Hebelgesetz Formel: Kraft, Last und Hebelarm berechnen

Das Hebelgesetz lautet Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm, also F₁ · l₁ = F₂ · l₂. Es sagt, dass ein Hebel im Gleichgewicht ist, wenn beide Seiten dasselbe Drehmoment um den Drehpunkt ausüben.

OpenStax University Physics fasst das als zweite Gleichgewichtsbedingung: Die Summe der Drehmomente ist null. Umgestellt erhältst du F₂ = F₁ · l₁ ÷ l₂ für die Last und l₂ = F₁ · l₁ ÷ F₂ für den Lastarm.

Ein Beispiel mit Zahlen: 200 N am Kraftarm von 1,5 m ergeben ein Drehmoment von 300 Nm. Am Lastarm von 0,3 m hält dieses Moment 1.000 N. Wirkt eine Kraft schräg zum Arm, kommt der Faktor sin α hinzu: F₁ · l₁ · sin α₁ = F₂ · l₂ · sin α₂.

Im Rechner wählst du die gesuchte Größe, trägst die drei bekannten Werte ein und kontrollierst, dass beide Drehmomente gleich groß ausgegeben werden. Weichen sie ab, steckt ein Eingabefehler dahinter, meist bei den Einheiten.

Du stellst das Hebelgesetz nach der Kraft um: F₁ = F₂ · l₂ ÷ l₁. Die Last F₂ mal Lastarm l₂ ergibt das Drehmoment, das du durch den Kraftarm l₁ teilst. Beispiel: Ein Findling von 150 kg hängt 0,3 m vom Drehpunkt, die Hand greift 1,5 m entfernt.

Die Last wiegt 150 · 9,80665 = 1.471 N, das Drehmoment beträgt 441,3 Nm, und die nötige Kraft ist F₁ = 441,3 Nm ÷ 1,5 m = 294,2 N, entsprechend 30 kg.

Im Rechner wählst du die gesuchte Größe Kraft F₁, stellst die Einheit der Kräfte auf kg und trägst 150 kg, 1,5 m und 0,3 m ein. Das Ergebnis erscheint in Newton und als kg-Äquivalent. Ein längerer Kraftarm senkt die Kraft: Bei 2,5 m genügen 176,5 N.

Beachte, dass die Hand dafür einen größeren Weg zurücklegt. Prüfe außerdem, dass die Kraft senkrecht zum Arm wirkt, sonst steigt der Bedarf, bei 60° auf 339,7 N.

Eine Schubkarre ist ein einseitiger Hebel: Der Drehpunkt liegt in der Radachse, Last und Handkraft wirken auf derselben Seite, die Kräfte gegeneinander. Gemessen wird jeweils vom Rad.

Beispiel: 60 kg Sand liegen 50 cm vor der Achse, die Griffe sind 120 cm von der Achse entfernt. Im Rechner wählst du den einseitigen Hebel, die gesuchte Größe Kraft F₁, Kräfte in kg und Längen in cm.

Ergebnis: F₁ = 245,2 N, also 25 kg Zugkraft an den Griffen, der mechanische Vorteil ist 2,4. Die Kraft im Drehpunkt ist der Unterschied der Kräfte, hier 343,2 N, das entspricht 35 kg, die das Rad trägt.

Zusammen ergeben 25 kg und 35 kg wieder die 60 kg Last. Wer das Gewicht näher ans Rad schiebt, etwa auf 40 cm Lastarm, senkt die Handkraft auf 196,1 N. Deshalb belädt man eine Schubkarre mit schwerer Last möglichst weit vorn.

Ein Hebel kennt nur Kräfte, deshalb wird eine Masse in ihre Gewichtskraft verwandelt: F = m · g mit g = 9,80665 m/s² (NIST, CODATA 2022, exakt festgelegt). 1 kg entspricht also 9,807 N, 100 kg entsprechen 980,665 N und 20 kg 196,133 N.

Im Rechner stellst du die Einheit der Kräfte auf kg und trägst die Masse ein; die Umrechnung steht im Rechenweg, das Ergebnis erscheint in N und als kg-Äquivalent.

Für das Gleichgewicht ist die Umrechnung sogar unnötig, solange beide Seiten dieselbe Einheit nutzen, denn g kürzt sich heraus: 20 kg am Kraftarm von 1,5 m halten 100 kg am Lastarm von 0,3 m.

Wichtig wird sie, wenn eine Seite in N und die andere in kg vorliegt, etwa eine Federwaage in N und ein Gewicht in kg. Dann rechne beide Seiten in N.

Auf dem Mond wäre die Gewichtskraft kleiner, das Verhältnis der Kräfte und damit das Gleichgewicht bleiben gleich.

