Kombinatorik-Rechner – Permutation, Kombination, Variation

Mathematik

Zwischen Permutation, Kombination, Variation und Binomialköffizient wählen, n und k...

Quelle: Abzählformeln für Permutation, Kombination, Variation und Binomialköffizient mit ganzzahligen n- und k-WertenStand: Juni 2026

Eingabe

Hier Werte eingeben und Optionen anpassen.

Überblick

Was ist der Kombinatorik-Rechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Aus 9 Kandidaten lassen sich 504 geordnete Rollenbesetzungen, aber nur 84 ungeordnete Dreier-Teams bilden — dieselbe Frage, zwei völlig andere Antworten, je nachdem ob Reihenfolge zählt. Dieser Rechner löst Auswahl- und Anordnungsprobleme mit Permutation, Variation und Kombination, mit und ohne Wiederholung.

Er zeigt dir je nach Fragestellung die passende Zählart, also Permutation, Variation oder Kombination, und verhindert damit typische Fehlgriffe bei Wahrscheinlichkeits- und Statistikaufgaben.

Kombinatorische Überlegungen begegnen uns in vielen Lebensbereichen: beim Zusammenstellen von Teams, beim Erstellen von Zugangscodes, bei der Planung von Spielplänen oder bei der Analyse von Versuchsanordnungen.

Der Kombinatorik-Rechner macht das Durchzählen dieser Möglichkeiten präzise und schnell.

Entscheidend ist dabei immer die Vorüberlegung, ob die Reihenfolge der ausgewählten Elemente relevant ist und ob dieselben Elemente mehrfach verwendet werden dürfen.

Je nach Antwort auf diese zwei Fragen ergeben sich vier grundlegende Zählmodelle, die der Rechner alle abdeckt: geordnete Auswahl mit Wiederholung, geordnete Auswahl ohne Wiederholung, ungeordnete Auswahl mit Wiederholung und ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Du wählst zuerst den Aufgabentyp und gibst dann n als Gesamtanzahl sowie k als Anzahl der Ziehungen oder Plätze ein. Optional legst du fest, ob Wiederholung erlaubt ist.

Häufige Eingabefehler sind vertauschte n- und k-Werte, negative Zahlen, nicht ganzzahlige Eingaben und die falsche Annahme, dass Reihenfolge immer oder nie relevant sei.

Bei sehr großen n-Werten, etwa n > 20 mit k > 10, können die berechneten Zahlen astronomisch groß werden, was bei Taschenrechnern zu Überlauf führt.

Der Rechner verarbeitet solche Werte intern mit erweiterter Genauigkeit, aber für Prüfungsaufgaben sollte das Ergebnis zusätzlich auf Plausibilität anhand einer Überschlagsrechnung geprüft werden.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Die passende Formel richtet sich nach zwei Fragen: Zählt die Reihenfolge und darf ein Element mehrfach vorkommen? Ohne Wiederholung gilt für eine vollständige Anordnung n!, für geordnete Auswahlen n!

/ (n-k)! und für ungeordnete Auswahlen C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!). Mit Wiederholung rechnet der Rechner bei geordneten Auswahlen mit n^k und bei ungeordneten Auswahlen mit C(n+k-1,k).

Beispiel: Aus 10 Personen ein 3er-Team zu bilden ergibt 120 Möglichkeiten. Wenn dieselben drei Plätze Gold, Silber und Bronze unterscheiden, entstehen 720 Anordnungen. Genau daran zeigt sich, wie stark die Reihenfolge das Ergebnis verändert.

Der Binomialkoeffizient C(n,k) lässt sich auch als n über k schreiben und ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung unverzichtbar für die Berechnung binomialverteilter Ereignisse.

Für sehr große Werte ist die Stirling-Näherung für Fakultäten eine nützliche Abkürzung bei Größenordnungs-Überschlagsrechnungen.

Nachschlagen

Kombinatorik-Formeln: Permutation, Kombination und Variation

Die Kombinatorik unterscheidet sechs Grundtypen - je nachdem, ob die Reihenfolge zaehlt und ob Elemente mehrfach verwendet werden duerfen.

