IEEE 754 Konverter: Dezimal in Gleitkomma umrechnen

IEEE 754 ist ein internationaler Standard für die Darstellung von Gleitkommazahlen in Computern. Er definiert, wie Dezimalzahlen als binäre Bitmuster aus Vorzeichen, Exponent und Mantisse gespeichert werden.

Nahezu alle modernen Prozessoren, Programmiersprachen und Betriebssysteme implementieren IEEE 754 für Gleitkommaberechnungen.

Der Standard umfasst mehrere Formate, von denen binary32 (32 Bit, auch float genannt) und binary64 (64 Bit, auch double genannt) die gebräuchlichsten sind.

Der Rechner wandelt eine beliebige Dezimalzahl in beiden Formaten in die zugehörige Bitfolge, Hex-Darstellung und Kategorie um und zeigt zusätzlich den Rundungsfehler gegenüber dem exakten Dezimalwert.

Trage die Dezimalzahl ein und wähle binary32 als Format, dann liefert der Rechner Vorzeichen-Bit, Exponent, Mantisse sowie die vollständige Hex- und Binärdarstellung.

Für minus 2,5 zeigt der Rechner das Vorzeichen-Bit 1 (negativ), den Exponent 10000000 (Exponentwert 1 nach Abzug des Bias 127) und die Mantisse 01000000000000000000000, zusammen die Hexdarstellung 0xC0200000.

Der Grund: minus 2,5 lässt sich exakt als minus 1,25 mal 2 hoch 1 schreiben, weshalb hier kein Rundungsfehler entsteht.

Bei 0,1 dagegen zeigt der Rechner die Hexdarstellung 0x3DCCCCCD und einen Rundungsfehler ungleich Null, weil 0,1 im Binärsystem ein periodischer Bruch ist und mit nur 23 Mantissenbits nicht exakt gespeichert werden kann.

Dieser Unterschied zwischen exakt und periodisch darstellbaren Zahlen ist der Kern dessen, was der Rechner für jede beliebige Eingabe sofort sichtbar macht.

Im Binärsystem ist 0,1 ein periodischer Bruch (0,0001100110011... endlos), ähnlich wie 1/3 im Dezimalsystem (0,333... endlos). Da die Mantisse in IEEE 754 nur endlich viele Bits hat (23 bei binary32, 52 bei binary64), muss der Wert gerundet werden.

Der Rechner zeigt das für 0,1 im Format binary32 direkt: Die Hexdarstellung lautet 0x3DCCCCCD, und der tatsächlich gespeicherte Wert weicht minimal vom exakten Dezimalwert 0,1 ab.

Addiert man zwei solcher Näherungen (0,1 und 0,2), kumulieren sich die Rundungsfehler, und das Ergebnis lautet in den meisten Programmiersprachen 0,30000000000000004 statt 0,3.

Das Problem betrifft nicht nur 0,1: Auch 0,2, 0,3, 0,6 und 0,7 sind periodische Binärbrüche und damit nicht exakt speicherbar, während Werte wie 0,5 oder 0,25 als endliche Zweierpotenzen exakt dargestellt werden können.

Das Vorzeichen-Bit bestimmt, ob die Zahl positiv (0) oder negativ (1) ist.

Der Exponent gibt die Größenordnung der Zahl an — er wird mit einem Bias gespeichert (127 bei binary32, 1023 bei binary64), damit auch negative Exponenten ohne separates Vorzeichen darstellbar sind.

Die Mantisse (auch Signifikand genannt) enthält die signifikanten Stellen der Zahl. Bei normalisierten Zahlen wird das führende Bit 1 nicht mitgespeichert (implizites Bit), sodass ein zusätzliches Bit Präzision gewonnen wird.

Für minus 2,5 im Format binary32 liefert der Rechner konkret: Vorzeichen-Bit 1, Exponent-Bits 10000000 (Rohwert 128, nach Abzug des Bias 127 also Exponentwert 1) und Mantisse 01000000000000000000000 — zusammengenommen ergibt das minus 1,25 mal 2 hoch 1 gleich minus 2,5.

binary32 (float) verwendet 32 Bit: 1 Vorzeichen, 8 Exponent, 23 Mantisse. Es bietet etwa 7 Dezimalstellen Präzision und einen Wertebereich bis ca. 3,4 mal 10 hoch 38. binary64 (double) verwendet 64 Bit: 1 Vorzeichen, 11 Exponent, 52 Mantisse.

Es bietet etwa 15 bis 16 Dezimalstellen Präzision und einen Wertebereich bis ca. 1,8 mal 10 hoch 308.

