Gravitationskraft berechnen: Formel F = G·m₁·m₂/r²

Sie lautet F = G · m₁ · m₂ ÷ r²: Die Kraft ist das Produkt aus der Gravitationskonstante G und beiden Massen, geteilt durch das Quadrat des Abstands ihrer Mittelpunkte.

G beträgt 6,674 30 · 10⁻¹¹ m³/(kg·s²), die Massen setzt du in kg, den Abstand in m ein, dann erhältst du die Kraft in Newton. Ein Beispiel: Zwei Massen von je 1 kg im Abstand 1 m ziehen sich mit F = 6,674 · 10⁻¹¹ N an.

Im Rechner wählst du „Gravitationskraft F“, trägst m₁, m₂ und r mit Einheiten ein und liest F in wissenschaftlicher Notation und im Rechenweg ab.

Das Gesetz gilt für Punktmassen und kugelsymmetrische Körper und ist Newtons Näherung; für sehr starke Felder oder genaue Bahnberechnungen braucht man die Relativitätstheorie.

Beide Körper erfahren dieselbe Kraft, nur in entgegengesetzter Richtung, so dass die Reihenfolge von m₁ und m₂ für F keine Rolle spielt.

G = 6,674 30(15) · 10⁻¹¹ m³/(kg·s²) nach CODATA 2022 (NIST); der Wert der Ausgabe 2018 ist derselbe. Die Zahl in Klammern ist die Standardunsicherheit der letzten Stellen, also 0,000 15 · 10⁻¹¹.

Mit einer relativen Unsicherheit von etwa 2 · 10⁻⁵ ist G vergleichsweise ungenau bekannt, anders als die exakt festgelegte Normfallbeschleunigung g_n = 9,806 65 m/s². Der Rechner nutzt den gerundeten Wert 6,6743 · 10⁻¹¹ und zeigt ihn im Rechenweg an.

Ein Beispiel: Mit 1 kg, 1 kg und 1 m ergibt sich F = 6,674 · 10⁻¹¹ N, das ist G selbst, weil die übrigen Faktoren 1 sind. Im Rechner musst du G nicht eingeben; es ist fest hinterlegt und lässt sich nicht verändern.

Wer mit einem Schulwert 6,67 · 10⁻¹¹ rechnet, weicht um etwa 0,06 Prozent ab. Die Einheit ist wichtig: m³ pro kg und s², damit am Ende Newton herauskommen, wenn Massen in kg und Abstand in m stehen.

Du setzt die Massen und den Abstand der Mittelpunkte in F = G · m₁ · m₂ ÷ r² ein: Erde 5,9722 · 10²⁴ kg, Mond 7,346 · 10²² kg, mittlerer Abstand 384.400 km.

Das ergibt F = 6,6743 · 10⁻¹¹ · 5,972 · 10²⁴ · 7,346 · 10²² ÷ (3,844 · 10⁸ m)² = 1,982 · 10²⁰ N. Im Rechner wählst du die Vorbelegung „Erde und Mond“; sie trägt 1 Erdmasse, 7,346e22 kg und 384.400 km ein, du kannst jeden Wert danach ändern.

Die Fallbeschleunigung der Erde im Mondabstand beträgt 0,002698 m/s². Die Daten stammen aus den NASA-Datenblättern, der Abstand ist ein Mittelwert, denn die Mondbahn ist elliptisch, so dass die Kraft über den Monat schwankt.

Der Rechner beschreibt keine Bahn. Mit 384.400 m statt km wäre das Ergebnis um den Faktor 10⁶ zu groß, deshalb lohnt der Blick auf die gewählte Einheit.

Sie nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab: Doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft, dreifacher Abstand ein Neuntel, halber Abstand das Vierfache. Das Gesetz heißt deshalb Abstandsgesetz oder Gesetz vom inversen Quadrat.

Ein Beispiel mit Erde und Mond: Bei 384.400 km sind es 1,982 · 10²⁰ N, bei doppeltem Abstand 4,954 · 10¹⁹ N.

Verdoppelst du eine Masse, verdoppelt sich die Kraft, verdoppelst du beide, vervierfacht sie sich; verdoppelst du Massen und Abstand zugleich, bleibt F gleich.

Die Ergebnistabelle des Rechners zeigt diese Faktoren für deine Werte, berechnet mit derselben Funktion. Die Kraft wird nie null, sie wird mit wachsendem Abstand nur beliebig klein.