Kombinatorik-Formeln mit Beispielen fuer n = 5 Elemente, k = 2 Auswahl
Typ	Formel	Ergebnis (n=5, k=2)	Reihenfolge relevant?	Wiederholung?	Alltagsbeispiel
Permutation ohne Wiederholung	P(n) = n!	5! = 120	Ja	Nein	Anordnung von 5 Buechern im Regal
Permutation mit Wiederholung	P(n; k1,...) = n! / (k1! * k2! * ...)	abh. von Haeufigkeiten	Ja	Ja	Anordnung ABBA (4 Buchst., 2x A, 2x B): 4!/(2!*2!) = 6
Kombination ohne Wiederholung	C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)	C(5,2) = 10	Nein	Nein	Lotto: 6 aus 49 waehlen (Reihenfolge egal)
Kombination mit Wiederholung	C(n,k) = (n+k-1)! / (k! (n-1)!)	C*(5,2) = 15	Nein	Ja	2 Kugeln aus 5 Farben ziehen (zuruecklegen)
Variation ohne Wiederholung	V(n,k) = n! / (n-k)!	V(5,2) = 20	Ja	Nein	Gold-/Silber-/Bronze-Vergabe unter 5 Sportlern
Variation mit Wiederholung	V*(n,k) = n^k	V*(5,2) = 25	Ja	Ja	2-stellige PIN aus 5 Ziffern (Ziffern wiederholbar)

Quelle: Stochastik-Lehrplan KMK; n = Gesamtanzahl der Elemente, k = Anzahl der ausgewaehlten Elemente. n! = 1*2*3*...*n (Fakultaet).

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Stelle vor jeder Rechnung im Kombinatorik-Rechner genau zwei Leitfragen: Geht es um eine ungeordnete Kombination oder um eine geordnete Variation beziehungsweise Permutation, und sind Wiederholungen erlaubt? Diese Entscheidungen bestimmen unmittelbar die passende Zählformel für Auswahl- und Anordnungsprobleme.

Praxisbeispiel: Bei der Vergabe von Gold, Silber und Bronze unter 8 Teilnehmenden ist die Reihenfolge entscheidend und führt zu 8 × 7 × 6 = 336 Möglichkeiten, während ein ungeordnetes 3er-Team aus denselben 8 Personen nur 56 Kombinationen hat.

Nutze außerdem die Faustformel: Wenn die Anzahl der Möglichkeiten deutlich größer als 1.000 wird, handelt es sich fast immer um eine Variation oder Permutation mit Reihenfolge und nicht um eine ungeordnete Kombination.

Für Lottosysteme ist C(49,6) = 13.983.816 ein bekannter Richtwert, der zeigt, wie dramatisch Kombinationszahlen bei größeren Parametern wachsen.

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall: Ein Softwareunternehmen besetzt drei Projektrollen (Leitung, Stellvertretung, Koordination) aus einem Pool von neun internen Kandidaten.

Da die Rollen unterschiedlich sind, zählt die Reihenfolge: Variation ohne Wiederholung V(9,3) = 9 × 8 × 7 = 504 mögliche Besetzungen. Für ein ungeordnetes Drei-Personen-Team ohne Rollenunterschied wäre es dagegen C(9,3) = 9! ÷ (3!

× 6!) = 84 Kombinationen. Der Unterschied von 504 zu 84 zeigt: Sobald Rangfolge oder Aufgabenzuweisung ins Spiel kommen, steigt die Anzahl möglicher Konstellationen deutlich.

Für die HR-Planung bedeutet das, dass bei 9 Kandidaten und drei differenzierten Rollen 504 strukturell unterschiedliche Besetzungen denkbar sind, von denen viele durch interne Kompetenzprofile und Verfügbarkeiten ausgeschlossen werden können.

Als ergänzenden Planungsschritt hilft ein Entscheidungsbaum, alle zulässigen Kandidatenkombinationen strukturiert zu gliedern.

Für große Pools mit vielen Rollenebenen wächst die Anzahl strukturell verschiedener Besetzungen exponentiell, weshalb frühzeitige Einschränkungen durch Kompetenzen und Verfügbarkeiten die Auswahl auf praktisch handhabbare Konstellationen reduzieren.

Vertiefung

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Typische Fehler beginnen bei der Leitfrage, ob die Reihenfolge überhaupt zählt. Wer ein Team auswählt, braucht Kombinationen; wer Podiumsplätze verteilt, Variationen oder Permutationen.

