Schiefe Ebene berechnen: Hangabtrieb, Normalkraft, Reibung

Die Hangabtriebskraft ist der Teil der Gewichtskraft, der parallel zur geneigten Fläche abwärts zieht: F_H = m · g · sin α. Für 10 kg auf 30° ergibt das 10 · 9,81 · 0,5 = 49,05 N.

Im Rechner trägst du die Masse ein, wählst die Neigung als Winkel, Steigung oder Höhe und Länge und liest F_H direkt ab. Bei 5° sind es nur 8,55 N, bei 45° schon 69,37 N, denn der Sinus wächst mit dem Winkel von 0 auf 1.

Ein häufiger Fehler ist, Sinus und Kosinus zu vertauschen: Dann erhält man bei 30° den Wert 84,96 N, der in Wahrheit die Normalkraft ist. Prüfe dein Ergebnis mit der Tabelle im Ergebnis, die F_H für Winkel von 5° bis 45° mit deiner Masse zeigt.

Mit Reibung wirkt der Hangabtrieb gegen die Reibungskraft, den Unterschied zeigen die Felder für Zugkraft und Haltekraft.

Die Normalkraft ist der Anteil der Gewichtskraft senkrecht zur Fläche: F_N = m · g · cos α. Für 10 kg auf 30° sind das 98,10 N · 0,866 = 84,96 N, bei 20° 92,18 N, bei 45° 69,37 N.

Sie ist kleiner als die Gewichtskraft, sobald die Fläche geneigt ist, und wird bei 90° null, weil die Fläche dann nichts mehr trägt. Wichtig ist die Normalkraft für die Reibung: F_R = μ · F_N.

Wer die Reibung stattdessen aus der Gewichtskraft bildet, rechnet bei 30° mit 29,43 N statt mit 25,49 N (μ = 0,3).

Im Rechner steht die Normalkraft neben der Hangabtriebskraft; beide zusammen setzen sich vektoriell zur Gewichtskraft zusammen, und F_H² + F_N² ergibt F_G².

Bei waagerechter Fläche ist F_N gleich der Gewichtskraft, bei 0° Neigung wirkt kein Hangabtrieb, der Rechner verlangt daher mindestens 0,1°.

Ein Körper rutscht, sobald tan α größer wird als die Haftreibungszahl μ_H. Der Grenzwinkel ist α = arctan μ_H.

Für Holz auf Holz (μ_H = 0,5) sind das 26,6°, für Stahl auf Stahl, trocken (0,6) 31,0°, für Gummi auf trockenem Beton (1,0) 45,0° und für Stahl auf Eis (0,04) nur 2,3°. Die Masse spielt dabei keine Rolle, denn sie kürzt sich heraus.

Im Rechner wählst du ein Materialpaar oder gibst μ_H selbst ein und liest das Ergebnis „Rutscht der Körper?“ und den Grenzwinkel ab.

Die Reibungszahlen der Tabelle sind Näherungswerte nach OpenStax; in der Praxis ändern Feuchte, Staub und Oberflächen sie deutlich. Der Grenzwinkel ist deshalb ein Modellwert und keine Aussage zur Sicherheit einer Rampe oder Ladung.

Bei einem angestoßenen Körper entscheidet die kleinere Gleitreibungszahl: Holz auf Holz gleitet schon ab 16,7° weiter, rutscht aber erst ab 26,6° von selbst los.

Die Steigung in Prozent ist der Tangens des Winkels mal 100: α = arctan(p ÷ 100). 20 % ergeben 11,3°, 30 % ergeben 16,7° und 100 % genau 45°. Umgekehrt entspricht 30° einer Steigung von 57,7 %.

Kennst du statt der Steigung die Höhe h und die schräge Länge l, gilt α = arcsin(h ÷ l): 0,5 m Höhe auf 3 m Länge sind 9,6° oder 16,9 %. Die Länge ist dabei die Strecke entlang der Ebene, nicht die waagerechte Grundlänge; sie beträgt hier 2,958 m.

Im Rechner wählst du unter „Neigung angeben als“ die passende Form und trägst die Werte ein, die Umrechnung in den Winkel übernimmt er und zeigt sie im Rechenweg.

Der häufigste Fehler ist, Prozent und Grad gleichzusetzen: 30 % sind nur 16,7° und bringen 28,19 Newton Hangabtrieb für 10 kg statt der 49,05 Newton, die 30° ergeben.

