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Fibonacci Rechner: Folge, n-tes Glied und Zahl prüfen

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Kurzantwort

Fibonacci-Zahlen entstehen, indem jedes Glied die Summe der beiden vorigen ist: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Der Rechner liefert F(n) bis n = 1.000 exakt mit allen Stellen, listet die Folge bis zu einem Grenzwert und prüft, ob eine Zahl dazugehört.

Fibonacci Folge berechnen: n-tes Glied exakt bis n = 1.000, Folge bis 100 oder 1000

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik
Geprüft: Review-Team Rechner-Portal (Okt. 2026)Stand:

Überblick

Was berechnet der Fibonacci-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Die Fibonacci-Folge ist die Zahlenfolge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, in der jedes Glied die Summe der beiden vorigen ist: F(n) = F(n−1) + F(n−2) mit F(0) = 0 und F(1) = 1. Das zehnte Glied ist F(10) = 55, das hundertste F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, eine Zahl mit 21 Stellen.

Der Fibonacci-Rechner liefert jedes Glied bis zum Index n = 1.000 exakt, also mit allen Ziffern; F(1.000) hat 209 Stellen. Dazu kommen drei Fragen, die zur Suche nach der Fibonacci-Folge gehören: Welche Fibonacci-Zahlen liegen bis 100 oder bis 1000?

Gehört meine Zahl, etwa 144, zur Folge? Und was ändert sich bei anderen Startwerten, etwa bei den Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7?

Der Quotient zweier benachbarter Glieder nähert sich dem Goldenen Schnitt φ = 1,6180339887…; schon F(10) ÷ F(9) = 1,6176470588 liegt nur 3,87 · 10⁻⁴ daneben.

Anders als bei arithmetischen oder geometrischen Folgen hängt jedes Glied von zwei Vorgängern ab.

Der Rechner zeigt diese Annäherung in einer Tabelle mit Quotient und Abweichung je Index, rechnet ausschließlich mit ganzen Zahlen und nennt die Grenze, ab der die Binet-Formel in Gleitkomma versagt.

Eingaben

Index, Grenzwert, Prüfzahl und Startwerte: Was trägst du ein?

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Zuerst wählst du unter „Was möchtest du berechnen?“ den Weg. Beim n-ten Glied trägst du den Index n ein, eine ganze Zahl von 0 bis 1.000.

Gezählt wird ab F(0) = 0, sodass F(1) und F(2) beide 1 sind. Größere Indizes lehnt der Rechner mit einem Hinweis ab, statt still zu kürzen, denn F(1.000) hat schon 209 Stellen.

Bei der Folge bis zu einem Grenzwert gibst du die Obergrenze ein, etwa 100 oder 1000. Der Grenzwert zählt mit, wenn er selbst eine Fibonacci-Zahl ist. Für die Prüfung trägst du eine Zahl wie 144 oder 150 ein.

Erlaubt sind ganze Zahlen ab 0 mit bis zu 1.000 Stellen; Tausenderpunkte und Leerzeichen versteht der Rechner, Dezimalstellen und ein Minuszeichen lehnt er ab. Bei eigenen Startwerten stehen a₀ und a₁ für die ersten beiden Glieder.

Beide dürfen negativ sein und bis zu 60 Stellen haben, der Index n gilt auch hier bis 1.000. Mit a₀ = 2 und a₁ = 1 entsteht die Lucas-Folge.

Praxisfälle

Fibonacci-Folge berechnen nach Situation

Sechs typische Suchfragen zur Fibonacci-Folge, jede mit Eingaben und dem nachgerechneten Ergebnis aus dem Rechner oben.

  1. Fibonacci-Folge bis 100

    „Welche Fibonacci-Zahlen gibt es bis 100?“

    Eingabe
    Folge bis Grenzwert, Grenzwert 100
    Ergebnis
    12 Glieder bis F(11) = 89 | Summe 232

  2. Fibonacci-Folge bis 1000

    „Wie lautet die Fibonacci-Folge bis 1000?“

    Eingabe
    Folge bis Grenzwert, Grenzwert 1000
    Ergebnis
    17 Glieder bis F(16) = 987 | nächste Zahl 1.597 | Summe 2.583

  3. Hundertstes Glied

    „Wie groß ist die 100. Fibonacci-Zahl?“

    Eingabe
    n-tes Glied, n = 100
    Ergebnis
    F(100) = 354.224.848.179.261.915.075 | 21 Stellen

