Nullstellen berechnen: Rechner mit Rechenweg online

Eine Nullstelle einer Funktion f(x) ist ein Wert x₀, für den f(x₀) = 0 gilt – an dieser Stelle schneidet oder berührt der Graph die x-Achse.

Um eine Nullstelle zu berechnen, setzt man f(x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf; bei einfachen Funktionen geht das per Hand, bei Polynomen löst der Nullstellen-Rechner exakt mit Rechenweg, bei gemischten Ausdrücken numerisch mit Newton-Raphson-Verfahren und Bisektion.

Für f(x) = x² − 4 ergeben sich genau zwei Nullstellen bei x = −2 und x = 2, weil beide Werte die Gleichung x² = 4 erfüllen.

Nullstellen sind kein Selbstzweck: Sie bilden die Randpunkte von Monotonieintervallen, die Startwerte der Polynomdivision und in vielen Anwendungen die Ruhepunkte eines Systems, etwa wenn eine resultierende Kraft null wird.

Zur Eingabe: 3x und 3*x werden gleich gelesen, ebenso x^2 und x², Dezimalkomma (0,5x) und Gleichungen mit „= 0“ sind erlaubt.

Bei einer quadratischen Funktion f(x) = ax² + bx + c setzt man den Term gleich null und löst mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel, je nachdem ob a = 1 ist oder nicht.

Für f(x) = x² − 5x + 6 liefert die pq-Formel x = 2,5 ± 0,5, also die beiden Nullstellen x₁ = 2 und x₂ = 3 – der Nullstellen-Rechner liefert exakt diese beiden Werte und zeigt die Mitternachtsformel mit Diskriminante.

Eine quadratische Funktion hat je nach Diskriminante zwei, eine doppelte oder keine reelle Nullstelle: Ist die Diskriminante b² − 4ac negativ, liegen die Nullstellen im Komplexen, und der Rechner meldet, dass es keine reelle Lösung gibt.

Zum Ausprobieren eignet sich das Standardbeispiel f(x) = x² − 4 mit den Nullstellen x = −2 und x = 2.

Exakte Bruch- und Wurzelwerte wie x = 1 − √2 nennt der Nullstellen-Rechner bei Polynomen selbst; für die reine Gleichungslösung ohne Funktionsbezug gibt es zusätzlich den Rechner für die quadratische Gleichung.

Eine lineare Funktion f(x) = mx + b hat höchstens eine Nullstelle, die sich direkt durch Umstellen ergibt: x = −b/m, vorausgesetzt die Steigung m ist nicht null. Für f(x) = x − 5 liefert diese Formel x = 5, was der Nullstellen-Rechner bestätigt.

Ist m = 0 und b ungleich null, verläuft der Graph parallel zur x-Achse und besitzt gar keine Nullstelle – für f(x) = 3 meldet der Rechner entsprechend, dass es keine Nullstelle gibt.

In der Praxis lohnt sich der Rechner bei linearen Funktionen vor allem, wenn Koeffizienten mit vielen Nachkommastellen vorkommen oder die Funktion Teil einer größeren Gleichung ist, in der eine schnelle Kontrolle Rechenfehler beim Umstellen aufdeckt.

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n reelle Nullstellen – ein Polynom dritten Grades also höchstens drei, eines fünften Grades höchstens fünf.

Das Polynom f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 zum Beispiel hat genau drei Nullstellen bei x = 1, x = 2 und x = 3, die der Rechner im Standardbereich [−10, 10] automatisch findet.

Ein Polynom mit ungeradem Grad besitzt nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano immer mindestens eine reelle Nullstelle, weil seine Werte für sehr große positive und sehr kleine negative x unterschiedliche Vorzeichen annehmen.

Bei geradem Grad ist auch der Fall ohne reelle Nullstelle möglich, etwa bei f(x) = x² + 1, das durchgehend positiv bleibt.

Um alle Nullstellen eines Polynoms systematisch zu bestimmen, lohnt sich nach dem ersten Treffer die Polynomdivision: Sie senkt den Grad um eins und macht die restlichen Nullstellen leichter zugänglich.

Die Vielfachheit gibt an, wie oft ein Linearfaktor (x − x₀) in der Zerlegung des Polynoms vorkommt, und entscheidet darüber, ob der Graph die x-Achse schneidet oder nur berührt.

Bei ungerader Vielfachheit – etwa 1 oder 3 – durchquert der Graph die x-Achse mit echtem Vorzeichenwechsel, wie bei f(x) = x³ − x an der Stelle x = 0, wo f(−0,05) ≈ 0,0499 und f(0,05) ≈ −0,0499 unterschiedliche Vorzeichen zeigen.

Bei gerader Vielfachheit – etwa 2 oder 4 – berührt der Graph die Achse nur, ohne die Seite zu wechseln: Für f(x) = (x − 1)² ergeben sich links wie rechts von x = 1 positive Werte (f(0,95) = 0,0025 und f(1,05) = 0,0025).

Bei Polynomen erkennt der Nullstellen-Rechner die Vielfachheit exakt und weist sie aus: (x − 1,2)² liefert x = 1,2 als doppelte Nullstelle, x³ − 6x² + 12x − 8 liefert x = 2 als dreifache.

Bei anderen Funktionen sucht er zusätzlich Berührstellen als Minimum von |f(x)| bei null.

Der Vorzeichenwechsel-Nachweis zeigt, dass die Funktion an der gefundenen Stelle tatsächlich durch null geht: Ist f(x₀ − 0,05) negativ und f(x₀ + 0,05) positiv (oder umgekehrt), wechselt der Graph die Seite der x-Achse – das ist der mathematische Beleg für eine echte Nullstelle.

