Binomialverteilung-Rechner: Wahrscheinlichkeiten berechnen 2026

Eine Zufallsgröße heißt binomialverteilt, wenn sie die Anzahl der Erfolge aus n unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p zählt – jeder Einzelversuch hat dabei nur zwei mögliche Ausgänge (Bernoulli-Experiment).

Bei n = 10 Münzwürfen mit p = 0,5 ist die Anzahl der Würfe mit Kopf binomialverteilt mit den Parametern B(10; 0,5). Der Rechner liefert dafür P(X = 3) = 0,117188, also rund 11,7 % Wahrscheinlichkeit für genau drei Mal Kopf.

Voraussetzung ist, dass n vorab feststeht, p bei jedem Versuch konstant bleibt und die Versuche sich nicht gegenseitig beeinflussen.

Ändert sich p von Versuch zu Versuch, etwa weil ohne Zurücklegen gezogen wird, ist die Zufallsgröße nicht mehr binomialverteilt, sondern folgt der hypergeometrischen Verteilung.

Trage n, p und k oben ein, um die passenden Wahrscheinlichkeiten für dein eigenes Szenario zu berechnen.

Die Formel lautet P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k), wobei C(n, k) der Binomialkoeffizient „n über k“ ist.

Für die Standardwerte n = 10, p = 0,5 und k = 3 gilt C(10, 3) = 120, p^3 = 0,125 und (1 − 0,5)^7 = 0,0078125; multipliziert ergibt das P(X = 3) = 0,117188.

Der Binomialkoeffizient zählt, auf wie viele Arten sich k Erfolge auf n Versuche verteilen lassen, unabhängig von der Reihenfolge.

Bei großen n wird C(n, k) sehr schnell sehr groß, deshalb rechnet dieser Rechner intern mit dem logarithmierten Binomialkoeffizienten, um numerische Überläufe bis n = 1.000 zu vermeiden.

Setze k außerhalb des gültigen Bereichs von 0 bis n ein, liefert die Formel keine sinnvolle Wahrscheinlichkeit mehr – prüfe also vor der Eingabe, dass k eine ganze Zahl zwischen 0 und n ist.

Der Binomialkoeffizient C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus n auszuwählen, ohne die Reihenfolge zu beachten.

Für C(4, 2) ergibt sich 4! / (2! · 2!) = 6, für C(6, 3) sind es 20 und für C(8, 2) genau 28 – Werte, die sich mit dem Pascalschen Dreieck direkt ablesen lassen.

Ohne Taschenrechner reduziert man den Bruch zuerst: C(n, k) = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) / k!, was die Rechnung mit großen Fakultäten vermeidet.

In diesem Rechner steckt der Binomialkoeffizient als fester Faktor in jeder Einzelwahrscheinlichkeit P(X = k); bei n = 10 und k = 3 etwa als C(10, 3) = 120.

Willst du nur den Koeffizienten selbst sehen, setze p = 0,5 und lies das Ergebnis mit 2^n multipliziert zurück.

Die Bernoulli-Formel beschreibt einen einzelnen Versuch mit den zwei Ausgängen Erfolg (Wahrscheinlichkeit p) und Misserfolg (Wahrscheinlichkeit 1 − p) – sie liefert also nur P(Erfolg) = p für genau einen Versuch.

Die Binomialverteilung baut darauf auf und fasst n solcher unabhängiger Bernoulli-Versuche zusammen, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Gesamtzahl an Erfolgen zu berechnen.

Bei einem einzelnen Münzwurf mit p = 0,5 sagt die Bernoulli-Formel nur, dass Kopf mit 50 % Wahrscheinlichkeit fällt.

Erst die Binomialverteilung beantwortet Fragen wie „Wie wahrscheinlich sind genau 3 Mal Kopf bei 10 Würfen?“ und liefert dafür P(X = 3) = 0,117188.

Verwechselt man beide, unterschätzt man häufig, dass sich Wahrscheinlichkeiten über mehrere Versuche durch den Binomialkoeffizienten vervielfachen, statt sich einfach zu addieren.

Die kumulierte Binomialverteilung P(X ≤ k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, höchstens k Erfolge zu erzielen, und summiert dafür alle Einzelwahrscheinlichkeiten von P(X = 0) bis P(X = k).

Für n = 10, p = 0,5 und k = 3 beträgt P(X ≤ 3) = 0,171875, also knapp 17,2 % – in etwa jeder sechsten Zehnerserie fallen höchstens drei Mal Kopf. Die Gegenrichtung P(X ≥ k) berechnet sich als 1 − P(X ≤ k − 1) und beträgt im selben Beispiel 0,945313.

Kumulierte Werte sind in der Praxis oft wichtiger als die Einzelwahrscheinlichkeit, etwa wenn eine Qualitätskontrolle wissen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens 2 von 50 geprüften Teilen fehlerhaft sind.

Dieser Rechner gibt P(X = k), P(X ≤ k) und P(X ≥ k) gemeinsam aus, sodass sich beide Fragerichtungen ohne zusätzliche Summierung ablesen lassen.