  4. Ist 144 eine Fibonacci-Zahl?

    „Gehört 144 zur Fibonacci-Folge?“

    Eingabe
    Zahl prüfen, Zahl 144
    Ergebnis
    ja, F(12) = 144 | 5 · 144² + 4 = 322²

  5. Ist 150 eine Fibonacci-Zahl?

    „Welche Fibonacci-Zahlen liegen um 150?“

    Eingabe
    Zahl prüfen, Zahl 150
    Ergebnis
    nein | zwischen F(12) = 144 und F(13) = 233

  6. Lucas-Zahlen

    „Was ergibt die Folge mit den Startwerten 2 und 1?“

    Eingabe
    Eigene Startwerte, a₀ = 2, a₁ = 1, n = 10
    Ergebnis
    a(10) = 123 | Summe 321 | Lucas-Folge

Berechnung

Fibonacci-Formel: Rekursion, Fast-Doubling und Binet

Verstehe den Formelweg.

Grundlage ist die Rekursion F(n) = F(n−1) + F(n−2) mit F(0) = 0 und F(1) = 1. Statt n Additionen nutzt der Rechner Fast-Doubling: F(2k) = F(k)·(2·F(k+1) − F(k)) und F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)².

Beide Formeln halbieren den Index in jedem Schritt, deshalb wächst der Aufwand nur mit der Zahl der Bits von n und nicht mit n selbst.

Für n = 100 genügen sieben Verdopplungsschritte; die Probe addiert zusätzlich Schritt für Schritt und vergleicht beide Wege.

Die Summe der Glieder F(1) bis F(n) ist F(n+2) − 1, bei n = 10 also 144 − 1 = 143, ohne dass alle Glieder einzeln addiert werden müssen. Die Identität von Cassini, F(n−1)·F(n+1) − F(n)² = (−1)ⁿ, dient als zweite Kontrolle.

Die Binet-Formel F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5 mit φ = (1+√5) ÷ 2 und ψ = (1−√5) ÷ 2 gilt exakt. In Gleitkomma (53 Bit) trifft sie den Wert in der Rechnung dieses Rechners bis n = 75; bei n = 76 liefert sie 3.416.454.622.906.706 statt 3.416.454.622.906.707.

Deshalb zeigt der Rechner Binet nur zum Vergleich, damit die Grenze der Gleitkomma-Rechnung sichtbar bleibt. Der Quotient F(k) ÷ F(k−1) pendelt um den Goldenen Schnitt φ = 1,6180 und nähert sich ihm: 1,6176 bei k = 10, 1,6182 bei k = 11 Der Quotient folgt aus F(n+1) − φ·F(n) = ψⁿ: Er weicht um ψⁿ ÷ F(n) von φ ab, abwechselnd nach oben und unten.

Der Betrag der Abweichung schrumpft je Index etwa um den Faktor φ² ≈ 2,618, bei n = 50 liegt er bei 7,39 · 10⁻²¹. Die Prüfung nutzt das Kriterium von Gessel: n ist genau dann eine Fibonacci-Zahl, wenn 5n² + 4 oder 5n² − 4 eine Quadratzahl ist.

Fibonacci-Zahl: Glied gleich (Phi hoch n minus Psi hoch n) durch Wurzel aus 5; Nachfolger gleich Glied plus Vorgänger; Quotient gleich Glied durch Vorgänger.
Formeln des Fibonacci-Rechners: Die Formel von Binet liefert F(n) aus φ und ψ, die Rekursion addiert Glied und Vorgänger, und der Quotient benachbarter Glieder nähert sich dem Goldenen Schnitt.

Nachschlagen

Fibonacci-Zahlen F(0) bis F(30) mit Quotient und Abweichung vom Goldenen Schnitt

Die ersten 31 Glieder der Fibonacci-Folge zeigen, wie schnell der Quotient benachbarter Glieder gegen φ = 1,6180339887… läuft. F(10) ist 55, F(20) 6.765 und F(30) 832.040; die Abweichung vom Goldenen Schnitt sinkt von −3,87 · 10⁻⁴ bei k = 10 auf −1,69 · 10⁻¹² bei k = 30.