JavaScript verwendet intern ausschließlich binary64 für alle Zahlen, weshalb Rundungsfehler wie bei 0,1 plus 0,2 dort mit 52 statt nur 23 Mantissenbits zwar kleiner ausfallen, aber grundsätzlich genauso auftreten.

Der Rechner zeigt beide Formate für dieselbe Eingabe nebeneinander, sodass du direkt siehst, wie viele zusätzliche Mantissenbits binary64 für dieselbe Zahl bereitstellt und wie sich dadurch der Rundungsfehler verkleinert.

Denormalisierte (oder subnormale) Zahlen treten auf, wenn der Exponent null ist und die Mantisse ungleich null. Bei normalisierten Zahlen hat die Mantisse ein implizites führendes Bit 1, bei denormalisierten entfällt dieses Bit.

Dadurch können Werte sehr nahe an Null dargestellt werden, die sonst auf exakt Null gerundet würden. Der Preis ist ein Verlust an Präzision, weil weniger signifikante Bits zur Verfügung stehen.

Die kleinste positive denormalisierte binary32-Zahl ist etwa 1,4 mal 10 hoch minus 45.

Der Rechner erkennt diesen Fall automatisch an der Kategorie Denormalisiert und unterscheidet ihn von Normalisiert, Null, Infinity und NaN — so siehst du sofort, in welchem Bereich des Zahlenraums deine Eingabe liegt, ohne die Bits selbst interpretieren zu müssen.

NaN (Not a Number) entsteht bei undefinierten Operationen wie 0 geteilt durch 0 oder der Wurzel einer negativen Zahl. In IEEE 754 wird NaN durch einen Exponent mit allen Bits auf 1 und eine Mantisse ungleich Null kodiert.

Infinity (positiv oder negativ) wird durch einen Exponent mit allen Bits auf 1 und eine Mantisse mit allen Bits auf 0 dargestellt.

Infinity entsteht bei Division durch Null oder bei Überlauf des Wertebereichs, etwa wenn eine binary32-Zahl den Wert 3,4 mal 10 hoch 38 übersteigt.

Der Rechner ordnet jede Eingabe automatisch einer von fünf Kategorien zu: Normalisiert, Denormalisiert, Null, Infinity oder NaN, erkennbar an der jeweiligen Bitmuster-Besonderheit im Exponent- und Mantissenfeld.

Exakt darstellbar sind Zahlen, die sich als endliche Summe von Zweierpotenzen schreiben lassen.

Dazu gehören ganzzahlige Werte bis 2 hoch 24 (binary32) bzw. 2 hoch 53 (binary64) sowie Brüche wie 0,5 (2 hoch minus 1), 0,25 (2 hoch minus 2), 0,75 (2 hoch minus 1 plus 2 hoch minus 2) und 0,125 (2 hoch minus 3).

Nicht exakt darstellbar sind unter anderem 0,1, 0,2, 0,3, 0,6 und 0,7 — alle erzeugen periodische Binärbrüche.

Der Rechner zeigt diesen Unterschied direkt am Rundungsfehler-Feld: Für minus 2,5 (exakt als Summe von Zweierpotenzen darstellbar) liefert er einen Rundungsfehler von null, für 0,1 dagegen einen Rundungsfehler ungleich null.

Probiere beide Werte im Rechner aus, um den Unterschied zwischen exakt und periodisch darstellbaren Zahlen unmittelbar am eigenen Beispiel zu sehen.

Die Hex-Darstellung fasst die 32 oder 64 Bits in Vierergruppen zusammen, die jeweils einer Hexadezimalziffer (0 bis F) entsprechen. Bei binary32 ergeben sich 8 Hex-Ziffern, bei binary64 16 Hex-Ziffern.

Für 0,1 im Format binary32 liefert der Rechner die Hexdarstellung 0x3DCCCCCD, für minus 2,5 im selben Format 0xC0200000 — am führenden Hex-Zeichen C statt 3 erkennst du hier sofort das gesetzte Vorzeichen-Bit für eine negative Zahl.

Diese Darstellung wird in Debuggern, Hex-Editoren und Speicher-Dumps verwendet, um den exakten binären Wert einer Gleitkommazahl zu prüfen, ohne alle einzelnen Bits einzeln lesen zu müssen.

Willst du umgekehrt von einer bekannten Hex- oder Bitfolge auf die Dezimalzahl schließen, musst du Vorzeichen-, Exponent- und Mantissenbits manuell nach der IEEE-754-Formel zusammensetzen, denn der Rechner rechnet ausschließlich in Richtung Dezimalzahl zu Bitfolge.