Um einen Körper gleichförmig die Ebene hinaufzuziehen, musst du den Hangabtrieb und die Gleitreibung überwinden: F_Zug = F_H + F_R. Für 10 kg auf 20 % Steigung (α = 11,3°) mit μ = 0,3 sind das 19,24 N plus 28,86 N, zusammen 48,10 N.

Ohne Reibung wären es nur 19,24 N. Bei einer Kiste von 80 kg auf einem Brett von 3 m Länge und 0,6 m Höhe aus Holz kommen 156,96 N Hangabtrieb und 230,68 N Reibung auf 387,64 N; senkrecht anheben kostet 784,80 N.

Die Reibung macht hier rund 60 Prozent der Zugkraft aus, deshalb helfen Rollen oder eine Gleitunterlage mehr als eine flachere Rampe.

Die Haltekraft ist der umgekehrte Fall: Ein gleitender Körper wird mit F_H − F_R gehalten, ein haftender braucht keine Kraft. Die Formeln stammen aus dem Kräftegleichgewicht; der Rechner nennt keine Zulässigkeit.

Ohne Reibung gilt a = g · sin α, für 30° also 4,905 m/s². Mit Gleitreibung wird daraus a = g · (sin α − μ · cos α), nie kleiner als 0: Holz auf Holz (μ_G = 0,3) beschleunigt bei 30° mit 2,356 m/s², bei 27° mit 1,831 m/s².

Haftet der Körper noch, ist die Beschleunigung 0; für Holz auf Holz ist das bis 26,6° der Fall. Die Masse kürzt sich heraus, ein schwerer und ein leichter Block beschleunigen gleich.

Nur g ändert sich: Auf dem Mond (1,62 m/s²) sind es bei 30° ohne Reibung 0,810 m/s². Im Rechner ändert sich g im gleichnamigen Feld.

Gilt der Körper als rollend, etwa eine Kugel oder ein Zylinder, gilt eine andere Formel mit einem Formfaktor, den dieser Rechner nicht abbildet: Er rechnet mit einem gleitenden Körper, der als Massenpunkt behandelt wird.

Weil die Fläche nur den Teil des Gewichts aufnimmt, der senkrecht auf sie drückt. Der Rest zieht den Körper entlang der Fläche abwärts.

Mathematisch zerlegt man die Gewichtskraft F_G in zwei senkrechte Anteile: F_N = F_G · cos α und F_H = F_G · sin α.

Für 10 kg ist F_G = 98,10 N; auf 30° bleiben 84,96 N als Normalkraft, auf 45° sind es 69,37 N und der Hangabtrieb ist gleich groß, 69,37 N. Je steiler die Fläche, desto weniger trägt sie und desto mehr zieht abwärts.

Die Waage unter dem Körper würde bei geneigter Fläche entsprechend weniger anzeigen, und auch die Reibung wird kleiner, weil sie mit der Normalkraft wächst.

Im Rechner siehst du beide Anteile nebeneinander und in der Tabelle für Winkel von 5° bis 45°; bei 5° trägt die Fläche fast das ganze Gewicht, nämlich 97,73 N.

Nur als Rechenhilfe, nicht als Sicherheitsnachweis. Der Rechner liefert Kräfte für eine ideale, ebene Fläche mit konstanter Reibungszahl, etwa die Zugkraft von 387,64 N für 80 kg auf einem Holzbrett von 11,5°.

Er kennt aber weder Kippen, Durchbiegen des Bretts, nasse oder verschmutzte Flächen noch die Belastbarkeit von Rampen und Ladungssicherung.

Reibungszahlen aus der Tabelle sind Näherungen; Holz auf Holz hat zum Beispiel μ_H = 0,5, doch Nässe, Staub und der Zustand der Oberfläche verändern solche Zahlen im Alltag erheblich. Auch der Grenzwinkel (26,6° bei Holz auf Holz) ist ein Modellwert.

Für Rampen, Ladung und Fahrzeuge gelten Vorschriften und eine fachliche Prüfung; für die Zugkraft beim Hinaufziehen von Hand oder mit Seilwinde gilt der Rechenwert nur als Orientierung.

Plane zusätzlich Sicherheit ein, sichere die Last gegen Zurückrutschen und lass die Anordnung von einer Fachperson prüfen, bevor du sie benutzt.