Pendel-Rechner: Schwingungsdauer und Länge berechnen

Ein Sekundenpendel hat die Schwingungsdauer T = 2 s, braucht also für den Weg von einem Umkehrpunkt zum anderen genau 1 s. Aus T₀ = 2π·√(l/g) folgt l = g ÷ π². Mit der Normfallbeschleunigung 9,80665 m/s² sind das 0,9936 m, also 99,36 cm.

Berücksichtigst du eine Auslenkung von 5°, genügen 0,9927 m, weil die Periode bei größerem Winkel etwas länger wird. Auf dem Mond mit 1,62 m/s² wäre dasselbe Pendel nur 0,1641 m lang.

Wichtig ist, dass die Länge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers reicht und nicht nur den Faden meint. Im Rechner wählst du die gesuchte Größe Länge, trägst 2 s als Schwingungsdauer ein und stellst den Winkel ein.

Das Ergebnis siehst du in Meter und Zentimeter. Wer eine Pendeluhr oder ein Lehrmodell baut, stellt die Feinabstimmung über die Länge ein: Kürzer heißt schneller; ein Millimeter weniger verkürzt die Periode eines 1-m-Pendels um rund 1 ms.

Die einfache Formel T₀ = 2π·√(l/g) gilt nur näherungsweise. Das Lehrbuch OpenStax University Physics nennt als Grenze etwa 15°. Bei 15° ist die wahre Periode 0,43 % länger, ab 23° überschreitet die Abweichung 1 %.

Bei 60° sind es 7,318 %, bei 90° bereits 18,03 %: Ein 1-m-Pendel braucht dann 2,368 s statt 2,006 s. Der Rechner umgeht das Problem, indem er die exakte Lösung über das arithmetisch-geometrische Mittel berechnet, T = T₀ ÷ AGM(1; cos(θ₀ ÷ 2)).

Das Ergebnis stimmt mit der numerischen Integration der Pendelgleichung überein. Die Grenze im Rechner liegt bei 170°, wo die Periode 4,894 s beträgt, mehr als doppelt so viel wie bei kleinen Winkeln.

Bei 180° würde das Pendel senkrecht über dem Aufhängepunkt stehen und nicht mehr schwingen. Für Schulversuche mit 5° bis 10° genügt die Kleinwinkelformel, der Rechner zeigt die Abweichung zur Kontrolle an.

Nein, bei einem Fadenpendel kürzt sich die Masse aus der Bewegungsgleichung heraus, weil Gewichtskraft und Trägheit beide proportional zur Masse sind. Ein 50-g-Gewicht und ein 500-g-Gewicht an 1 m Faden schwingen beide mit 2,007 s bei 5° Auslenkung.

OpenStax University Physics, Abschnitt 15.4, hält fest, dass die Periode von Masse und Amplitude unabhängig ist, solange der Winkel klein bleibt.

Die Masse beeinflusst nur praktische Dinge: Ein leichter Körper wird vom Luftwiderstand stärker gebremst, ein ausgedehnter Körper verändert den Schwerpunkt und die Länge. Deshalb gehört bei einer Kugel der Radius zur Pendellänge.

Im Rechner gibt es bewusst kein Feld für die Masse. Trägst du für ein Experiment zwei verschieden schwere Körper ein, nimm für beide dieselbe Länge zum Schwerpunkt und erwarte denselben Wert.

Weicht deine Stoppuhrmessung ab, suche den Fehler bei Länge, Winkel oder Zeit, nicht bei der Masse.

Du misst die Pendellänge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt und stoppst die Zeit für mehrere volle Schwingungen. Teile die Zeit durch die Anzahl, dann hast du T.

Im Rechner wählst du die Größe Ortsfaktor, trägst Länge, Schwingungsdauer und Winkel ein. Die Formel lautet g = 4π²·l·F² ÷ T² mit dem Winkelfaktor F.

Beispiel: 0,8 m Länge, 10 Schwingungen in 17,9 s, also T = 1,79 s, und 10° Auslenkung ergeben g = 9,895 m/s². Das liegt 0,9 % über der Normfallbeschleunigung 9,80665 m/s².

Zum Vergleich: Auf der Erde liegt g laut NASA zwischen 9,780 m/s² am Äquator und 9,832 m/s² an den Polen. Der Zeitfehler geht quadratisch ein: 0,02 s Unsicherheit in T verschieben g auf 9,677 bis 10,12 m/s².

