Schiefer Wurf berechnen: Weite, Höhe, Zeit (schräger Wurf)

Du zerlegst die Anfangsgeschwindigkeit in eine waagerechte Komponente v₀x = v₀·cos α und eine senkrechte Komponente v₀y = v₀·sin α. Waagerecht bewegt sich der Körper gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt: y(t) = h₀ + v₀y·t − g·t²/2.

Die Flugzeit folgt aus y = 0, die Wurfweite ist W = v₀x·T, die Gipfelhöhe H = h₀ + v₀y² ÷ (2·g). Mit 20 m/s, 45° und h₀ = 0 sind v₀x und v₀y je 14,14 m/s, die Flugzeit beträgt 2,88 s, die Wurfweite 40,77 m und die Gipfelhöhe 10,19 m.

Auf ebenem Boden vereinfacht sich die Weite zu W = v₀²·sin(2α) ÷ g. Schiefer Wurf und schräger Wurf meinen dasselbe Verfahren, nur der Name unterscheidet sich je nach Lehrbuch.

Trage die Werte im Rechner ein, dann steht jeder Schritt im Rechenweg mit eingesetzten Zahlen. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Grad steht und nicht auf Bogenmaß, sonst stimmt schon der Sinus nicht.

Bei gleicher Abwurf- und Landehöhe wirft 45° am weitesten, denn sin(2α) ist dann am größten. Mit 20 m/s sind das 40,77 m. Winkel, die sich zu 90° ergänzen, fliegen gleich weit: 30° und 60° kommen je auf 35,31 m, 15° und 75° je auf 20,39 m.

Sobald der Körper aus einer Höhe startet, wird der beste Winkel flacher. Bei 13 m/s und 2 m Abwurfhöhe liegt er bei 42,01° mit 19,12 m, bei 40° sind es 19,08 m und bei 45° 19,04 m. Die Formel dazu lautet β = arctan(v₀ ÷ √(v₀² + 2·g·h₀)).

Das Maximum ist breit: Fünf Grad daneben kosten hier nur Zentimeter, viel mehr verlierst du erst mit sehr flachen oder sehr steilen Winkeln.

Der Rechner nennt den weitenoptimalen Winkel zu deinen Eingaben immer mit, und der Winkelvergleich zeigt die Weiten von 15° bis 75° nebeneinander. Halte also nicht starr an 45° fest, wenn du aus der Hand wirfst.

Mit Anfangshöhe fliegt der Körper weiter, weil er nach dem Gipfel noch tiefer fallen kann, bevor er den Boden erreicht. Die Flugzeit wird T = (v₀y + √(v₀y² + 2·g·h₀)) ÷ g statt 2·v₀y ÷ g.

Ein Ball mit 15 m/s unter 35° kommt vom Boden aus auf 21,55 m, aus 1,8 m Höhe auf 23,87 m, und die Flugzeit steigt von 1,75 s auf 1,94 s. Beim Kugelstoß mit 13 m/s und 40° sind es aus 2 m Höhe 19,08 m statt 16,97 m.

Auch die Auftreffgeschwindigkeit wächst: √(v₀² + 2·g·h₀) ergibt beim Ball 16,13 m/s statt 15 m/s, und er trifft unter 40,40° statt unter 35° auf.

Trage in h₀ die Höhe des Abwurfpunkts über dem Boden ein, bei einem Wurf aus der Hand etwa die Schulterhöhe, nicht die Höhe, die der Ball im Flug erreicht. Mit dem Wert 0 erhältst du die Schulformel für ebenen Boden zurück.

Du trägst einen negativen Abwurfwinkel ein, zum Beispiel −30°, und eine Abwurfhöhe über 0 m. Dann ist v₀y negativ, der Körper steigt nicht, und sein höchster Punkt ist der Abwurfpunkt.

Mit 10 m/s unter −30° aus 10 m Höhe ergeben sich eine Flugzeit von 1,01 s, eine Wurfweite von 8,72 m und eine Auftreffgeschwindigkeit von 17,21 m/s unter 59,79°. Es gilt dieselbe Flugzeitformel, nur zählt v₀y negativ.

Aus 0 m Höhe ist ein Wurf nach unten sinnlos: Der Körper trifft sofort auf, und der Rechner meldet Flugzeit 0 und Wurfweite 0 mit einem Erklärtext, statt eine Zahl zu erfinden.

Ein waagerechter Wurf (0°) ist der Grenzfall dazwischen: 20 m/s aus 2 m Höhe fliegen 12,77 m weit und brauchen 0,64 s. Bei −90° fällt der Körper senkrecht, die Wurfweite ist dann 0.

