Binomialverteilung-Rechner: Wahrscheinlichkeiten berechnen 2026

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bei n unabhängigen Versuchen mit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu erzielen.

Jeder einzelne Versuch hat nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p) oder Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit 1 − p). Dieses Modell heißt Bernoulli-Experiment.

Die Binomialverteilung fasst n solcher Bernoulli-Versuche zusammen und gibt an, wie wahrscheinlich jede mögliche Anzahl von Erfolgen von 0 bis n ist.

Klassisches Beispiel: Bei n = 10 Münzwürfen mit p = 0,5 beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k = 3 Mal Kopf P(X = 3) = 0,117188. Das bedeutet, in etwa 11,7 % aller Zehnerserien fällt genau dreimal Kopf.

Voraussetzungen sind: feste Versuchsanzahl n, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p, Unabhängigkeit der Einzelversuche und genau zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch.

Sind diese Bedingungen erfüllt, liefert die Binomialverteilung exakte Wahrscheinlichkeiten für jede Trefferzahl.

Die Formel lautet P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k). Dabei ist C(n, k) der Binomialkoeffizient „n über k“, also n! / (k! · (n − k)!). Er zählt, auf wie viele Arten man k Erfolge auf n Versuche verteilen kann.

Konkret für n = 10, p = 0,5 und k = 3: C(10, 3) = 120. Dann p^3 = 0,125 und (1 − 0,5)^7 = 0,0078125. Multipliziert ergibt das 120 · 0,125 · 0,0078125 = 0,117188.

Das ist die Punktwahrscheinlichkeit, bei zehn fairen Münzwürfen exakt dreimal Kopf zu erhalten.

Schritt für Schritt: Zuerst den Binomialkoeffizienten berechnen, dann die Erfolgswahrscheinlichkeit potenzieren, anschließend die Gegenwahrscheinlichkeit potenzieren und alle drei Faktoren multiplizieren.

Bei großen n und k wird der Binomialkoeffizient sehr groß, weshalb Rechner intern oft mit Logarithmen arbeiten, um Überläufe zu vermeiden. Die Formel setzt voraus, dass k ganzzahlig ist und zwischen 0 und n liegt.

P(X ≤ k) ist die kumulative Wahrscheinlichkeit, höchstens k Erfolge zu erzielen. Sie ergibt sich als Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k).

Für n = 10, p = 0,5 und k = 3 beträgt P(X ≤ 3) = 0,171875, also rund 17,2 %. Das heißt: In etwa jeder sechsten Zehner-Münzwurfserie fallen höchstens drei Mal Kopf. P(X ≥ k) ist die Gegenrichtung: die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Erfolge.

Sie berechnet sich als P(X = k) + P(X = k + 1) + … + P(X = n) oder äquivalent als 1 − P(X ≤ k − 1). Im Beispiel ergibt sich P(X ≥ 3) = 0,945313, also 94,5 %. Mindestens drei Treffer bei zehn fairen Würfen sind somit sehr wahrscheinlich.

Diese kumulativen Werte sind in der Praxis häufig wichtiger als die Punktwahrscheinlichkeit, etwa bei Qualitätskontrollen, wo man wissen möchte, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens zwei fehlerhafte Teile in einer Stichprobe auftreten.

Der Erwartungswert E(X) gibt den durchschnittlichen Wert der Trefferzahl über viele Wiederholungen an und berechnet sich als E(X) = n · p. Die Varianz Var(X) misst die Streuung um diesen Erwartungswert: Var(X) = n · p · (1 − p).

Die Standardabweichung σ ist die Wurzel der Varianz: σ = √(n · p · (1 − p)). Für die Standardwerte n = 10 und p = 0,5 ergibt sich E(X) = 10 · 0,5 = 5, Var(X) = 10 · 0,5 · 0,5 = 2,5 und σ = √2,5 ≈ 1,5811.

Das bedeutet: Im Durchschnitt erwartet man 5 Erfolge, und die tatsächliche Trefferzahl schwankt typischerweise um etwa 1,58 Treffer um diesen Mittelwert. Die Varianz ist maximal, wenn p = 0,5 gilt, weil dann die Unsicherheit am größten ist.

