Exponentielles Wachstum Rechner: Endwert, Zeit und Rate

Du multiplizierst den Startwert N0 mit dem Wachstumsfaktor q, und zwar so oft, wie Zeiteinheiten vergangen sind: N(t) = N0 · q^t. Bei einer Rate von 8 Prozent je Jahr ist q = 1,08.

Aus 1.000 werden nach 10 Jahren 1.000 · 1,08^10 = 2.158,92, also das 2,159-Fache. Im Rechner wählst du Wachstum, die Aufgabe „Endwert“, trägst Startwert, Rate und Zeit ein und liest Endwert, Faktor und Verdopplungszeit von 9,006 Jahren ab.

Achte darauf, dass Rate und Zeit dieselbe Einheit haben: 8 Prozent je Jahr gehören zu einer Zeit in Jahren. Eine häufige Fehlannahme lautet, man könne 10 Jahre mal 8 Prozent rechnen und käme auf +80 Prozent.

Tatsächlich sind es +115,89 Prozent, weil jedes Jahr auf den bereits gewachsenen Wert wirkt. Die Tabelle im Rechner zeigt dir jedes Jahr einzeln, sodass du die Handrechnung Zeile für Zeile prüfen kannst.

Die Verdopplungszeit ist T = ln 2 ÷ ln q. Bei 8 Prozent Wachstum je Jahr rechnest du 0,693147 ÷ ln 1,08 = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 Jahre. Bei 5 Prozent sind es 14,207 Jahre, bei 3 Prozent 23,45 Jahre.

Im Kopf hilft die Faustregel 70 ÷ Rate: 70 ÷ 3 ergibt 23,33 Jahre und liegt damit nah am exakten Wert. Die Regel der 72 funktioniert ähnlich und teilt sich leichter durch 12, 9 oder 6.

Beide Näherungen taugen bis etwa 25 Prozent Rate; bei höheren Raten weichen sie spürbar ab, dort gilt nur die Formel mit dem Logarithmus.

Im Rechner bekommst du die Verdopplungszeit bei jeder Aufgabe automatisch angezeigt, auch wenn du nur den Endwert oder die Rate suchst. Beim Zerfall heißt dieselbe Größe Halbwertszeit und wird nach derselben Formel mit dem Betrag von ln q berechnet.

Bei Wachstum addierst du die Rate als Anteil zu 1: 5 Prozent werden zu q = 1,05, 8 Prozent zu 1,08, 25 Prozent zu 1,25. Beim Zerfall ziehst du sie von 1 ab: Ein Verlust von 12 Prozent je Jahr ergibt q = 0,88.

Rechnerisch sinkt der Wert dann von 1.000 nach 5 Jahren auf 527,73. Mit q = 1,05 wachsen 1.000 in 10 Jahren auf 1.628,89.

Der häufigste Fehler ist, die Prozentzahl direkt als Faktor zu verwenden: Der Faktor 5 würde den Wert in jeder Zeiteinheit verfünffachen, der Faktor 0,05 ihn fast auslöschen.

Im Rechner kannst du die Veränderung wahlweise als Prozentsatz, als Faktor oder als Verdopplungs- beziehungsweise Halbwertszeit eingeben und siehst die beiden anderen Darstellungen als Ergebnis.

Bei einem Faktor, der nicht zum gewählten Modus passt, erscheint ein Hinweis statt einer Zahl. So fällt ein vertauschter Modus sofort auf, bevor falsche Zahlen weiterverwendet werden.

Gleicher Startzuwachs genügt schon: Bei 8 Prozent, also 80 je Jahr bei einem Startwert von 1.000, liegen beide Verläufe nach dem ersten Jahr gleichauf, danach führt der exponentielle. Nach 10 Jahren stehen 2.158,92 gegen 1.800.

Selbst ein linearer Verlauf mit fast doppeltem Zuwachs, nämlich 150 je Jahr, wird nach 16 Jahren eingeholt (3.425,94 gegen 3.400). Je kleiner der Startwert und je kleiner die Rate, desto später passiert das, aber es passiert immer.

Die Verlaufstabelle des Rechners zeigt beide Spalten nebeneinander und den Abstand dazwischen.

Die Fehlannahme, ein Prozess „wachse nur langsam“, weil er in den ersten Jahren kaum auffällt, ist gefährlich: Gerade in den ersten Zeilen sieht exponentielles Wachstum fast linear aus.

Entscheidend sind die letzten Zeilen, in denen im Standardfall 159,92 in einem Jahr dazukommen, im ersten Jahr nur 80. Plane deshalb mit dem Endwert, nicht mit dem Durchschnittszuwachs.