Ebenso oft wird übersehen, ob Wiederholungen erlaubt sind, etwa bei Zahlencodes gegenüber Sitzplätzen.

Vertauschte n- und k-Werte führen zusätzlich zu unplausiblen Ergebnissen, und nicht ganzzahlige Eingaben passen grundsätzlich nicht zur klassischen Kombinatorik.

Ein dritter verbreiteter Fehler ist das Übersehen der Wiederholungserlaubnis: Bei einem Zahlenschloss mit den Ziffern 0 bis 9 auf drei Stellen sind Wiederholungen erlaubt, sodass 10³ = 1.000 Kombinationen entstehen und nicht C(10,3) = 120.

Wer bei Teamselektion vergisst, dass Teams ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung zu modellieren sind, überschätzt die Anzahl möglicher Teams systematisch um den Faktor k!.

Prüfe deshalb bei jeder Aufgabe zunächst schriftlich, ob die Elemente tatsächlich unterscheidbar und die Plätze tatsächlich geordnet sind.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Kombinatorik-Rechner bestimmt je nach Aufgabentyp Permutationen, Variationen oder Kombinationen mit oder ohne Wiederholung.

Prüfe, ob die Reihenfolge im Aufgabenmodell wirklich zählt, und verifiziere das Ergebnis mit einem kleinen manuellen Gegencheck.

Für die Praxis empfiehlt sich außerdem ein kurzer Überlegungsrahmen: Immer dann, wenn Reihenfolge und Wiederholung einheitlich für alle Elemente geregelt sind, ist der Rechner direkt anwendbar.

Sobald unterschiedliche Regeln für einzelne Elemente gelten, muss die Aufgabe in Teilschritte zerlegt werden.

Generell gilt: Je größer der Parameterraum, desto wichtiger wird die strukturierte Vorarbeit, um Zählmodell und Aufgabentyp zuverlässig abzugleichen.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · Anzahl: 10³ = 1.000

Wie viele 3-stellige Codes?

Type: Variation mit Zurücklegen
n: 10
k: 3

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Kombinatorik-Rechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Welchen Modus soll ich im Kombinatorikrechner zuerst wählen?

Starte immer mit der Grundfrage der Aufgabe: Geht es um eine Anordnung aller Elemente, um eine Auswahl ohne Reihenfolge oder um eine Auswahl mit Reihenfolge?

Genau daraus ergeben sich Permutation, Kombination oder Variation als die drei Grundmodi des Rechners. Erst wenn dieser Modus klar ist, kann der Rechner die passende Formel anwenden und die Gesamtanzahl der Möglichkeiten sinnvoll bestimmen.

Frage dich zusätzlich, ob jedes Element nur einmal vorkommt oder ob Wiederholung erlaubt ist, denn diese zweite Entscheidung verzweigt jeden Modus noch einmal in zwei Varianten.

Eine falsche Moduswahl liefert zwar eine Zahl, aber eine, die die eigentliche Aufgabe gar nicht beantwortet.

Beispiel zur Orientierung: Beim Lottoziehen ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung ist Kombination der richtige Modus, beim PIN-Code mit Reihenfolge und erlaubter Wiederholung dagegen die Variation mit Wiederholung.

Lege also zuerst Modus und Wiederholung fest, bevor du Zahlen einträgst.

Was verändern Reihenfolge und Wiederholung konkret?

Reihenfolge entscheidet, ob zwei gleich besetzte Auswahlen als identisch oder als verschieden gezählt werden. Wiederholung klärt, ob ein Element mehrfach in derselben Auswahl vorkommen darf.

Diese beiden Entscheidungen bestimmen fast den gesamten Rechenweg und erklären, warum ähnlich formulierte Textaufgaben zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen.

Beispiel: 3 Buchstaben aus 5 ohne Wiederholung ergeben 10 Kombinationen, mit Wiederholung dagegen 35 Kombinationen. Die Variationsformel ohne Wiederholung lautet V(n,k) = n!/(n−k)!, mit Wiederholung lautet sie V(n,k) = n hoch k.

Für k=3 Stellen aus n=5 verschiedenen Symbolen ergeben sich so 60 geordnete Varianten ohne Wiederholung, aber 125 geordnete Varianten mit Wiederholung.