Zu deiner Abwurfhöhe zeigt der Rechner außerdem den weitenoptimalen Winkel an.

Wähle den Modus für den Abwurfwinkel und trage Anfangsgeschwindigkeit, Abwurfhöhe und Zielweite ein. Intern entsteht aus y(x) = 0 eine quadratische Gleichung für tan α.

Mit 40 m/s und 100 m auf gleicher Höhe liefert sie zwei Winkel: 18,91° (flach, 2,64 s Flugzeit, 8,56 m Gipfel) und 71,09° (steil, 7,71 s, 72,99 m). Beide ergänzen sich bei h₀ = 0 zu 90°.

Genau am Rand der Reichweite, hier bei 163,10 m, bleibt nur ein Winkel von 45°; weiter weg ist das Ziel nicht erreichbar.

Dann zeigt der Rechner einen Text statt einer Zahl und nennt die Mindestgeschwindigkeit: Für 200 m sind es 44,29 m/s (159,5 km/h). Mit Abwurfhöhe wird die flache Lösung kleiner, bei großer Höhe sogar negativ.

Über die Auswahl „flach oder steil“ rechnest du Flugzeit und Auftreffwinkel für die Bahn durch, die du werfen willst.

Bei gleicher Abwurf- und Landehöhe trifft der Körper mit genau der Abwurfgeschwindigkeit auf, unter dem Abwurfwinkel, nur nach unten gerichtet: 20 m/s unter 45° sind beim Aufprall wieder 20 m/s unter 45°.

Mit Abwurfhöhe wächst die Geschwindigkeit nach der Energieerhaltung auf v_E = √(v₀² + 2·g·h₀): 13 m/s aus 2 m ergeben 14,43 m/s, das sind 51,95 km/h. Der Rechner kommt über die Komponenten √(v₀x² + v_y²) auf denselben Wert.

Der Auftreffwinkel folgt aus arctan(|v_y| ÷ v₀x) und beträgt dort 46,36° und damit mehr als die 40° beim Abwurf. Beim waagerechten Wurf aus 2 m mit 20 m/s sind es 20,96 m/s unter 17,39°.

Wichtig: Die Auftreffgeschwindigkeit hängt nicht vom Abwurfwinkel ab, nur der Auftreffwinkel. Für die Wucht eines Aufpralls kommt zusätzlich die Masse ins Spiel, die der Rechner nicht kennt, zum Beispiel für die Energie ½·m·v².

Das Modell gilt exakt nur ohne Luft. Für schwere, kompakte Körper bei kleinen Geschwindigkeiten, etwa eine Kugel beim Kugelstoßen mit 13 m/s, ist es eine brauchbare Näherung.

Für leichte oder schnelle Körper wie einen Federball oder einen Tennisaufschlag liegt die reale Weite deutlich unter dem Rechenwert, denn die Luft bremst. Die Rechenwerte sind daher obere Grenzen.

Deshalb endet der Rechner bei 150 m/s (540 km/h): Darüber ist das Ergebnis nicht mehr sinnvoll, und du bekommst einen Hinweis statt einer Zahl.

Die Fehlannahme „schwere Körper fliegen weiter“ stimmt nur mit Luft; im Modell fliegen alle Körper gleich, die Masse steht nicht in den Formeln.

Wenn du es genau brauchst, wirf einmal probehalber, miss die Weite und rechne rückwärts im Modus für die Geschwindigkeit, um eine wirksame Anfangsgeschwindigkeit zu bestimmen. Wind, Drall und Erdkrümmung bleiben ebenfalls außen vor.

Die Wurfweite wächst mit 1 ÷ g. Derselbe Wurf mit 20 m/s unter 45° fliegt auf der Erde 40,77 m, auf dem Mars (3,73 m/s²) 107,24 m und auf dem Mond (1,62 m/s²) 246,91 m.

Die Flugzeit steigt auf 7,58 s und 17,46 s, die Gipfelhöhe von 10,19 m auf 26,81 m und 61,73 m. Das Verhältnis zur Erde ist 9,81 ÷ 1,62 = 6,06 und nicht genau 6.

Für die Erde kannst du zwischen dem Schulwert 9,81 m/s² und der Normfallbeschleunigung 9,80665 m/s² wählen; der Unterschied beträgt bei diesem Wurf nur rund 0,01 m (40,79 m gegenüber 40,77 m) und ist vernachlässigbar.

Mond und Mars sind NASA-Mittelwerte der Oberflächenschwerebeschleunigung. Mit „Eigener Wert“ stellst du jede Fallbeschleunigung zwischen 0,1 und 30 m/s² ein, zum Beispiel 4 m/s², bei der derselbe Wurf genau 100 m weit fliegt.