Fibonacci-Zahlen F(k) für k = 0 bis 30 mit Quotient F(k) ÷ F(k−1) und Abweichung von φ
Index kF(k)Quotient zum VorgängerAbweichung von φ
00––
11––
211,0000000000−6,18 · 10⁻¹
322,0000000000+3,82 · 10⁻¹
431,5000000000−1,18 · 10⁻¹
551,6666666667+4,86 · 10⁻²
681,6000000000−1,80 · 10⁻²
7131,6250000000+6,97 · 10⁻³
8211,6153846154−2,65 · 10⁻³
9341,6190476190+1,01 · 10⁻³
10551,6176470588−3,87 · 10⁻⁴
11891,6181818182+1,48 · 10⁻⁴
121441,6179775281−5,65 · 10⁻⁵
132331,6180555556+2,16 · 10⁻⁵
143771,6180257511−8,24 · 10⁻⁶
156101,6180371353+3,15 · 10⁻⁶
169871,6180327869−1,20 · 10⁻⁶
171.5971,6180344478+4,59 · 10⁻⁷
182.5841,6180338134−1,75 · 10⁻⁷
194.1811,6180340557+6,70 · 10⁻⁸
206.7651,6180339632−2,56 · 10⁻⁸
2110.9461,6180339985+9,77 · 10⁻⁹
2217.7111,6180339850−3,73 · 10⁻⁹
2328.6571,6180339902+1,43 · 10⁻⁹
2446.3681,6180339882−5,45 · 10⁻¹⁰
2575.0251,6180339890+2,08 · 10⁻¹⁰
26121.3931,6180339887−7,95 · 10⁻¹¹
27196.4181,6180339888+3,03 · 10⁻¹¹
28317.8111,6180339887−1,16 · 10⁻¹¹
29514.2291,6180339888+4,43 · 10⁻¹²
30832.0401,6180339887−1,69 · 10⁻¹²

Berechnet mit der Rechenfunktion des Rechners (ganze Zahlen, BigInt). Zählung ab F(0) = 0; F(1) und F(2) sind beide 1. Die Abweichung ist der Quotient minus φ und wechselt je Index das Vorzeichen. Werte gegen OEIS A000045 abgeglichen.

Stellenzahl von F(n) und Gleitkomma-Binet für n bis 1.000

Wie viele Stellen hat F(n), und wann trifft die Binet-Formel in Gleitkomma den exakten Wert noch? F(100) hat 21 Stellen, F(200) 42 und F(1.000) 209 Stellen. Bis F(75) stimmt die Gleitkomma-Rechnung des Rechners, ab F(76) nicht mehr.

Stellenzahl von F(n) und Treffer der Binet-Formel in Gleitkomma für 13 Indizes
Index nAnzahl Stellen von F(n)Binet in Gleitkomma trifft exakt
102ja
204ja
306ja
5011ja
7516ja
7616nein
10021nein
15031nein
20042nein
30063nein
500105nein
750157nein
1000209nein

Stellenzahl aus dem exakten Wert F(n) (ganze Zahlen). Die Gleitkomma-Spalte vergleicht round((φⁿ − ψⁿ) ÷ √5) in double (53 Bit, nur Multiplikationen und Wurzel) mit dem exakten Wert; Prüfung für jeden Index einzeln durch die Rechenfunktion.

Fibonacci-Folge bis 10, 100, 1.000 und weiter bis eine Million: Anzahl, letztes Glied und Summe

Wie viele Fibonacci-Zahlen liegen bis zu einer Grenze? Bis 100 sind es 12 Glieder mit der Summe 232, bis 1000 sind es 17 Glieder mit der Summe 2.583. Pro Faktor 10 kommen im Mittel knapp fünf Glieder hinzu.

Anzahl der Glieder, letztes Glied, nächste Fibonacci-Zahl und Summe der Folge bis sechs Grenzwerte
GrenzwertAnzahl Glieder (ab F(0))Letztes GliedNächste Fibonacci-ZahlSumme aller Glieder
10781320
1001289144232
1.000179871.5972.583
10.000216.76510.94617.710
100.0002675.025121.393196.417
1.000.00031832.0401.346.2692.178.308

Berechnet mit dem Modus „Folge bis zu einem Grenzwert“ des Rechners. Der Grenzwert zählt mit, wenn er selbst eine Fibonacci-Zahl ist; F(1) und F(2) zählen als zwei Glieder. Die Summe ist F(k+2) − 1 für das letzte Glied F(k).