Für f(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 gilt an der Stelle x = 2 f(1,95) ≈ 0,0499 und f(2,05) ≈ −0,0499, also ein klarer Wechsel von Plus zu Minus.

Ohne Vorzeichenwechsel wäre es nur eine Berührstelle: Bei f(x) = (x − 3)² liefert der Nachweis beiderseits denselben positiven Wert (0,0025), was auf eine doppelte Nullstelle statt eines echten Durchgangs hindeutet.

Bei Polynomen ersetzt die exakte Probe f(x₀) = 0 diesen Nachweis; bei anderen Funktionen gibt der Rechner ihn für jede gefundene Nullstelle mit aus, damit die Angabe nachvollziehbar bleibt und nicht als reine Rechner-Behauptung im Raum steht.

Das ist besonders bei Hausaufgaben und Klausurvorbereitung hilfreich, weil sich der Nachweis direkt in eine schriftliche Begründung übernehmen lässt.

Das Newton-Raphson-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur numerischen Nullstellensuche: Ausgehend von einem Näherungswert xₙ berechnet die Formel xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f'(xₙ) einen verbesserten Wert, indem sie der Tangente an der aktuellen Stelle bis zur x-Achse folgt.

Für f(x) = x² − 2 mit Startwert x₀ = 1 liefert das Verfahren nach drei Schritten x₁ = 1,5, x₂ ≈ 1,4167 und x₃ ≈ 1,4142 – das entspricht √2 auf vier Nachkommastellen genau, und die Konvergenz verdoppelt die Anzahl korrekter Stellen in jedem weiteren Schritt.

Bei Funktionen, die kein Polynom sind, kombiniert der Nullstellen-Rechner Newton-Raphson mit einer vorgeschalteten Bisektion: Diese sichert ab, dass die Iteration in einem Intervall mit echtem Vorzeichenwechsel startet, statt bei einer ungünstigen Ableitung zu divergieren.

In der Praxis reichen meist weniger als zehn Newton-Schritte, um acht korrekte Nachkommastellen zu erreichen; das Abbruchkriterium des Rechners liegt bei einer Änderung von unter 10⁻¹⁰ zwischen zwei Näherungen.

Ja, der Rechner unterstützt alle gängigen trigonometrischen und Exponentialfunktionen: sin(x), cos(x), tan(x), e^x, ln(x) und sqrt(x).

Für f(x) = sin(x) findet er im Standardbereich [−10, 10] sieben Nullstellen bei x ≈ −9,42; −6,28; −3,14; 0; 3,14; 6,28 und 9,42, also alle Vielfachen von π in diesem Intervall.

Für f(x) = cos(x) − 0,5 liefert er im Bereich [−10, 10] sechs Nullstellen bei x ≈ −7,330; −5,236; −1,047; 1,047; 5,236 und 7,330.

Bei der reinen Exponentialfunktion e^x findet der Rechner dagegen keine Nullstelle, weil e^x für jedes x positiv bleibt – erst eine Verschiebung wie f(x) = e^x − 2 erzeugt mit x = ln(2) ≈ 0,6931 eine echte Nullstelle.

Die Schreibweise muss bei Funktionen stimmen: sin(x) statt sin x, e^x statt ex; arcsin(x) wird als Umkehrfunktion gelesen. Das Malzeichen darf bei Zahlen vor der Variablen fehlen (2x), zwischen zwei Funktionen schreibst du es: e^x*sin(x).

Eine Nullstelle ist ein Wert x₀ mit f(x₀) = 0, während an einer Polstelle der Betrag der Funktion für x gegen x₀ gegen unendlich strebt – die Funktion ist dort nicht definiert und divergiert.

Bei einer rationalen Funktion wie 1/(x − 2) ist x = 2 eine Polstelle (senkrechte Asymptote), keine Nullstelle.

Eine hebbare Definitionslücke wie bei (x² − 4)/(x − 2) lässt sich dagegen durch Kürzen auflösen: Nach dem Kürzen bleibt f(x) = x + 2 mit der Nullstelle x = −2, und genau dieses Ergebnis liefert der Rechner auch für die ungekürzte Eingabe, weil er an der Lücke selbst keinen gültigen Funktionswert findet und dort nicht fälschlich eine Nullstelle meldet.

Für die vollständige Untersuchung einer gebrochen-rationalen Funktion – inklusive der senkrechten Asymptoten an den Polstellen – ergänzt der Asymptoten-Rechner die reine Nullstellensuche.

Der Rechner sucht standardmäßig nur im Bereich [−10, 10]; für f(x) = x − 50 liegt die einzige Nullstelle bei x = 50 und wird erst gefunden, wenn die obere Suchgrenze auf mindestens 50 erhöht wird.

Fehlermeldungen entstehen daneben meist durch eine falsche Schreibweise: eine nicht geschlossene Klammer, eine falsche Variable (t im Term, aber x im Feld), ein falsch geschriebener Funktionsname (sinx statt sin(x)) oder eine Potenz mit doppeltem Stern statt Dach (x**2 statt x^2).

Polynome löst der Rechner exakt, auch mehrfache Nullstellen.

Bei anderen Funktionen fasst er Treffer, die weniger als etwa 0,0005 auseinanderliegen, zusammen – hier hilft es, den Suchbereich auf ein enges Teilintervall um die Verdachtsstelle einzugrenzen.

Für Beträge nutzt man abs(x), für Wurzeln sqrt(x); die Beispiel-Schaltflächen über dem Eingabefeld zeigen jeweils die korrekte Syntax und laden sie direkt in den Rechner.