Zweierkomplement-Rechner: Dezimal in Binär umrechnen

Das Zweierkomplement ist das in der Informatik gaengigste Verfahren, um vorzeichenbehaftete Ganzzahlen binaer darzustellen. Jede Zahl wird als Folge von n Bits gespeichert, wobei positive Werte mit dem Bit 0 und negative Werte mit dem Bit 1 beginnen.

Bei 8 Bit reicht der Wertebereich von -128 bis 127, bei 16 Bit von -32768 bis 32767 und bei 32 Bit von -2147483648 bis 2147483647.

Der wesentliche Vorteil gegenueber aelteren Kodierungen wie Einerkomplement oder Vorzeichen-Betrag liegt darin, dass die CPU Addition und Subtraktion mit derselben Schaltung ausfuehrt und keine doppelte Null existiert.

Die Null hat exakt eine Darstellung, naemlich alle Bits auf 0. Dieser Rechner wandelt einen Dezimalwert in die zugehoerige Binaerfolge um, zeigt den Hexadezimalwert und prueft, ob der Wert in der gewaehlten Bitbreite gueltig ist.

Beispiel: Der Dezimalwert -42 ergibt im 8-Bit-Zweierkomplement die Binaerfolge 11010110 und den Hexwert 0xD6.

Fuer eine negative Dezimalzahl d wendet der Rechner die Formel Z = NOT(|d|) + 1 an. Zuerst wird der Absolutbetrag in Binaer umgewandelt und auf die gewaehlte Bitbreite mit fuehrenden Nullen aufgefuellt.

Dann invertiert der Rechner jedes Bit — aus 0 wird 1 und umgekehrt — und addiert abschliessend 1 zum Ergebnis. Konkretes Beispiel: Fuer -42 im 8-Bit-Modus ergibt der Absolutbetrag 42 die Binaerfolge 00101010.

Nach der Bitinversion entsteht 11010101, und die Addition von 1 liefert 11010110 mit dem Hexwert 0xD6.

Positive Zahlen werden dagegen direkt in Binaer umgewandelt und mit fuehrenden Nullen auf die Bitbreite aufgefuellt, etwa 127 als 01111111 mit dem Hexwert 0x7F.

Im Modus Binaer zu Dezimal liest der Rechner die eingegebene Bitfolge und rekonstruiert den vorzeichenbehafteten Dezimalwert, indem er das hoechste Bit als Vorzeichenbit interpretiert und bei gesetztem Bit den Rueckweg ueber Invertierung und Addition berechnet.

Der Wertebereich haengt von der Bitbreite ab und ist stets asymmetrisch: Es gibt eine negative Zahl mehr als positive. Bei 8 Bit reicht der Bereich von -128 bis 127, also 256 verschiedene Werte.

Bei 16 Bit erstreckt er sich von -32768 bis 32767 mit insgesamt 65536 Werten. Bei 32 Bit umfasst er -2147483648 bis 2147483647. Die allgemeine Formel lautet: Der kleinste darstellbare Wert ist -2^(n-1), der groesste ist 2^(n-1) - 1.

Die Asymmetrie entsteht, weil die Null als nicht-negative Zahl einen Platz auf der positiven Seite belegt und das Bitmuster mit allen Einsen im hoechsten Bit und Nullen in den restlichen Bits keinen positiven Gegenwert hat.

Gibt man einen Wert ein, der ausserhalb des gueltigen Bereichs liegt, etwa 200 bei 8 Bit, erkennt der Rechner den Ueberlauf und begrenzt das Ergebnis automatisch auf den naechstliegenden gueltigen Wert.

So wird 200 bei 8 Bit auf 127 geklemmt und das Ueberlauf-Flag gesetzt.

Bei 8 Bit liegt der groesste darstellbare positive Wert im Zweierkomplement bei 127 und der kleinste bei -128. Der Wert 200 ueberschreitet diese obere Grenze um 73 Einheiten.

Der Rechner erkennt das, setzt das Ueberlauf-Flag auf 1 und begrenzt den Dezimalwert auf 127. Das Ergebnis zeigt dann die Binaerdarstellung von 127, naemlich 01111111 mit dem Hexwert 0x7F, damit keine fehlerhafte Bitfolge entsteht.

Ohne diese Begrenzung wuerde 200 dezimal in Binaer als 11001000 erscheinen. Im Zweierkomplement wuerde diese Folge aber als -56 interpretiert, was ein voellig falsches Vorzeichen und einen falschen Betrag ergaebe.

Genau diese stille Fehlinterpretation passiert in vielen Programmiersprachen, wenn ein vorzeichenbehafteter Integer ueberlaeuft. Der Rechner macht den Ueberlauf stattdessen explizit sichtbar und warnt vor dem Datenverlust.

Willst du den Wert 200 korrekt darstellen, wechselst du auf 16 Bit mit dem Bereich -32768 bis 32767 und erhaeltst 0000000011001000 als gueltige Binaerfolge ohne Ueberlauf.