Schon ein einziger Klick auf das Wiederholungs-Häkchen kann die Antwort also verdoppeln oder mehr als verdoppeln.

Prüfe deshalb bei jeder Aufgabe bewusst beide Schalter, bevor du das Ergebnis übernimmst, denn hier entstehen die häufigsten Modellierungsfehler.

Wann brauche ich die Häufigkeiten-Liste für Permutation mit Wiederholung?

Die Häufigkeiten-Liste brauchst du nur dann, wenn einzelne Elemente mehrfach identisch vorkommen, etwa bei Wörtern mit doppelten Buchstaben wie ANNA oder bei mehrfach gleichen Objekten in einer Anordnungsaufgabe.

Dann muss der Rechner wissen, wie oft jede gleichartige Gruppe vertreten ist, um mehrfach gezählte identische Anordnungen wieder herauszukürzen.

Wichtig ist, dass sich alle angegebenen Häufigkeiten zusammen exakt zu n addieren, sonst stimmt das Modell nicht mit der Eingabe überein und das Ergebnis wird falsch.

Beim Wort ANNA mit dem Häufigkeitsvektor (2,1,1) liefert die Multinomialformel 4!/(2!·1!·1!) = 12 verschiedene Buchstabenanordnungen statt der naiven 24 Permutationen für vier komplett verschiedene Symbole.

Allgemein gilt die Multinomialformel n!/(k1!·k2!·…·km!), wobei jedes ki angibt, wie oft die i-te Sorte auftritt. Lass die Liste also leer, solange alle Elemente verschieden sind, und fülle sie erst bei echten Mehrfach-Elementen aus.

Warum darf k in manchen Modi nicht größer als n sein?

Bei Kombinationen oder Variationen ohne Wiederholung kannst du nicht mehr Elemente auswählen, als insgesamt vorhanden sind. Jedes Element darf nur einmal gewählt werden, also ist die Bedingung k kleiner oder gleich n hier zwingend notwendig.

Genau deshalb blockiert der Rechner Fälle mit k größer als n in diesen Modi und gibt eine entsprechende Hinweismeldung aus, statt eine sinnlose Zahl zu liefern.

Mathematisch sichtbar wird das an der Formel C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!): Für k größer als n würde der Term (n−k)! eine Fakultät einer negativen Zahl verlangen, die nicht definiert ist.

Nur bei Aufgaben mit Wiederholung darf die Zahl der Plätze oder Ziehungen größer sein als die Zahl der verfügbaren verschiedenen Elemente, weil dort jedes Element beliebig oft erneut auftauchen kann.

Prüfe daher zuerst, ob Wiederholung erlaubt ist, wenn dir der Rechner k größer als n verweigert.

Was macht der Binomialkoeffizient im Rechner?

Der Binomialkoeffizient C(n,k), oft gelesen als n über k, zählt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus n auszuwählen, wenn die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt. Er entspricht damit genau dem Fall Kombination ohne Wiederholung.

Im Rechner ist er nützlich, wenn du Auswahlprobleme direkt als C(n,k) modellieren oder das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe verknüpfen willst, ohne erst über die Modusbezeichnung nachzudenken.

Formal gilt C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!); für n=6 und k=2 ergibt das 15 verschiedene Paare. Im Pascalschen Dreieck enthält Zeile n genau die Folge C(n,0) bis C(n,n), und benachbarte Einträge addieren sich zum Wert darunter.

Als Gewichtungsfaktor im Binomialterm P(X=k) = C(n,k)·p hoch k·(1−p) hoch (n−k) gibt der Binomialkoeffizient an, auf wie viele Weisen sich k Treffer auf n unabhängige Versuche verteilen lassen.

Wie prüfe ich ein Ergebnis schnell auf Plausibilität?

Nimm eine kleine Testversion der Aufgabe und zähle die Möglichkeiten zunächst von Hand durch.

Wenn dein Rechenweg schon bei drei oder vier Elementen nicht mit der Handauszählung übereinstimmt, ist meist der gewählte Modus oder eine der beiden Entscheidungen Reihenfolge und Wiederholung falsch gesetzt.