Expertenmodus

Häufige Fragen zur Fibonacci-Folge

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie lautet die Fibonacci-Folge bis 100?

Bis 100 gehören zwölf Glieder zur Folge: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 und 89. Das letzte ist F(11) = 89, die nächste Fibonacci-Zahl F(12) = 144 liegt über der Grenze.

Weil die 1 als F(1) und F(2) zweimal vorkommt, sind es 12 Glieder, aber nur 11 verschiedene Zahlen. Alle zwölf Glieder ergeben zusammen 232, und das ist F(13) − 1 = 233 − 1.

Im Rechner wählst du „Folge bis zu einem Grenzwert“ und trägst 100 ein; die Tabelle zeigt zu jedem Glied den Quotienten zum Vorgänger. Bis 1000 sind es 17 Glieder, das letzte ist F(16) = 987, die nächste Zahl ist 1.597, und die Summe beträgt 2.583.

Der Grenzwert zählt mit, wenn er selbst eine Fibonacci-Zahl ist: Mit 89 als Grenze bleibt die Liste gleich, mit 88 endet sie bei 55. So bleibt die Liste auch an der Grenze eindeutig.

Wie groß ist die 100. Fibonacci-Zahl?

Mit der Zählung ab F(0) = 0 ist F(100) = 354.224.848.179.261.915.075, eine Zahl mit 21 Stellen. In einer Liste ohne die Null steht sie an 100. Stelle, in einer Liste mit der Null an 101. Stelle; der Wert hängt am Index, nicht an der Position.

Zum Größenvergleich: F(50) = 12.586.269.025 hat 11 Stellen, F(200) hat 42 und F(1.000) hat 209 Stellen. Der Rechner gibt bis n = 1.000 jede Ziffer aus und rechnet nur mit ganzen Zahlen.

Eine Gleitkomma-Rechnung mit der Binet-Formel kann den Wert ab n = 79 nicht mehr exakt darstellen, weil F(79) die 53 Bit einer Gleitkommazahl übersteigt.

Für große Indizes zeigt der Rechner zusätzlich die gekürzte Schreibweise mit der Stellenzahl und alle Ziffern zum Kopieren. Wähle dazu „n-tes Glied“ und trage n = 100 ein; die Probe vergleicht Fast-Doubling und schrittweise Addition.

Wie prüfe ich, ob 144 eine Fibonacci-Zahl ist?

Nach dem Kriterium von Gessel (Fibonacci Quarterly, 1972) ist n genau dann eine Fibonacci-Zahl, wenn 5n² + 4 oder 5n² − 4 eine Quadratzahl ist.

Für n = 144 ergibt 5 · 144² + 4 die Zahl 103.684, und das ist 322²; also gehört 144 dazu, und zwar als F(12).

Für n = 150 sind 112.504 und 112.496 keine Quadratzahlen, also ist 150 keine Fibonacci-Zahl; sie liegt zwischen F(12) = 144 und F(13) = 233, im Abstand 6 und 83.

Im Rechner wählst du „Ist meine Zahl eine Fibonacci-Zahl?“ und trägst die Zahl ein, auch mit bis zu 1.000 Stellen. Die Probe baut zusätzlich die Folge bis zur Zahl auf und meldet einen Widerspruch zwischen beiden Wegen als Fehler.

Die Zahl 1 hat zwei Indizes, F(1) und F(2), und 0 ist F(0). Negative Zahlen und Dezimalzahlen lehnt der Rechner ab.

Zählt die Fibonacci-Folge bei 0 oder bei 1?

Der Rechner zählt wie die Fachliteratur ab F(0) = 0 und F(1) = 1; damit ist F(10) = 55. Manche Schulbücher beginnen mit 1, 1, 2, 3, 5 und lassen die Null weg.

Dort ist 55 das zehnte aufgeschriebene Glied, in einer Liste mit der Null dagegen das elfte; als Index bleibt es F(10). Die Werte ändern sich nicht, nur die Position in der Liste.

Sicher gehst du, wenn du dich an einem Wert festhältst: 55 steht immer nach 34 und vor 89. Zwischen Aufgabe und Rechner gleichst du deshalb zuerst einen Wert ab, nicht die Nummer.

Der Rechner nennt zu jedem Ergebnis den Index in der Form F(n) und führt in der Tabelle die Nummer k mit. Vergleiche bei Aufgaben den Wert und den Indexbeginn deiner Vorlage, bevor du eine Position übernimmst.