Stoppe deshalb mindestens 10, besser 20 Schwingungen und halte den Winkel unter 10°. Notiere Länge, Zeit und Winkel im Protokoll, damit du die Rechnung später nachvollziehen kannst.

Weil die Schwingungsdauer mit der Wurzel aus 1 ÷ g wächst. Der Mond hat eine Oberflächenschwerebeschleunigung von 1,62 m/s² (NASA Moon Fact Sheet), die Erde 9,80665 m/s².

Das Verhältnis der Wurzeln ist rund 2,46: Ein 1-m-Pendel schwingt auf der Erde mit 2,007 s, auf dem Mond mit 4,939 s. Auf dem Mars mit 3,73 m/s² (NASA Mars Fact Sheet) braucht ein 0,5-m-Pendel 2,302 s, ein Sekundenpendel dort 0,3779 m statt 0,9936 m.

Die Masse spielt auch hier keine Rolle, nur der Ortsfaktor. Im Rechner wählst du den Ort Mond oder Mars oder trägst einen eigenen Ortsfaktor ein, etwa den örtlichen Wert deiner Messstelle.

Auf der Erde ändert sich T zwischen Äquator und Pol nur um etwa 0,3 %, auf dem Mond ist der Effekt gewaltig. Das Pendel eignet sich deshalb als einfaches Messgerät für g.

Für eine Schwingungsdauer von 3 s braucht ein Pendel auf der Erde bei 5° Auslenkung eine Länge von 2,234 m. Die Länge wächst mit dem Quadrat der Zeit: Für 1 s sind es 0,2482 m, für 2 s 0,9927 m, für 3 s 2,234 m und für 4 s 3,971 m.

Ohne Winkelkorrektur wären die Werte nur um 0,1 % größer, bei großen Winkeln wird der Unterschied sichtbar. Auf dem Mars mit 3,73 m/s² genügt für 3 s schon eine Länge von 0,8495 m.

Im Rechner wählst du die gesuchte Größe Länge, den Ort und trägst die Schwingungsdauer ein; hast du eine Frequenz, stellst du die Vorgabe auf Hertz um und gibst 0,3333 Hz ein.

Miss die fertige Länge vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt des Pendelkörpers, sonst fehlt der Radius von Kugel oder Gewicht, und die Uhr geht zu schnell.

Weil die Reaktionszeit beim Stoppen zwei Fehler pro Messung erzeugt, am Start und am Ende, und dieser feste Fehler bei einer langen Zeit kaum ins Gewicht fällt.

Ein Beispiel mit 0,8 m Faden: Stoppst du nur eine Schwingung und liest 1,59 s statt 1,79 s ab, errechnet der Rechner g = 12,54 m/s², fast 28 % zu viel.

Stoppst du 10 Schwingungen mit 0,2 s Ungenauigkeit, teilst durch 10 und erhältst T = 1,79 s ± 0,02 s, liegt g zwischen 9,677 und 10,12 m/s², also rund ±2 %. Mit 20 Schwingungen halbiert sich der Fehler noch einmal.

Weil T im Nenner quadratisch eingeht, wirkt jeder Prozent Zeitfehler doppelt, ein Prozent Längenfehler dagegen nur einfach.

Zähle außerdem immer volle Schwingungen, also jeweils zurück in dieselbe Richtung, und beginne mit der Zählung im tiefsten Punkt, wo das Pendel am schnellsten ist.

Die Höchstgeschwindigkeit folgt aus der Energieerhaltung: Die Hubhöhe l·(1 − cos θ₀) verwandelt sich in Bewegungsenergie, daraus ergibt sich v = √(2·g·l·(1 − cos θ₀)). Die Masse kürzt sich heraus.

Bei 1 m Länge und 5° sind das 0,2732 m/s, bei 30° bereits 1,621 m/s, bei 90° 4,429 m/s. Die Hubhöhe beträgt dabei 3,8 mm, 0,134 m und 1 m. Diese Beziehung gilt für jeden Winkel, auch ohne Kleinwinkelnäherung.

Der Rechner gibt Höchstgeschwindigkeit und Hubhöhe in jedem Modus mit aus, damit du abschätzen kannst, wie stark das Pendel im tiefsten Punkt belastet wird.

Reibung und Luftwiderstand sind nicht enthalten; in der Praxis ist die Geschwindigkeit etwas kleiner.

Die Geschwindigkeit des Pendelkörpers ist nicht die Kreisfrequenz ω = 2π ÷ T, die nur die Schwingung beschreibt und bei 1 m und 5° 3,130 pro Sekunde beträgt.