Lineare Interpolation: Zwischenwerte berechnen mit Formel und Rechenweg

Lineare Interpolation bestimmt einen unbekannten Zwischenwert y auf der Verbindungsgeraden zweier bekannter Stützstellen (x1, y1) und (x2, y2) über die Formel y = y1 + (x − x1) · (y2 − y1) / (x2 − x1).

Für die Stützstellen (2, 10) und (8, 40) ergibt sich zunächst die Steigung m = (40 − 10) / (8 − 2) = 5 und daraus bei x = 5 der Wert y = 10 + (5 − 2) · 5 = 25.

Trage einfach deine beiden bekannten Wertepaare und den gesuchten x-Wert ein, der Rechner übernimmt Steigung, Achsenabschnitt und Rechenweg automatisch.

Das Verfahren setzt voraus, dass sich die gesuchte Größe zwischen den Stützstellen näherungsweise geradlinig verhält; bei stark gekrümmten Zusammenhängen wie exponentiellem Wachstum kann das Ergebnis spürbar abweichen, weshalb ein Blick auf die ausgegebene Zwischenwerttabelle vor der Weiterverwendung sinnvoll ist.

Die Interpolationsformel zerlegt sich in zwei Bausteine: Die Steigung m = (y2 − y1) / (x2 − x1) beschreibt die Änderung von y je Einheit x, der Achsenabschnitt b = y1 − m · x1 den y-Wert bei x = 0; zusammen ergeben sie die Geradengleichung y = m · x + b.

Für die Stützstellen (10, 2,5) und (20, 4) liefert der Rechner m = 0,15 und b = 1, also y = 0,15 · x + 1, und für x = 15 den Zwischenwert y = 3,25.

Setze die beiden Stützstellen und den gesuchten x-Wert ein, dann zeigt der Rechner Steigung, Achsenabschnitt und Geradengleichung in einem Schritt statt drei getrennten Berechnungen.

Die Formel liefert nur dann ein sinnvolles Ergebnis, wenn x1 und x2 verschieden sind, weil sonst die Steigung durch Division durch null nicht definiert ist.

Im Umkehrmodus wird die Interpolationsformel nach x aufgelöst: x = x1 + (y − y1) / m, wobei m weiterhin die Steigung der Verbindungsgeraden ist.

Für die Stützstellen (20, 68) und (30, 86) — die bekannte Celsius-Fahrenheit-Gerade mit m = 1,8 und b = 32 — liefert der Rechner zu y = 100 den Wert x = 20 + (100 − 68) / 1,8 = 37,7778, also rund 37,8 Grad Celsius.

Wähle dazu im Feld „Berechnungsrichtung“ die Option „x berechnen (y gegeben)“ und trage statt des x- einen y-Wert ein. Praktisch ist das immer dann, wenn du aus einer Wertetabelle zu einem gemessenen Ausgabewert die zugehörige Eingabegröße suchst.

Der Umkehrmodus liefert nur ein eindeutiges Ergebnis, solange die Steigung ungleich null ist; bei m = 0 führen alle x-Werte zum selben y und eine Umkehrung ist nicht möglich.

Interpolation liegt vor, wenn der gesuchte x-Wert zwischen den beiden Stützstellen liegt, Extrapolation dagegen, wenn er außerhalb des Intervalls [x1, x2] liegt.

Für eine Werkstofftabelle mit den Stützstellen (200, 400) und (300, 340) liefert x = 250 den Wert y = 370 im Bereich Interpolation, während derselbe Rechner für x = 350 den Wert y = 310 ausgibt und den Bereich als Extrapolation kennzeichnet.

Prüfe deshalb nach jeder Berechnung das Feld „Bereich“ im Ergebnis, bevor du den Wert weiterverwendest.

Extrapolation ist grundsätzlich unsicherer als Interpolation, weil kein bekannter Messpunkt den Verlauf jenseits der Stützstellen absichert; bei stark gekrümmten Zusammenhängen kann der tatsächliche Wert deutlich vom linear extrapolierten Ergebnis abweichen.

In Excel bildest du die lineare Interpolation meist manuell mit derselben Formel nach, etwa als =C1+(x-A1)*(D1-C1)/(B1-A1) für die Stützstellen in A1/C1 und B1/D1, oder näherungsweise über die Funktion TREND().