Mit n = 10 liefert er F(10) = 55, mit n = 9 den Wert 34.

Warum nähert sich F(n+1) ÷ F(n) dem Goldenen Schnitt?

Weil jedes Glied die Summe der beiden vorigen ist, erfüllt der Quotient x = F(n+1) ÷ F(n) ungefähr x = 1 + 1 ÷ x.

Daraus folgt x² = x + 1, und die positive Lösung ist der Goldene Schnitt φ = (1 + √5) ÷ 2 = 1,6180339887… Genau gilt F(n+1) − φ·F(n) = ψⁿ mit ψ = (1 − √5) ÷ 2 ≈ −0,618, der Quotient weicht also um ψⁿ ÷ F(n) ab. Das Vorzeichen wechselt je Index.

Beim Quotienten 55 ÷ 34 = 1,6176470588 beträgt die Abweichung −3,87 · 10⁻⁴, bei F(30) ÷ F(29) nur noch −1,69 · 10⁻¹² und bei F(100) ÷ F(99) −9,33 · 10⁻⁴². Der Quotient ist ein Bruch und damit rational, φ ist irrational; gleich werden beide nie.

Die Tabelle im Rechner zeigt Quotient und Abweichung für jeden Index, sodass du die Annäherung nachverfolgen kannst.

Reicht die Binet-Formel für große Fibonacci-Zahlen?

Mathematisch ja, mit einem Taschenrechner nicht. Die Binet-Formel F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5 ist exakt, verlangt aber irrationale Zahlen.

Rechnet man sie mit Gleitkommazahlen (53 Bit, etwa 15 bis 16 Dezimalstellen), stimmt das gerundete Ergebnis nur für kleine n: In der Rechnung dieses Rechners trifft sie bis F(75) = 2.111.485.077.978.050 den exakten Wert, bei n = 76 liefert sie ...706 statt F(76) = 3.416.454.622.906.707.

Bei n = 100 liefert sie 354.224.848.179.261.800.448 statt ...915.075 und weicht ab der 16. Stelle ab.

Deshalb berechnet der Rechner jedes Glied mit ganzen Zahlen und Fast-Doubling und stellt Binet in der Zeile „Binet-Formel in Gleitkomma“ nur gegenüber.

Für Hausaufgaben mit kleinem n ist Binet ein schöner Weg, für exakte Werte jenseits von n = 75 solltest du die Rekursion oder Fast-Doubling nutzen. Die Zeile nennt außerdem, um wie viel das Gleitkomma-Ergebnis danebenliegt.

Welche Folge entsteht mit den Startwerten 2 und 1?

Mit a₀ = 2 und a₁ = 1 und derselben Regel, jedes Glied als Summe der beiden vorigen zu bilden, entstehen die Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 (OEIS A000032). Das zehnte Glied ist 123, die Summe von a₀ bis a₁₀ beträgt 321.

Es gilt L(n) = F(n−1) + F(n+1); für n = 10 sind das 34 + 89 = 123. Für n = 100 ergibt der Rechner 792.070.839.848.372.253.127, wieder 21 Stellen.

Jede Folge dieser Art folgt a(n) = a₀·F(n−1) + a₁·F(n), nur der Anfang unterscheidet sich, und die Quotienten streben ebenfalls gegen φ. Im Rechner wählst du „Eigene Startwerte“ und trägst a₀ und a₁ ein, auch negative Werte und Zahlen bis 60 Stellen.

Erkennt der Rechner die Fibonacci- oder Lucas-Folge, benennt er sie in der Zeile „Art der Folge“.

Wie groß ist die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen?

Die Summe F(1) + … + F(n) ist F(n+2) − 1. Für n = 10 ist das F(12) − 1 = 144 − 1 = 143, und die Einzelsumme 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 ergibt ebenfalls 143.

Für n = 100 liefert der Rechner 927.372.692.193.078.999.175, ohne alle Glieder zu addieren. Der Grund: Jedes F(k) ist F(k+2) − F(k+1); in der Summe heben sich alle Terme bis auf F(n+2) und −F(2) = −1 auf.

Eine häufige Fehlannahme ist, die Summe sei F(n+2) selbst; dann wäre sie um genau 1 zu groß.

Bei der Folge bis zu einem Grenzwert gilt dieselbe Formel mit dem Index des letzten Glieds: Bis 100 ist das letzte Glied F(11), die Summe also F(13) − 1 = 232.