Das Gesetz gilt für Abstände zwischen den Mittelpunkten; innerhalb eines Körpers, etwa im Erdinneren, gilt es nicht in dieser Form. Der Rechner gibt dann keine Warnung aus, du musst r selbst prüfen.

Du teilst die Kraft durch die Probemasse: g = F ÷ m₂ = G · m₁ ÷ r², wobei m₁ die anziehende Masse und r der Abstand zu deren Mittelpunkt ist. Die Probemasse kürzt sich heraus.

Ein Beispiel: Für die Erde (5,9722 · 10²⁴ kg) und r = 6.371 km ergibt sich g = 9,82 m/s², nahe den 9,806 65 m/s² der Normfallbeschleunigung. Im Abstand des Mondes sind es nur 0,002698 m/s².

Im Rechner siehst du diesen Wert als „Fallbeschleunigung im Abstand r“ für jede Eingabe, die Rechnung bezieht sich auf die Masse m₁.

Die Normfallbeschleunigung gilt als exakter Wert, weicht aber von der Rechnung ab, weil die Erde keine perfekte Kugel ist, sich dreht und ihre Dichte nicht gleichmäßig ist.

Die Fallbeschleunigung hängt also vom Ort ab, besonders von der geografischen Breite und der Höhe. Für Schulaufgaben genügt der Wert 9,81 m/s².

Die Gewichtskraft ist die Gravitationskraft der Erde auf einen Körper nahe der Oberfläche, genähert als F_G = m · g mit g = 9,806 65 m/s². Die Gravitationskraft ist der allgemeinere Begriff für die Anziehung zwischen zwei beliebigen Massen.

Ein Beispiel: Für einen Menschen von 75 kg liefert das Gravitationsgesetz mit Erdmasse und Erdradius 736,5 N, die Gewichtskraft mit Normfallbeschleunigung 735,5 N; das Verhältnis ist 1,001.

Zwischen zwei Massen von je 1 kg im Abstand 1 m wirken dagegen nur 6,674 · 10⁻¹¹ N, rund 1,5 · 10¹¹ mal weniger als die Gewichtskraft von 9,807 N. Im Rechner zeigt das Ergebnis dieses Verhältnis an, damit du die Größenordnung einordnest.

Die Gewichtskraft hängt vom Ort ab, die Masse nicht: Auf dem Mond wiegt derselbe Körper nur etwa ein Sechstel, seine Masse bleibt gleich. Der Rechner nutzt für die Gewichtskraft immer die Erde.

Du stellst F = G · m₁ · m₂ ÷ r² um: m₁ = F · r² ÷ (G · m₂), m₂ = F · r² ÷ (G · m₁) und r = √(G · m₁ · m₂ ÷ F).

Ein Beispiel für den Abstand: Zwei Massen von je 1.000 t, also 10⁶ kg, ziehen sich mit F = 1 N an, wenn r = √(6,6743 · 10⁻¹¹ · 10⁶ · 10⁶ ÷ 1) = 8,17 m ist.

Ein Beispiel für die Masse: Zieht die Erde eine Masse von 75 kg im Abstand 6.371 km mit 735,5 N an, bleibt für m₁ rund 5,964 · 10²⁴ kg.

Im Rechner wählst du oben die gesuchte Größe; das passende Feld verschwindet, und die Kraft F erscheint als Eingabe mit Einheit mN, N oder kN.

Die Kraft muss größer als 0 sein, und das Ergebnis muss in den Bereich des Rechners fallen, sonst erscheint ein Fehlertext. Bei kleinen Kräften ist die Rundung der Eingabe entscheidend.

Du setzt den Abstand der Mittelpunkte beider Körper ein, nicht die Höhe über der Oberfläche.

Bei der Anziehung der Erde auf einen Menschen an der Oberfläche ist r gleich dem Erdradius von 6.371 km; wer nur 1 m einsetzt, erhält 2,99 · 10¹⁶ N statt 736,5 N. Für einen Satelliten in 400 km Höhe wäre r = 6.371 km + 400 km = 6.771 km.

Im Rechner gibt es für den Abstand die Einheiten mm, m, km, Erdradien und AE; 1 Erdradius sind 6.371 km (volumenmittlerer Radius, NASA), 1 AE genau 149.597.870.700 m.

Die Vorbelegungen „Erde und Mond“, „Erde und Sonne“ und „Mensch auf der Erdoberfläche“ tragen die passenden Mittelwerte ein.

Die Annahme gilt für Kugeln mit gleichmäßiger Dichte oder aus gleichmäßigen Kugelschalen; bei sehr unregelmäßigen Körpern ist das Ergebnis nur eine Näherung und kein Messwert.