Du suchst die Zeit t mit q^t = 10, also t = ln 10 ÷ ln q. Bei 10 Prozent Wachstum ergibt das 2,302585 ÷ 0,09531 = 24,159 Jahre, bei 5 Prozent 47,194 Jahre und bei 2 Prozent 116,28 Jahre.

Das Zehnfache dauert also etwa 3,3-mal so lange wie die Verdopplung. Im Rechner wählst du die Aufgabe „Zeit bis zum Zielwert“, trägst Startwert 1.000, Rate und den Zielwert 10.000 ein und erhältst die Zeit mit dem Rechenweg.

Der Rechner nennt auch, nach wie vielen vollen Zeiteinheiten der Zielwert erreicht oder überschritten ist: bei 10 Prozent nach 25 Jahren.

Achte darauf, dass der Zielwert beim Wachstum über dem Startwert liegt, sonst kommt statt einer Zahl ein Hinweis. Ein häufiger Denkfehler ist, die Zeit bis zum Zehnfachen aus der Verdopplungszeit mal 10 zu schätzen; richtig ist der Logarithmus.

Rechne zur Kontrolle rückwärts: 1.000 · 1,1^24,159 ergibt wieder 10.000.

Nach jeder Halbwertszeit halbiert sich der Bestand, nach drei Halbwertszeiten sind es 0,5^3 = 12,5 Prozent.

Bei Jod-131 mit einer Halbwertszeit von etwa 8 Tagen bleiben von 100 nach 24 Tagen 12,5 übrig, nach 80 Tagen (zehn Halbwertszeiten) nur noch 0,09766, weniger als ein Tausendstel.

Cäsium-137 mit 30,2 Jahren Halbwertszeit hat nach 40 Jahren noch 39,929 von 100, also den Faktor 0,40, den das Bundesamt für Strahlenschutz für 2026 gegenüber 1986 nennt.

Im Rechner stellst du den Modus auf Zerfall, wählst „Verdopplungszeit bzw. Halbwertszeit“ und trägst die Halbwertszeit samt Zeit ein. Ein verbreiteter Irrtum ist, nach zwei Halbwertszeiten sei alles zerfallen; tatsächlich bleiben 25 Prozent.

Ebenso wenig wird ein Stoff nach einer festen Frist ungefährlich, nur weil der Rechner kleine Reste anzeigt.

Für Strahlenschutz und Messwerte gelten amtliche Grenzwerte, nicht die Restmenge allein, und der Rechner ersetzt keine Bewertung durch Fachleute.

Du teilst den Endwert durch den Startwert, ziehst die t-te Wurzel und subtrahierst 1: r = (N ÷ N0)^(1/t) − 1. Aus 1.200 werden in 3 Jahren 1.500: Das Verhältnis ist 1,25, die dritte Wurzel 1,077217, die Rate also 7,7217 Prozent je Jahr.

Wer stattdessen 25 Prozent durch 3 teilt, erhält 8,33 Prozent und überschätzt die Rate, weil er das Aufzinsen ignoriert. Bei 2.000 Nutzern, die in sechs Monaten auf 5.000 steigen, ergeben sich 16,4993 Prozent je Monat.

Im Rechner wählst du die Aufgabe „Rate aus Start- und Endwert“, trägst beide Werte und die Zeit ein und bekommst Rate, Faktor, Verdopplungszeit und eine Probe im Rechenweg.

Die Rate ist ein Mittelwert über den Zeitraum; schwankte das Wachstum stark, beschreibt sie den Verlauf nur grob. Beim Zerfall funktioniert die Rechnung genauso, nur ist die Rate dann 1 minus q.

Weil Platz, Nahrung, Kapital oder Nachfrage endlich sind. Bei 8 Prozent je Jahr wächst ein Wert von 1.000 in 100 Jahren auf 2.199.761,26, und nach etwa 449 Jahren wären es mehr als eine Trillion (10^18).

Der Rechner zeigt Endwerte über 10^18 deshalb nicht mehr an und nennt stattdessen den Grund.

In der Praxis geht exponentielles Wachstum meist in logistisches Wachstum über: Am Anfang steigt die Kurve fast exponentiell, später flacht sie ab und nähert sich einer Obergrenze.

Nutze den Rechner deshalb für die Phase, in der der Faktor tatsächlich konstant war, und prüfe regelmäßig mit neuen Messwerten, ob er noch stimmt. Ein Zinseszins auf dem Sparkonto bleibt dagegen konstant, solange der Zinssatz fest ist.

Hier ist das Modell verlässlich, weil kein Sättigungseffekt eingreift; schwieriger sind Fälle wie Nutzerzahlen, Epidemien oder Preise, bei denen Wirkungen zurückkoppeln.

Prüfe deshalb immer, ob der Faktor aus der Vergangenheit auch für die Zukunft gelten darf.