dabei die Reihenfolge der Begriffe: Folge und Reihe sind zwei getrennte Fragen.

Bei gleichem a₁ und a₂ siegt bei positivem Start und q > 1 die geometrische Folge ab dem dritten Glied.

Beginnen beide mit 2 und 6, hat die arithmetische Folge (d = 4) nach sechs Gliedern a₆ = 22 und s₆ = 72, die geometrische (q = 3) a₆ = 486 und s₆ = 728.

Der Rechner zeigt diesen Vergleich im Block „Vergleich arithmetisch und geometrisch“ automatisch zu deiner Eingabe.

Fällt die Folge, kehrt sich das Bild nicht um, sondern verschärft sich: Bei a₁ = 2 und a₂ = 1 wird die arithmetische Folge schon bei a₅ = −2 negativ, die geometrische (q = 0,5) bleibt bei a₅ = 0,125 positiv.

Entscheidend für die Praxis ist also, ob der Zuwachs je Schritt konstant ist (Differenz) oder proportional zum aktuellen Wert (Quotient). Nutze den Block, um Aufgaben der Art „linear oder exponentiell?“ schnell zu entscheiden.

Beide sind Sonderfälle, bei denen die Summenformel durch q − 1 teilen müsste oder die Reihe nicht konvergiert.

Bei q = 1 ist die Folge konstant: Für a₁ = 4 und n = 8 gilt a₈ = 4 und s₈ = n · a₁ = 32; die Folge konvergiert gegen 4, die unendliche Reihe divergiert.

Bei q = −1 wechseln die Glieder zwischen 4 und −4, a₈ = −4, und die Partialsummen pendeln zwischen 4 und 0, sodass s₈ = 0 ist.

Die Folge hat dann zwei Häufungspunkte und keinen Grenzwert; die Reihe divergiert ebenfalls, obwohl alle Partialsummen beschränkt bleiben. Der Rechner behandelt beide Werte ohne Klemmen und nennt den Grund im Text.

Achte darauf, dass nur für |q| < 1 die Formel a₁ ÷ (1 − q) gilt, also weder für q = 1 noch für q = −1.