Der Rechner prüft das jedes Mal, indem er die Liste aufaddiert und mit der Formel vergleicht.

Hinweise

Ergebnis lesen: Stellenzahl, Folge bis 100 und Prüfung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Lies zuerst Glied und Stellenzahl. F(100) hat 21 Stellen, F(200) hat 42 und F(1.000) hat 209; die Stellenzahl wächst fast gleichmäßig, weil das Glied pro Schritt etwa um den Faktor φ = 1,618 zunimmt.

Ab n = 79 passt F(n) nicht mehr in 53 Bit; eine Gleitkommazahl kann den Wert dann nur noch gerundet darstellen. Die Zeile „Binet-Formel in Gleitkomma“ macht sichtbar, um wie viel sie danebenliegt.

Bei der Folge bis zu einem Grenzwert zählt die Anzahl der Glieder: Bis 100 sind es 12 Glieder mit der Summe 232 = F(13) − 1, bis 1000 sind es 17 Glieder mit dem letzten Glied 987 und der Summe 2.583.

Die nächste Fibonacci-Zahl, 1.597, liegt dann schon über der Grenze. Fibonacci-Zahlen bis 1000: 17 Glieder von F(0) = 0 bis F(16) = 987, die nächste Zahl 1597 liegt über der Grenze, die Summe aller Glieder ist 2583 Bei der Prüfung entscheidet das Kriterium von Gessel: 144 gehört dazu, denn 5 · 144² + 4 = 103.684 = 322²; 150 gehört nicht dazu und liegt zwischen F(12) = 144 und F(13) = 233.

Die Tabelle am Ende zeigt Glied, Quotient und Abweichung je Index, sodass du die Annäherung Zeile für Zeile verfolgen kannst.

Beträgt die Abweichung von φ bei n = 10 noch 3,87 · 10⁻⁴ und bei n = 30 nur 1,69 · 10⁻¹², reicht für große n der Wert 1,6180339887 als Näherung; für die exakte Aufgabe bleibt das ganzzahlige Glied maßgeblich.

Rechne bei Aufgaben immer mit dem Wert und dem Index zugleich, damit Zählweise und Ergebnis zusammenpassen.

Anwendung

Praxisbeispiel: Wege auf einer Treppe mit Fibonacci zählen

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Ausgangslage: Eine Schülerin soll in einer Informatikaufgabe zählen, auf wie vielen Wegen man eine Treppe mit 10 Stufen hinaufgeht, wenn jeder Schritt eine oder zwei Stufen überwindet.

Bei 10 Stufen ließe sich das noch aufschreiben, bei 50 nicht mehr. Ihre Überlegung: Der letzte Schritt kommt entweder von Stufe n−1 oder von Stufe n−2. Die Zahl der Wege erfüllt also W(n) = W(n−1) + W(n−2) mit W(1) = 1 und W(2) = 2.

Das ist die Fibonacci-Folge, um einen Index verschoben: W(n) = F(n+1). Im Rechner wählt sie „n-tes Glied“ und trägt n = 10 ein. Die Zeile „Nachfolger“ zeigt F(11) = 89, das ist die Zahl der Wege.

Mit n = 50 steht dort F(51) = 20.365.011.074, gut 20 Milliarden Wege. Treppe mit 10 Stufen: Die Zahl der Wege folgt der Fibonacci-Folge, W(10) = F(11) = 89; bei 50 Stufen sind es F(51) = 20365011074 Wege Entscheidung: Alle 20 Milliarden Wege per Programm zu erzeugen lohnt nicht, wenn nur ihre Anzahl gefragt ist.

Die Rekursion mit ganzen Zahlen liefert die Zahl sofort, und die Probe aus schrittweiser Addition und Cassini bestätigt sie. Die Aufgabe ist damit mit zwei Zahlen und einem Verweis auf F(n+1) beantwortet.

Zur Gegenprobe taugt die kleine Tabelle: W(1) bis W(10) lauten 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Dieselbe Rekursion zählt auch die Pflasterungen eines Streifens aus zwei Reihen mit Dominosteinen; bei 10 Spalten sind es ebenfalls 89 Möglichkeiten, bei 50 Spalten 20.365.011.074.

Wer so einen Zusammenhang erkennt, spart sich jede Einzelzählung und kann das Ergebnis über den Index n prüfen.

