Lineare Interpolation: Zwischenwerte berechnen mit Formel und Rechenweg

Lineare Interpolation verbindet zwei bekannte Stuetzstellen (x1, y1) und (x2, y2) durch eine Gerade und liest auf dieser Geraden den y-Wert zu einem gegebenen x ab. Die Formel lautet y = y1 + (x − x1) · (y2 − y1) / (x2 − x1).

Der Bruch (y2 − y1) / (x2 − x1) ist die Steigung m der Verbindungsgeraden. Fuer die Stuetzstellen (2, 10) und (8, 40) ergibt sich m = 30/6 = 5. Bei x = 5 folgt y = 10 + (5 − 2) · 5 = 25.

Das Verfahren setzt voraus, dass sich die gesuchte Groesse zwischen den beiden Punkten annaehernd geradlinig verhaelt. In Wertetabellen und Normen ist diese Annahme haeufig ausreichend genau, solange der Abstand der Stuetzstellen nicht zu gross ist.

Physikalische Groessen wie Temperatur oder Druck verhalten sich ueber kurze Intervalle meist nahezu linear.

Lineare Interpolation wird ungenau, wenn der tatsaechliche Zusammenhang zwischen den Stuetzstellen nichtlinear verlaeuft, also die Kurve stark gekruemmt ist.

Ein Beispiel ist exponentielles Wachstum: Zwischen zwei weit auseinanderliegenden Punkten auf einer e-Funktion liegt die Gerade deutlich unter der echten Kurve.

Je groesser der Abstand der Stuetzstellen und je staerker die Kruemmung, desto groesser die Abweichung. Abhilfe schafft ein engeres Stuetzstellenintervall, also das Einruecken der bekannten Punkte naeher an den gesuchten x-Wert.

Alternativ koennen Polynom- oder Spline-Interpolation die Kruemmung besser abbilden.

Im Rechner wird ein Ergebnis ausserhalb des Intervalls [x1, x2] als Extrapolation gekennzeichnet, weil dort die lineare Annahme noch weniger gesichert ist als innerhalb des Intervalls.

Fuer Tabellenwerte in Normen genuegt die lineare Methode dagegen fast immer.

Interpolation bestimmt einen Wert innerhalb des bekannten Stuetzstellenintervalls, Extrapolation dagegen ausserhalb.

Bei den Stuetzstellen (2, 10) und (8, 40) ist jeder x-Wert zwischen 2 und 8 eine Interpolation, waehrend x = 15 eine Extrapolation darstellt.

Der Rechner kennzeichnet das Ergebnis automatisch: Fuer x = 5 erscheint der Bereich Interpolation, fuer x = 15 der Bereich Extrapolation mit dem Wert y = 75 und einem Hinweis, dass die lineare Annahme ausserhalb des Intervalls ungesichert ist.

Extrapolation ist grundsaetzlich risikobehafteter als Interpolation, weil kein bekannter Datenpunkt den Verlauf jenseits der Stuetzstellen absichert.

In der Praxis sollte man Extrapolation nur ueber kurze Distanzen und bei physikalisch begruendeter Linearitaet einsetzen.

Der Temperaturfall Celsius zu Fahrenheit ist ein Beispiel, bei dem Extrapolation exakt bleibt, weil der Zusammenhang ueber den gesamten Bereich tatsaechlich linear ist.

Im Umkehrmodus des Rechners gibst du statt eines x-Werts einen y-Wert ein und erhaeltst das zugehoerige x. Die umgestellte Formel lautet x = x1 + (y − y1) / m, wobei m die Steigung der Verbindungsgeraden ist.

Fuer die Stuetzstellen (0, 0) und (10, 100) mit m = 10 ergibt y = 50 den Wert x = 0 + (50 − 0) / 10 = 5. Der Rechner prueft auch im Umkehrmodus, ob das Ergebnis innerhalb oder ausserhalb des Stuetzstellenintervalls liegt.

Der Umkehrmodus ist nuetzlich, wenn du aus einer Wertetabelle zu einem gemessenen Ausgabewert die zugehoerige Eingabegroesse bestimmen willst, etwa die Temperatur zu einer abgelesenen Spannung.

Das spart das haendische Umformen der Gleichung und vermeidet Vorzeichenfehler. Eine Voraussetzung ist, dass die Steigung ungleich null ist, weil sonst alle x-Werte denselben y-Wert liefern und keine eindeutige Umkehrung existiert.

Die Steigung m = (y2 − y1) / (x2 − x1) gibt an, um wie viel sich y aendert, wenn x um eine Einheit waechst. Der Achsenabschnitt b = y1 − m · x1 ist der y-Wert bei x = 0. Zusammen beschreiben sie die Geradengleichung y = m · x + b.

Fuer die Stuetzstellen (20, 68) und (30, 86) ergibt sich m = 1,8 und b = 32, also die Umrechnungsformel Fahrenheit = 1,8 · Celsius + 32.

Eine positive Steigung bedeutet, dass y mit wachsendem x zunimmt; eine negative Steigung zeigt einen abfallenden Verlauf.