Der Erwartungswert ergibt sich als E(X) = n · p, die Varianz als Var(X) = n · p · (1 − p) und die Standardabweichung als σ = √(n · p · (1 − p)).

Für n = 10 und p = 0,5 liefert das E(X) = 5, Var(X) = 2,5 und σ ≈ 1,5811 – im Mittel erwartet man also 5 Erfolge mit einer typischen Schwankung von rund 1,58 Treffern.

Die Varianz wird bei festem n maximal, wenn p = 0,5 gilt, weil dort die Unsicherheit am größten ist; je näher p an 0 oder 1 rückt, desto kleiner wird die Streuung.

Als Faustregel liegen etwa 95 % aller Ergebnisse im Bereich E(X) ± 2σ, bei den Standardwerten also zwischen 1,84 und 8,16.

Weicht ein beobachtetes k deutlich von diesem Bereich ab, ist das ein Hinweis auf eine veränderte Erfolgswahrscheinlichkeit und nicht nur normale Zufallsstreuung.

Auf einem wissenschaftlichen Taschenrechner mit Statistikfunktionen findest du den Binomialkoeffizienten meist über die Taste nCr (n, dann nCr, dann k), zum Beispiel 10 nCr 3 = 120 für C(10, 3).

Die vollständige Einzelwahrscheinlichkeit P(X = k) musst du danach manuell mit p^k · (1 − p)^(n − k) multiplizieren, was bei mehreren k-Werten schnell fehleranfällig wird.

Modelle wie der Casio fx-991DE X oder der TI-84 bieten zusätzlich eine eingebaute Binomial-PDF- beziehungsweise Binomial-CDF-Funktion, die P(X = k) und P(X ≤ k) direkt aus n, p und k berechnet.

Für n = 10, p = 0,5 und k = 3 liefern beide Wege dasselbe Ergebnis: P(X = 3) = 0,117188.

Dieser Rechner übernimmt alle Zwischenschritte automatisch und gibt zusätzlich Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung aus, ohne dass du den Binomialkoeffizienten von Hand eintippen musst.

Tabellenwerke der Binomialverteilung listen vorab berechnete Werte von P(X = k) und P(X ≤ k) für feste Kombinationen aus n und p, damit man ohne Formel oder Rechner schnell nachschlagen kann.

Solche Tabellen waren vor der Verbreitung von Taschenrechnern mit Statistikfunktionen Standard in Schule und Studium und finden sich bis heute in Formelsammlungen für n zwischen 5 und 50.

Für n = 10 und p = 0,5 zeigt die Tabelle direkt unter diesem Rechner alle elf Werte von k = 0 bis k = 10, etwa P(X = 5) = 0,246094 als wahrscheinlichstes Einzelergebnis.

Der Nachteil einer Tabelle ist die grobe Rasterung der p-Werte, meist in Schritten von 0,05 oder 0,1 – für exakte oder unübliche Werte wie p = 0,37 liefert nur die direkte Berechnung ein genaues Ergebnis.

Gib deine eigenen n-, p- und k-Werte oben ein, wenn die Tabelle deinen Fall nicht abdeckt.

Die Normalapproximation ist zulässig, wenn n · p ≥ 5 und n · (1 − p) ≥ 5 gilt; als schärfere Faustregel wird oft n · p · (1 − p) > 9 verwendet.

Bei n = 100 und p = 0,3 ist n · p = 30 und n · (1 − p) = 70, beide deutlich über der Schwelle, sodass sich B(100; 0,3) gut durch N(30; 21) annähern lässt – der Rechner liefert exakt E(X) = 30 und Var(X) = 21.

Für genauere Ergebnisse wird zusätzlich die Stetigkeitskorrektur empfohlen: Statt P(X ≤ k) rechnet man mit P(Z ≤ (k + 0,5 − n·p) / σ).

Bei den Standardwerten n = 10 und p = 0,5 ist n · p · (1 − p) = 2,5 und damit deutlich zu klein – hier bleibt die exakte Binomialrechnung über den Binomialkoeffizienten notwendig, weil die Normalapproximation spürbar abweichende Ergebnisse liefern würde.

Bei sehr kleinem p und großem n bietet stattdessen die Poisson-Approximation eine bessere Alternative.

Die Binomialverteilung setzt Ziehen mit Zurücklegen voraus, sodass die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Versuch konstant bleibt.

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt dagegen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit, bei der sich die Zusammensetzung nach jeder Entnahme ändert.

Liegen in einer Urne 50 Kugeln, davon 20 rote, und werden 10 Kugeln mit Zurücklegen gezogen, gilt B(10; 0,4) mit E(X) = 4; ohne Zurücklegen ist die hypergeometrische Verteilung mit N = 50, K = 20 und n = 10 korrekt, wobei der Erwartungswert gleich bleibt, die Varianz aber wegen der endlichen Grundgesamtheit etwas kleiner ausfällt.

Ist die Grundgesamtheit N mindestens 20-mal so groß wie die Stichprobe n, unterscheiden sich beide Verteilungen kaum noch, und die einfachere Binomialverteilung liefert eine gute Näherung.

Prüfe vor der Berechnung deshalb immer, ob in deinem Szenario tatsächlich mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird.