Kegelstumpf berechnen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Das Volumen eines Kegelstumpfs berechnet sich mit V = π/3 · h · (R² + R·r + r²), wobei R der Grundradius, r der Deckradius und h die senkrechte Höhe ist. Beispiel: R = 4 cm, r = 2 cm, h = 3 cm → V = π/3 · 3 · (16 + 8 + 4) = π · 28 ≈ 87,96 cm³.

Mit den Startwerten des Rechners (R = 5, r = 3, h = 6) ergibt sich V = π/3 · 6 · (25 + 15 + 9) = 2π · 49 ≈ 307,88 cm³.

Die Formel verallgemeinert die Kegelformel um den Term R·r: Ohne ihn wäre das Volumen zu klein. Ins Volumen geht ausschließlich die Höhe h ein, nie die Seitenlänge s.

Bei einem flachen Trichter mit R = 10 cm, r = 2 cm, h = 3 cm zeigt sich das: Setzt man s ≈ 8,544 cm statt h ein, überschätzt man V um fast 185 Prozent statt der korrekten 389,56 cm³.

Die Seitenlänge s (Mantellinie) ist der schräge Abstand zwischen Grund- und Deckkreis entlang der Kegelstumpf-Oberfläche. Sie ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras aus der Höhe h und der Radiusdifferenz: s = √((R − r)² + h²). Für R = 5 cm, r = 3 cm, h = 6 cm gilt s = √(4 + 36) = √40 ≈ 6,3246 cm.

Der Rechner weist s als eigenes Ergebnisfeld aus, du musst es nicht selbst bestimmen – s ist stets ein Ergebnis, keine Eingabe.

Wichtig ist die Radiusdifferenz (R − r), nicht R oder r einzeln: Bei gleichem R und r wird die Differenz null, und s entspricht dann genau h (Zylinderfall).

Praxisbeispiel Lampenschirm: Bei R = 20 cm, r = 10 cm und h = 15 cm beträgt die Radiusdifferenz 10 cm, sodass s = √(100 + 225) = √325 ≈ 18,03 cm – dieser Wert bestimmt den Stoffzuschnitt, nicht die Höhe von 15 cm.

Die Mantelfläche lautet M = π · (R + r) · s, wobei s die zuvor über Pythagoras berechnete Seitenlänge ist. Für R = 4 cm, r = 2 cm und h = 3 cm ist s = √(4 + 9) = √13 ≈ 3,6056 cm, also M = π · 6 · 3,6056 ≈ 67,96 cm².

Mit den Startwerten des Rechners (R = 5, r = 3, h = 6, s ≈ 6,3246) sind es M = π · 8 · 6,3246 ≈ 158,95 cm².

Die Mantelfläche umfasst nur den seitlichen, geschwungenen Teil – ohne Grund- und Deckfläche. Für einen Lampenschirm mit R = 20 cm, r = 10 cm und h = 15 cm ergibt sich M ≈ 1.699,08 cm² ≈ 0,17 m², also der benötigte Stoffbedarf für den Bezug.

Ein häufiger Fehler: Statt s wird die senkrechte Höhe h eingesetzt – bei diesem Beispiel ergäbe das fälschlich nur π · 30 · 15 ≈ 1.413,7 cm², rund 17 Prozent zu wenig Material.

Ein Kegelstumpf hat zwei parallele Kreisflächen unterschiedlicher Größe (Grundradius R und Deckradius r), ein Kegel dagegen läuft in einer einzelnen Spitze zusammen. Mathematisch ist der Kegel ein Grenzfall des Kegelstumpfs: Setzt man den Deckradius r = 0, geht die Kegelstumpf-Formel V = π/3 · h · (R² + R·r + r²) exakt in die Kegelformel V = 1/3 · π · R² · h über, weil die Terme R·r und r² verschwinden.

Das lässt sich direkt nachrechnen: Für R = 3 cm, h = 8 cm und r = 0 liefert der Kegelstumpf-Rechner V ≈ 75,40 cm³, M ≈ 80,53 cm² und s ≈ 8,544 cm – exakt dieselben Werte wie der separate Kegel-Rechner mit r = 3 cm und h = 8 cm.

Diese Übereinstimmung ist ein zuverlässiger Sanity-Check: Nähert sich r der Null an, muss sich das Ergebnis dem Kegelwert annähern. Tut es das nicht, liegt ein Eingabefehler vor.

Die Gesamtoberfläche lautet O = G + D + M, also Grundfläche plus Deckfläche plus Mantelfläche. Für R = 5 cm, r = 3 cm, h = 6 cm sind das G = π·25 ≈ 78,54 cm², D = π·9 ≈ 28,27 cm² und M ≈ 158,95 cm², zusammen O ≈ 265,77 cm². Für R = 4 cm, r = 2 cm, h = 3 cm ergibt sich entsprechend O ≈ 130,79 cm².

Wichtig ist der Anwendungsfall: Bei einem oben offenen Gefäß wie einem Eimer oder Blumentopf entfällt die Deckfläche als Materialfläche, dort zählt nur G + M.

Für einen Putzeimer mit R = 14,5 cm, r = 11,5 cm und h = 28 cm sind das G ≈ 660,52 cm² plus M ≈ 2.300,17 cm², zusammen rund 2.960,69 cm² Materialbedarf für den Kunststoffkörper – deutlich weniger als die volle Oberfläche O ≈ 3.376,16 cm² mit Deckfläche.

Bei geschlossenen Behältern wie Silos zählt dagegen die volle Formel O = G + D + M.

Ein Kegelstumpf wird zum Zylinder, wenn Grundradius und Deckradius identisch sind (R = r), denn dann verschwindet die Verjüngung zwischen Grund- und Deckfläche vollständig. Die Formel V = π/3 · h · (R² + R·r + r²) reduziert sich für R = r zu V = π/3 · h · 3R² = π · R² · h – exakt der Zylinderformel.

Rechnerisch bestätigt sich das: Für R = r = 5 cm und h = 6 cm liefert der Kegelstumpf-Rechner V ≈ 471,24 cm³, was mit π · 25 · 6 ≈ 471,24 cm³ übereinstimmt.

Auch die Seitenlänge passt: s = √((R−r)² + h²) wird für R = r zu s = √(0 + h²) = h, hier also s = 6 cm, genau die Mantellinie eines geraden Zylinders.

Diese Randwertprobe ist neben dem Kegel-Grenzfall (r = 0) die zweite verlässliche Kontrolle für die Formel: Weicht das Ergebnis bei nahezu gleichen Radien deutlich vom Zylinderwert π·R²·h ab, liegt ein Rechenfehler vor.

Typische Anwendungen: Fassungsvermögen von Eimern, Blumentöpfen und Sektkühlern, Materialbedarf für Lampenschirme und Trichteradapter, Volumenberechnung von Dammbalken, Silos mit verjüngtem Auslauf und Beton-Pfeilerfundamenten sowie Formgebung bei Drehteilen in der Fertigung.

Das Lampenschirm-Beispiel zeigt den Nutzen am deutlichsten: Ein Schirm mit unterem Radius R = 20 cm, oberem Radius r = 10 cm und Höhe h = 15 cm braucht laut Rechner M ≈ 1.699,08 cm² ≈ 0,17 m² Bezugsstoff – der Zuschnitt richtet sich nach der Mantelfläche, nicht nach dem Volumen.

Ein zweites Alltagsbeispiel ist der Putzeimer: Bei R = 14,5 cm, r = 11,5 cm und h = 28 cm zeigt der Rechner V ≈ 14.932 cm³, also knapp 14,9 Liter Fassungsvermögen – nahe am handelsüblichen 15-Liter-Eimer.

Für einen Trichteradapter mit R = 3 cm, r = 1 cm und h = 5 cm ergibt sich V ≈ 68,07 cm³ und eine Mantelfläche von M ≈ 67,67 cm² als Blechzuschnitt.

Die Formeln für Volumen, Mantelfläche, Oberfläche und Seitenlänge sind in R und r symmetrisch, weil die Terme R² + R·r + r² und (R − r)² bei einer Vertauschung unverändert bleiben – nur (R − r)² wird zu (r − R)², was durch das Quadrat wieder gleich ist. Für R = 3 cm, r = 5 cm, h = 6 cm liefert der Rechner deshalb dieselben Werte wie für R = 5 cm, r = 3 cm, h = 6 cm: s ≈ 6,3246 cm, M ≈ 158,95 cm², V ≈ 307,88 cm³.

Einzig Grundfläche G und Deckfläche D tauschen ihre Werte: Was vorher G = 78,54 cm² war, wird zu D = 78,54 cm², und umgekehrt. Das ist kein Rechenfehler, sondern die korrekte Konsequenz der Vertauschung.

Praktisch bedeutet das: Bei einem oben offenen Gefäß ohne Deckfläche musst du trotzdem darauf achten, welcher der beiden Werte tatsächlich R (die größere, dem Boden zugewandte Kreisfläche) ist, damit die Bezeichnung „Grundfläche“ korrekt bleibt.