Fallstricke

Fünf typische Fehler bei der Fibonacci-Folge

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Fehler 1: Den Index verschieben. Liest du 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 als Liste, ist das zehnte aufgeschriebene Glied 34 = F(9); F(10) = 55 ist das elfte.

Wer die Null weglässt, zählt anders, und die Werte passen nicht zum Rechner, der ab F(0) zählt. Fehler 2: Die Binet-Formel für große n mit dem Taschenrechner nutzen.

Bei n = 76 liefert die Gleitkomma-Rechnung 3.416.454.622.906.706 statt 3.416.454.622.906.707, die letzte Ziffer stimmt nicht mehr. Für exakte Werte braucht es ganze Zahlen. Fehler 3: Den Quotienten für φ halten.

F(10) ÷ F(9) = 1,6176470588 ist ein Bruch, φ dagegen irrational; der Quotient liegt abwechselnd darunter und darüber und erreicht φ nie. Fehler 4: Die doppelte 1 übersehen. Bis 100 sind es 12 Glieder, aber nur 11 verschiedene Zahlen.

Wer eine Liste ohne Index führt, streicht die zweite 1 leicht oder zählt sie doppelt; beides verfälscht die Gliederzahl, und die Summe 232 passt dann nicht mehr zu F(13) − 1. Fehler 5: Die Summe falsch lesen.

F(1) bis F(10) ergeben 143, nicht 144; die Formel lautet F(n+2) − 1. Wer 144 meldet, hat das Glied F(12) mit der Summe verwechselt und liegt um genau 1 daneben.

Nächster Schritt

Fibonacci-Rechner: Fazit, Quellen und Grenzen

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Rechner liefert Fibonacci-Zahlen bis F(1.000) exakt, die Folge bis zu jedem Grenzwert, die Prüfung einer Zahl nach Gessel und Folgen mit eigenen Startwerten, jeweils mit Probe, Tabelle und dem Quotienten zum Goldenen Schnitt.

Entscheidend für verlässliche Werte sind die Zählung ab F(0) = 0, die Summenformel F(n+2) − 1 und die Grenze der Binet-Formel in Gleitkomma ab n = 76. Grundlage sind Knuth, The Art of Computer Programming Bd. 1 (3. Aufl. 1997, Abschn.

1.2.8), die Werte der OEIS A000045 und das Kriterium von Gessel (Fibonacci Quarterly 10, 1972), abgerufen am 10.10.2026.

Grenzen: Index bis 1.000, Prüfzahl bis 1.000 Stellen, nur die Rekursion mit zwei Vorgängern; mit den Fibonacci-Retracements der Chartanalyse hat der Rechner nichts zu tun.

Die gezeigten Werte stammen aus der Rechenfunktion und stimmen mit den Gliedern der OEIS überein. Weiter geht es mit dem Goldenen-Schnitt-Rechner, dem Folgen-und-Reihen-Rechner und dem Primzahl-Rechner.

Vertiefung

Rechenbeispiele: Fibonacci bis 100, Zahl 144 und Lucas-Zahlen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · 17 Glieder bis F(16) = 987, nächste Zahl 1.597, Summe 2.583

Fibonacci-Folge bis 1000

Was möchtest du berechnen?
Folge bis zu einem Grenzwert
Grenzwert
1000

Beispiel 2 · Mittel · F(100) = 354.224.848.179.261.915.075 mit 21 Stellen, Summe F(1) bis F(100) = 927.372.692.193.078.999.175

Das hundertste Glied

Was möchtest du berechnen?
n-tes Glied F(n)
Index n
100

Beispiel 3 · Komplex · Ja, F(12) = 144, denn 5 · 144² + 4 = 103.684 = 322²

Ist 144 eine Fibonacci-Zahl?

Was möchtest du berechnen?
Ist meine Zahl eine Fibonacci-Zahl?
Zahl für die Prüfung
144

Beispiel 4 · Komplex · Nein, 150 liegt zwischen F(12) = 144 und F(13) = 233

Ist 150 eine Fibonacci-Zahl?