Im Werkstoffbeispiel mit Zugfestigkeit bei 200 und 300 Grad Celsius ergibt sich m = −0,6, was den physikalisch erwarteten Festigkeitsabfall bei steigender Temperatur ausdrueckt.

Der Achsenabschnitt allein hat nur dann eine praktische Bedeutung, wenn x = 0 im sinnvollen Bereich der Anwendung liegt.

Der Rechner gibt eine Tabelle mit fuenf aequidistanten Zwischenwerten aus, die vom ersten bis zum zweiten Stuetzpunkt reichen.

Fuer die Stuetzstellen (2, 10) und (8, 40) lauten die Zeilen: x = 2, y = 10; x = 3,5, y = 17,5; x = 5, y = 25; x = 6,5, y = 32,5; x = 8, y = 40. Die Tabelle zeigt den linearen Verlauf auf einen Blick und hilft, das Ergebnis zu plausibilisieren.

Liegt dein gesuchter x-Wert zwischen zwei Tabellenzeilen, kannst du den y-Wert grob abschaetzen und mit dem exakten Ergebnis vergleichen. Die erste und letzte Zeile entsprechen immer den eingegebenen Stuetzstellen und dienen als Ankerpunkte.

Der Abstand zwischen den Zeilen betraegt (x2 − x1) geteilt durch vier, also im Beispiel 1,5. Die Tabelle ist besonders nuetzlich, um bei Werkstofftabellen oder Tarifen eine grobe Uebersicht ueber den Zwischenbereich zu gewinnen.

Die Umrechnung zwischen Celsius und Fahrenheit ist ein Paradebeispiel fuer lineare Interpolation, weil der Zusammenhang exakt linear ist.

Gibst du die Stuetzstellen (20, 68) und (30, 86) ein, liefert der Rechner die Steigung m = 1,8 und den Achsenabschnitt b = 32. Fuer x = 25 ergibt sich y = 77, also 25 Grad Celsius entsprechen 77 Grad Fahrenheit.

Die Geradengleichung y = 1,8 · x + 32 stimmt mit der bekannten Umrechnungsformel ueberein. Im Umkehrmodus kannst du umgekehrt pruefen: Welcher Celsius-Wert gehoert zu 100 Grad Fahrenheit?

Mit y = 100 liefert der Rechner x = (100 − 68) / 1,8 + 20 = 37,78 Grad Celsius, was dem Wert 37,8 Grad Koerpertemperatur nahe kommt.

Auch die Umrechnung zwischen Kelvin und Celsius oder zwischen verschiedenen Druckeinheiten laesst sich so pruefen, solange zwei korrekte Wertepaare vorliegen.

Wenn x1 und x2 identisch sind, ist die Steigung m = (y2 − y1) / (x2 − x1) nicht definiert, weil eine Division durch null auftraete.

Geometrisch bedeuten gleiche x-Werte, dass die beiden Punkte senkrecht uebereinander liegen; durch sie verlaeuft keine Funktion im ueblichen Sinne, sondern eine senkrechte Gerade, die keinen eindeutigen y-Wert zu einem gegebenen x liefert.

Der Rechner gibt in diesem Fall die Meldung aus, dass x1 und x2 verschieden sein muessen, und setzt alle Ergebniswerte auf null. Die Loesung besteht darin, zwei Stuetzstellen mit unterschiedlichen x-Werten zu waehlen.

Sind die vorhandenen Messwerte tatsaechlich zum selben x-Zeitpunkt aufgenommen, liegt kein Interpolationsproblem vor, sondern eine Mehrfachmessung, fuer die ein Mittelwert statt einer Geradengleichung sinnvoll ist.

Auch ein Tippfehler bei der Eingabe fuehrt haeufig zu gleichen x-Werten.

Die lineare Interpolation eignet sich besonders gut fuer das Ablesen von Zwischenwerten aus Tabellen, wie sie in technischen Normen, Werkstoffdatenblaettern und Kalibriertabellen vorkommen.

Dabei verbindet man die beiden benachbarten Stuetzstellen, die den gesuchten Wert einrahmen, durch eine Gerade und liest den Zwischenwert auf dieser Geraden ab.

Der Rechner uebernimmt das Aufstellen der Geradengleichung und gibt neben dem interpolierten Wert auch die Steigung, den Achsenabschnitt und eine Zwischenwerttabelle aus.

Fuer die Stuetzstellen (100, 350) und (200, 500) ergibt sich bei x = 150 der Wert y = 425 mit einer Steigung von 1,5. Die Genauigkeit haengt davon ab, wie linear sich die tatsaechliche Groesse zwischen den Stuetzstellen verhaelt.

Bei Werkstoffeigenschaften wie der Zugfestigkeit bei verschiedenen Temperaturen ist die lineare Naeherung ueber Intervalle von 50 bis 100 Grad meist ausreichend genau.

Bei stark gekruemmten Verlaeufen sollten die Stuetzstellen enger gewaehlt werden, um die Abweichung von der wahren Kurve gering zu halten.