Nur der Anteil der Kraft quer zum Hebelarm dreht. Das Drehmoment ist M = F · l · sin α, wobei α der Winkel zwischen Kraftrichtung und Arm ist. Bei 90° ist sin α gleich 1, die Kraft wirkt voll. Bei 60° sind es 0,866, bei 30° nur 0,5 und bei 15° 0,259.

Der wirksame Hebelarm schrumpft entsprechend. Beispiel: 150 kg am Lastarm von 0,3 m, Kraftarm 1,5 m. Senkrecht ziehst du mit 294,2 N, bei 60° mit 339,7 N, bei 30° mit 588,4 N und bei 15° mit 1.137 N.

Bei 0° und 180° zeigt die Kraft entlang des Arms und erzeugt kein Drehmoment; der Rechner meldet dann Kein Drehmoment. Ein Winkel von 120° wirkt wie 60°, weil sin 120° gleich sin 60° ist.

Im Rechner wählst du den Winkelhebel und trägst beide Winkel ein. Ziehe in der Praxis möglichst im rechten Winkel zur Stange und nutze notfalls ein Rohr als Verlängerung, statt schräg zu drücken.

Ein Hebel tauscht Kraft gegen Weg, die Arbeit W = F · s bleibt gleich. Das folgt aus der Energieerhaltung: Eine Maschine kann nicht mehr Arbeit leisten, als man hineinsteckt (OpenStax College Physics 2e, Abschnitt 9.5).

Bei einem mechanischen Vorteil von 5 brauchst du nur ein Fünftel der Kraft, musst den Kraftpunkt aber fünfmal so weit bewegen. Beispiel: Ein Findling von 150 kg steigt um 5 cm. Dafür sind 1.471 N · 0,05 m = 73,5 J Hubarbeit nötig.

Mit dem Hebel genügen 294,2 N, der Kraftpunkt senkt sich um 25 cm, und 294,2 N · 0,25 m ergibt wieder 73,5 J. Reibung im Lager würde die Arbeit sogar erhöhen.

Der Rechner zeigt dir den Weg mit dem Hinweis zur Goldenen Regel: Bei 10 cm Lastweg bewegt sich der Kraftpunkt um 50 cm. Wählst du dagegen einen Vorteil unter 1, etwa bei einer Pinzette, gewinnst du Weg und Tempo, zahlst aber mit mehr Kraft.

Das hängt von der Last, der Kraft, die du aufbringen willst, und vom Lastarm ab. Du stellst nach dem Kraftarm um: l₁ = F₂ · l₂ ÷ F₁. Beispiel: Ein Nagel hält mit 1.800 N, die Klaue greift 4 cm vom Drehpunkt.

Willst du höchstens 150 N aufbringen, braucht die Stange einen Kraftarm von 48 cm, der mechanische Vorteil ist 12. Im Rechner wählst du die gesuchte Größe Kraftarm l₁, stellst die Längen auf cm und trägst 150 N, 1.800 N und 4 cm ein.

Rechne zum Ergebnis die Strecke vom Drehpunkt bis zum Griff, nicht die ganze Stangenlänge: Bei einer 60 cm langen Stange, die am Ende die Klaue trägt und 4 cm davor aufliegt, bleiben 56 cm Kraftarm.

Plane Reserve ein, denn Haftreibung und Materialverformung erhöhen den Bedarf. Für tragende Bauteile oder Hebezeuge ersetzt der Rechner keine Prüfung nach Norm.

Der Drehpunkt muss die resultierende Kraft aufnehmen, damit der Hebel nicht wegrutscht. Bei der Wippe wirken Kraft und Last in dieselbe Richtung, das Lager trägt die Summe F₁ + F₂.

Im Standardfall mit 200 N und 1.000 N sind das 1.200 N, also die Gewichtskraft von rund 122 kg. Beim einseitigen Hebel wie der Schubkarre wirken die Kräfte gegeneinander, das Lager trägt den Unterschied |F₂ − F₁|.

Bei 60 kg Last und 25 kg Handkraft sind es 35 kg, also 343,2 N. Beide Fälle zeigt der Rechner als eigenes Ergebnisfeld.

Beim Winkelhebel hängt die Lagerkraft von beiden Kraftrichtungen ab; dafür müsstest du die Kräfte als Vektoren addieren, was hier nicht berechnet wird.

Die Lagerkraft ist wichtig für die Auslegung: Ein Bolzen oder ein Holzbalken als Drehpunkt muss mehr halten als die Last allein. Bei der Wippe trägt die Achse stets mehr als die Last, bei der Schubkarre weniger.