Was möchtest du berechnen?
Ist meine Zahl eine Fibonacci-Zahl?
Zahl für die Prüfung
150

Beispiel 5 · Komplex · a(10) = 123, Summe a(0) bis a(10) = 321, Lucas-Folge (OEIS A000032)

Lucas-Zahlen mit den Startwerten 2 und 1

Was möchtest du berechnen?
Eigene Startwerte (z. B. Lucas-Zahlen)
Index n
10
Startwert a₀
2
Startwert a₁
1

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Weiternutzung

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  • Der Quotient F(k) ÷ F(k−1) pendelt um den Goldenen Schnitt φ = 1,6180 und nähert sich ihm: 1,6176 bei k = 10, 1,6182 bei k = 11

    Fibonacci-Quotient nähert sich dem Goldenen Schnitt φ = 1,6180

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       alt="Der Quotient F(k) ÷ F(k−1) pendelt um den Goldenen Schnitt φ = 1,6180 und nähert sich ihm: 1,6176 bei k = 10, 1,6182 bei k = 11"
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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/fibonacci-rechner">Fibonacci-Quotient nähert sich dem Goldenen Schnitt φ = 1,6180 auf Rechner-Portal</a></p>

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  • Fibonacci-Zahlen bis 1000: 17 Glieder von F(0) = 0 bis F(16) = 987, die nächste Zahl 1597 liegt über der Grenze, die Summe aller Glieder ist 2583

    Fibonacci-Zahlen bis 1000: 17 Glieder, das letzte ist 987

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<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/fibonacci-rechner">Fibonacci-Zahlen bis 1000: 17 Glieder, das letzte ist 987 auf Rechner-Portal</a></p>

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  • Treppe mit 10 Stufen: Die Zahl der Wege folgt der Fibonacci-Folge, W(10) = F(11) = 89; bei 50 Stufen sind es F(51) = 20.365.011.074 Wege

    Treppe mit 10 Stufen: 89 Wege nach Fibonacci

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       alt="Treppe mit 10 Stufen: Die Zahl der Wege folgt der Fibonacci-Folge, W(10) = F(11) = 89; bei 50 Stufen sind es F(51) = 20.365.011.074 Wege"
       width="760" height="360">
</a>
<p>Quelle: <a href="https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/fibonacci-rechner">Treppe mit 10 Stufen: 89 Wege nach Fibonacci auf Rechner-Portal</a></p>

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Quellen, Transparenz und Haftung

Haftungsausschluss

Die Ergebnisse dieses Rechners sind Orientierungswerte und ersetzen keine professionelle Beratung. Für verbindliche Entscheidungen – insbesondere in finanziellen, gesundheitlichen oder rechtlichen Angelegenheiten – empfehlen wir die Einholung fachkundiger Beratung. Aktuelle Vertrags-, Produkt- und Regulierungsdaten können von den Rechenwerten abweichen.

Rechnerspezifische Grenzen: Mathematikrechner bilden Standardverfahren ab. Für Klassenarbeiten, Prüfungen und Nachweise gelten die Vorgaben der Lehrkraft; die Zählung ab F(0) = 0 folgt der Fachliteratur und kann in Schulbüchern bei F(1) beginnen.

Quelle: Rekursion und Formeln nach Knuth (TAOCP Bd. 1, 1997) und OEIS A000045; Prüfkriterium nach Gessel (1972). Alle Rechnungen exakt mit ganzen Zahlen (BigInt).

Stand: 2026-10-10

Externe Fachquellen
Qualitätsnachweise
Verantwortlich
Kilian Achatz
Herausgeber
Rechner-Portal
Letzte fachliche Prüfung
10. Oktober 2026
Fachbereich
Mathematik / Algebra
Formeln basieren auf
Rekursion F(n) = F(n−1) + F(n−2) mit F(0) = 0, F(1) = 1; Fast-Doubling F(2k) = F(k)·(2·F(k+1) − F(k)) und F(2k+1) = F(k)² + F(k+1)²; Binet F(n) = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5; Summe F(1) + … + F(n) = F(n+2) − 1; Cassini F(n−1)·F(n+1) − F(n)² = (−1)ⁿ; Prüfkriterium: 5n² + 4 oder 5n² − 4 ist eine Quadratzahl; eigene Startwerte a(n) = a₀·F(n−1) + a₁·F(n).
Zitation & Richtlinien

APA-Format

Rechner-Portal (2026). Fibonacci-Rechner. Abgerufen von https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/fibonacci-rechner

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Rechner-Portal, 2026. Fibonacci-Rechner. Available at: https://rechner-portal.de/mathematik/algebra/fibonacci-rechner

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