Die hexadezimale Ausgabe fasst die Binaerdarstellung in eine kompaktere Schreibweise zusammen. Jeweils vier Bits werden zu einer Hexadezimalziffer von 0 bis F zusammengefasst.

Bei 8 Bit entsteht ein zweistelliger Hexwert, bei 16 Bit ein vierstelliger und bei 32 Bit ein achtstelliger Wert. Der Dezimalwert -42 ergibt im 8-Bit-Zweierkomplement die Binaerfolge 11010110, was hexadezimal 0xD6 entspricht.

Dabei wird die obere Haelfte 1101 zu D und die untere Haelfte 0110 zu 6. Programmierer verwenden Hexadezimalwerte, weil sie im Quellcode kompakter sind als Binaer und die Bitstruktur trotzdem erhalten bleibt.

Ein Blick auf 0xD6 verraet sofort, dass das hoechste Bit gesetzt ist, weil D hexadezimal dem Binaerwert 1101 entspricht und die fuehrende 1 eine negative Zahl signalisiert.

Der Wert -1 im 16-Bit-Modus ergibt 0xFFFF, also alle Bits gesetzt, was die Verifikation jeder einzelnen Bitposition auf einen Blick erlaubt.

Beim Einerkomplement wird nur jedes Bit invertiert, ohne anschliessend 1 zu addieren. Fuer -42 bei 8 Bit ergibt das Einerkomplement daher 11010101 statt 11010110 im Zweierkomplement — die Differenz betraegt genau 1.

Der entscheidende Nachteil des Einerkomplements ist die doppelte Null: Sowohl 00000000 als auch 11111111 stellen den Wert Null dar, was in der Hardware zusaetzliche Vergleichs- und Korrekturlogik erfordert.

Im Zweierkomplement gibt es nur eine Null, naemlich 00000000, und das Bitmuster 11111111 steht fuer den Wert -1 mit dem Hexwert 0xFF.

Dadurch deckt das Zweierkomplement einen um eins groesseren negativen Bereich ab: Bei 8 Bit reicht er bis -128 statt nur bis -127 beim Einerkomplement.

Moderne Prozessoren verwenden ausnahmslos das Zweierkomplement, weil die Addition zweier Zahlen unabhaengig vom Vorzeichen dieselbe Schaltung durchlaeuft und kein nachtraeglicher Korrekturschritt noetig ist.

Der Rechner auf dieser Seite arbeitet ebenfalls ausschliesslich mit dem Zweierkomplement und zeigt die Formel Z = NOT(|d|) + 1.

Das hoechste Bit, auch MSB oder Most Significant Bit genannt, zeigt im Zweierkomplement das Vorzeichen an. Ist es 0, handelt es sich um eine nicht-negative Zahl, ist es 1, um eine negative Zahl.

Der Rechner gibt dieses Ergebnis im Feld ist_negativ aus. Bei -42 im 8-Bit-Modus lautet die Binaerfolge 11010110 — das fuehrende Bit ist 1, also ist der Wert negativ. Bei 127 ergibt sich 01111111 — das fuehrende Bit ist 0, also ist der Wert positiv.

Wichtig ist, dass das MSB nicht einfach ein separates Vorzeichenbit wie bei der Vorzeichen-Betrag-Darstellung ist. Im Zweierkomplement traegt es den Stellenwert -2^(n-1), bei 8 Bit also den Wert -128.

Die restlichen Bits addieren ihre positiven Stellenwerte dazu. Fuer 11010110 ergibt das: -128 + 64 + 16 + 4 + 2 = -42. Deshalb darf das MSB nicht isoliert als Vorzeichen abgetrennt und der Rest als Betrag gelesen werden.

Nahezu jede CPU seit den 1970er Jahren verwendet das Zweierkomplement fuer vorzeichenbehaftete Ganzzahlen. In C und C++ nutzen die Datentypen int, short und long diese Darstellung, ebenso Java mit byte, short, int und long.

Python wandelt intern beliebig grosse Ganzzahlen um, aber Bibliotheken wie struct und ctypes arbeiten mit festen Bitbreiten im Zweierkomplement.

In der Embedded-Entwicklung tritt das Zweierkomplement bei Sensorwerten auf, etwa wenn ein Temperatursensor negative Celsiuswerte als vorzeichenbehaftete 16-Bit-Ganzzahl mit dem Wertebereich -32768 bis 32767 liefert.

Netzwerkprotokolle wie TCP verwenden vorzeichenbehaftete Felder im Zweierkomplement, zum Beispiel fuer Sequenznummern und Fensterwerte. Auch in Dateiformaten wie WAV speichern die Audiosamples vorzeichenbehaftete Ganzzahlen im Zweierkomplement.

Der Rechner auf dieser Seite hilft, solche Werte manuell zu pruefen: Man gibt den Dezimalwert ein, waehlt die passende Bitbreite und liest die Binaer- und Hexdarstellung direkt ab, ohne selbst invertieren und addieren zu muessen.