Dieser Gegencheck ist oft hilfreicher als nur eine große Endzahl zu betrachten, weil er den Fehler direkt auf den Modellierungsschritt zurückführt. Beispiel: Kombinationen ohne Wiederholung aus n=4 und k=2 ergeben C(4,2)=6.

Eine manuelle Auszählung aller zweielementigen Teilmengen aus den Buchstaben A, B, C und D liefert AB, AC, AD, BC, BD und CD, also tatsächlich genau sechs Stück.

Zeigt der Rechner hier stattdessen 12 oder gar 24, ist fälschlicherweise der Variations- statt der Kombinationsmodus aktiv. Mit dieser kleinen Probe findest du Modellierungsfehler in Sekunden, bevor du auf große Zahlen vertraust.

Wie hängt Kombinatorik mit Wahrscheinlichkeit zusammen?

Viele Wahrscheinlichkeitsaufgaben im Laplace-Modell brauchen zuerst die Gesamtzahl möglicher Ergebnisse und die Anzahl günstiger Ergebnisse. Genau diese Zählbasis liefert die Kombinatorik.

Der Kombinatorikrechner ist deshalb häufig der Vorbau für Laplace- und Auswahlaufgaben: Du bestimmst mit ihm zuerst die günstigen und die möglichen Fälle und bildest danach den Quotienten als eigentliche Wahrscheinlichkeit im Wahrscheinlichkeitsrechner.

Im Binomialterm P(X=k) = C(n,k)·p hoch k·(1−p) hoch (n−k) ist der Faktor C(n,k) genau die Anzahl der Möglichkeiten, k Treffer auf n Versuche zu verteilen.

Beim Lotto etwa liefert C(49,6) = 13.983.816 mögliche Tippreihen, woraus sich die Gewinnwahrscheinlichkeit unmittelbar als 1 geteilt durch diesen Wert ergibt.

Neben Laplace- und Binomialmodellen taucht kombinatorisches Zählen auch in Stichprobenplanung, Versicherungsmathematik und Kryptographie auf, wo Permutationsgruppen und Auswahlmengen grundlegende Bausteine für Sicherheitsanalysen bilden.

Warum werden die Ergebnisse so schnell riesig?

Weil Fakultäten und Potenzen sehr stark wachsen, sobald n oder k auch nur moderat ansteigen. Die Fakultät n! ist definiert als das Produkt n·(n−1)·…·1, sie multipliziert also bei jedem zusätzlichen Element einen weiteren Faktor hinzu. So ist 5!

bereits 120, 10! aber schon 3.628.800, und 2 hoch 10 ergibt 1.024.

Genau dieses explosive Wachstum macht den Kombinatorikrechner bei Permutation, Kombination und Variation besonders nützlich, weil sich solche Zahlen kaum noch im Kopf bewältigen lassen.

Die Größenordnung des Ergebnisses ist dabei selbst ein wichtiges Plausibilitätssignal: Wenn das Ergebnis überraschend klein bleibt, ist häufig eine restriktivere Modellierung wie ohne Wiederholung aktiv, obwohl Wiederholung eigentlich erlaubt wäre.

Bleibt es dagegen unerwartet groß, lohnt der Blick, ob fälschlich Reihenfolge oder Wiederholung mitgezählt wird, die laut Aufgabenstellung gar nicht gelten.

Weiterführende Rechner und Themen

Alle Anschlussrechner und Vertiefungen in einem klaren Modul, damit du direkt zur nächsten sinnvollen Berechnung springen kannst.

WahrscheinlichkeitAus der Anzahl der Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit berechnen.Potenzen berechnenGroße Anzahlen als Potenz kompakt darstellen und rechnen.DurchschnittsrechnerArithmetisches Mittel, Summe, Anzahl, Minimum und Maximum einer Wertegruppe berechnen.MedianrechnerMedian und Modus einer Wertegruppe berechnen – inklusive Sortierung und Einordnung.ProzentrechnerProzentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen – universeller Prozentrechner.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.StandardabweichungsrechnerMittelwert, Varianz und Standardabweichung für Population oder Stichprobe berechnen.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.Statistik Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Statistik mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.Kombinatorik-Rechner über alle Filter weiter eingrenzenSuche für weitere Varianten, Kategorien und Rechentypen mit ähnlichem Intent.