IEEE 754 Konverter: Dezimal in Gleitkomma umrechnen

Max debuggt einen Finanz-Service, der Steuerbetraege als float speichert. Ein Testfall ergibt fuer 100 Euro mit 19 Prozent Umsatzsteuer einen Nettobetrag von 84,033615 statt 84,03.

Er gibt 84,03 im Rechner in binary32 ein und sieht: Gespeicherter Wert 84,0300003, Rundungsfehler 3,05 · 10⁻⁶. Der Fehler liegt in der siebten Nachkommastelle — bei Multiplikationen kumuliert er.

Max wechselt auf binary64: Gespeicherter Wert 84,03 mit Rundungsfehler 1,42 · 10⁻¹⁴. Das erklaert, warum der Bug nur bei float, nicht bei double auftritt.

Sein Fix: Alle Geldbetraege als Ganzzahl in Cent speichern (8403 statt 84,03) — dann gibt es keinen Rundungsfehler, weil Ganzzahlen bis 2⁵³ in binary64 exakt darstellbar sind.

In einem zweiten Fall prueft Max, warum ein Machine-Learning-Modell im binary16-Inferenzmodus (half precision) Artefakte zeigt. Er gibt den Gewichtswert 0,000015 ein und sieht in binary32: exakt darstellbar mit kleinem Fehler.

In binary16 (nicht im Rechner, aber das Prinzip ist dasselbe) haette die Mantisse nur 10 Bit statt 23 — zu wenig, um den Wert sinnvoll abzubilden.

Der haeufigste Fehler ist die Annahme, dass Dezimalzahlen wie 0,1 oder 0,3 exakt in IEEE 754 darstellbar sind. Das Binaersystem kann nur Brueche exakt abbilden, deren Nenner eine Zweierpotenz ist — 1/2, 1/4, 3/8.

Alle anderen Brueche (1/3, 1/5, 1/10) erzeugen periodische Binaerbrueche, die bei endlicher Mantisse gerundet werden. Zweiter Fehler: Den Exponentenwert direkt aus den Bits ablesen, ohne den Bias abzuziehen.

Bei binary32 ist der gespeicherte Exponent 127 hoeher als der tatsaechliche. Bits 01111111 bedeuten nicht Exponent 127, sondern Exponent 0 (also 2⁰ = 1). Umgekehrt bedeuten 00000001 nicht Exponent 1, sondern Exponent -126.

Dritter Fehler: Denormalisierte Zahlen mit normalen Zahlen gleichsetzen. Bei denormalisierten Zahlen entfaellt das implizite fuehrende Bit — die Mantisse beginnt mit 0 statt mit 1.

Dadurch verlieren denormalisierte Zahlen Praezision, erlauben aber die Darstellung sehr kleiner Werte nahe Null, die sonst auf exakt Null gerundet wuerden.

Der IEEE-754-Konverter zerlegt eine Dezimalzahl in Vorzeichen, Exponent und Mantisse nach dem IEEE-754-Standard und zeigt die Hex-Darstellung sowie den Rundungsfehler fuer binary32 und binary64.

Er macht sichtbar, warum Gleitkommazahlen wie 0,1 in Computern nicht exakt gespeichert werden koennen und wie sich Rundungsfehler zwischen 32-Bit- und 64-Bit-Darstellung unterscheiden.

Fuer Zahlensystem-Umrechnungen zwischen Binaer, Oktal, Dezimal und Hexadezimal nutze den Zahlen-Basis-Konverter. Zeichenkodierungen wie ASCII und Unicode zeigt der ASCII-Zeichencode-Rechner. Die Base64-Kodierung fuer binaere Daten berechnet der Base64-Encoder-Decoder.