Für die Stützstellen (2, 10) und (8, 40) liefert diese Formel bei x = 5 denselben Wert y = 25, den auch der Rechner mit Steigung m = 5 und Achsenabschnitt b = 0 ausgibt.

Trage deine Werte probeweise in beide Werkzeuge ein, um Tippfehler in der Excel-Formel schnell zu erkennen.

Ein Unterschied entsteht nur, wenn Excel-Bezüge versehentlich vertauscht sind oder wenn TREND() bei mehr als zwei Stützstellen automatisch eine Ausgleichsgerade statt einer echten Interpolation berechnet — für exakt zwei Punkte liefern beide Wege identische Ergebnisse.

Eine Geradengleichung aus zwei Punkten (x1, y1) und (x2, y2) ergibt sich, indem zuerst die Steigung m = (y2 − y1) / (x2 − x1) und anschließend der Achsenabschnitt b = y1 − m · x1 berechnet wird.

Für die Punkte (2, 4) und (4, 16) liefert der Rechner m = 6 und b = −8, also die Geradengleichung y = 6 · x − 8, und für x = 3 den Wert y = 10.

Gib dazu einfach beide Punkte in die Felder x1/y1 und x2/y2 ein; die Geradengleichung erscheint automatisch im Ergebnis.

Diese Geradengleichung gilt exakt nur für tatsächlich lineare Zusammenhänge zwischen den beiden Punkten — verläuft die reale Kurve zwischen den Punkten gekrümmt, wie bei y = x², weicht der lineare Wert 10 vom tatsächlichen Kurvenwert 9 bei x = 3 leicht ab.

Neben der linearen Interpolation gibt es die Polynominterpolation, etwa nach Lagrange oder Newton, sowie die Spline-Interpolation, die mehrere Stützstellen durch ein Polynom höheren Grades statt durch eine einzelne Gerade verbindet.

Der Unterschied zeigt sich am Beispiel der Punkte (2, 4) und (4, 16), die beide auf der Parabel y = x² liegen: Die lineare Interpolation des Rechners liefert bei x = 3 den Wert y = 10, während der exakte Kurvenwert y = 9 beträgt — ein Polynom- oder Lagrange-Ansatz mit einer dritten Stützstelle würde diesen Wert exakt treffen.

Nutze deshalb ein Polynomverfahren, sobald mehr als zwei Stützstellen vorliegen und ein deutlich gekrümmter Verlauf erkennbar ist.

Für nur zwei Stützstellen liefert die lineare Interpolation dagegen dieselbe Gerade wie jedes Polynomverfahren ersten Grades, sodass sich der Mehraufwand hier nicht lohnt.

Ungenau wird die lineare Interpolation, wenn der tatsächliche Zusammenhang zwischen den Stützstellen deutlich gekrümmt statt geradlinig verläuft.

Am Beispiel der Parabel-Punkte (2, 4) und (4, 16) zeigt sich das Prinzip: Der Rechner liefert bei x = 3 den linear interpolierten Wert y = 10, während der wahre Kurvenwert bei y = 9 liegt, also eine Abweichung von rund elf Prozent.

Nutze die vom Rechner ausgegebene Zwischenwerttabelle, um den Verlauf zwischen den Stützstellen grob zu plausibilisieren, bevor du das Ergebnis übernimmst.

Je weiter die beiden Stützstellen auseinanderliegen und je stärker die zugrunde liegende Kurve gekrümmt ist, desto größer wird der Fehler; enger gewählte Stützstellen um den gesuchten Wert verringern ihn spürbar, weil jede Kurve auf einem kurzen Abschnitt näherungsweise linear verläuft.

Sind x1 und x2 identisch, meldet der Rechner einen Fehler, weil die Steigung m = (y2 − y1) / (x2 − x1) eine Division durch null erfordern würde und damit nicht definiert ist.

Bei den Eingaben x1 = 5, x2 = 5 gibt der Rechner deshalb statt eines Zahlenwerts die Meldung „x1 und x2 dürfen nicht gleich sein“ aus und setzt alle übrigen Felder auf null beziehungsweise leer.

Wähle in diesem Fall zwei unterschiedliche x-Werte für deine Stützstellen, auch wenn die zugehörigen y-Werte gleich oder verschieden sein dürfen.

Liegen deine beiden Messwerte tatsächlich am selben x, handelt es sich nicht um ein Interpolationsproblem, sondern um eine Mehrfachmessung, für die ein Mittelwert statt einer Geradengleichung die passendere Auswertung ist.