Je näher p an 0 oder 1 liegt, desto kleiner wird die Streuung. Praktisch nutzt man Erwartungswert und Standardabweichung, um schnell abzuschätzen, in welchem Bereich die meisten Ergebnisse liegen – nämlich typischerweise innerhalb von E(X) ± 2σ.

Die Normalapproximation ist zulässig, wenn n groß genug ist und p nicht zu nah an 0 oder 1 liegt. Als Faustregel gilt: n · p ≥ 5 und n · (1 − p) ≥ 5.

Dann lässt sich die Binomialverteilung B(n, p) annähernd durch eine Normalverteilung N(μ, σ²) mit μ = n · p und σ² = n · p · (1 − p) ersetzen.

Beispiel: Bei n = 100 und p = 0,3 ist n · p = 30 und n · (1 − p) = 70, beide über 5, also ist die Näherung gut. Man rechnet mit μ = 30 und σ = √21 ≈ 4,58.

Für genauere Ergebnisse wendet man die Stetigkeitskorrektur an: P(X ≤ k) wird zu P(Z ≤ (k + 0,5 − μ) / σ). Ohne Korrektur verschiebt sich die Näherung um bis zu einen halben Punkt.

Bei kleinem n (unter 20) oder extremem p (unter 0,05 oder über 0,95) ist die Normalapproximation zu ungenau, und man sollte die exakte Binomialformel oder den Rechner verwenden.

Die Approximation spart Rechenaufwand, wenn man mit Tabellen der Standardnormalverteilung arbeitet.

Beide Verteilungen zählen Erfolge in einer Stichprobe, unterscheiden sich aber im Ziehungsverfahren. Die Binomialverteilung setzt Ziehen mit Zurücklegen voraus: Nach jedem Versuch bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit p konstant.

Die hypergeometrische Verteilung beschreibt Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit: Jede Entnahme verändert die Zusammensetzung der verbleibenden Elemente. Beispiel: In einer Urne liegen 50 Kugeln, davon 20 rote.

Zieht man 10 Kugeln mit Zurücklegen, gilt B(10; 0,4). Zieht man ohne Zurücklegen, nutzt man die hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N = 50, K = 20, n = 10.

Die Erwartungswerte sind gleich (E = 4), aber die Varianz ist bei der hypergeometrischen Verteilung etwas kleiner, weil die Stichprobe die Grundgesamtheit einschränkt.

Wenn die Grundgesamtheit N viel größer als die Stichprobe n ist (Faustregel: n < N/20), nähern sich beide Verteilungen einander an, und man darf die einfachere Binomialverteilung verwenden.

Mit steigendem n wird die Binomialverteilung breiter und glätter. Der Erwartungswert E(X) = n · p wächst linear, die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)) wächst mit √n. Deshalb nimmt die relative Streuung σ/E = √((1 − p) / (n · p)) ab.

Bei n = 10 und p = 0,5 ist σ/E = 0,316 (31,6 %), bei n = 100 nur noch 0,1 (10 %), bei n = 1.000 nur 0,0316 (3,2 %). Die Trefferzahl konzentriert sich also relativ immer stärker um den Erwartungswert – das ist das Gesetz der großen Zahlen.

Gleichzeitig nähert sich die Form der Verteilung einer Glockenkurve an (Zentraler Grenzwertsatz), was die Normalapproximation ermöglicht.

Numerisch wird die Berechnung bei großem n anspruchsvoll, weil der Binomialkoeffizient C(n, k) astronomisch groß wird: C(1.000, 500) hat über 299 Stellen.

Rechner umgehen das, indem sie mit logarithmierten Fakultäten oder der Stirling-Näherung arbeiten. In der Praxis treten große n etwa bei Umfragen, industriellen Stichprobenprüfungen oder Simulationen auf.

Die Binomialverteilung taucht überall auf, wo ein Ja-Nein-Experiment wiederholt wird. Qualitätskontrolle: Ein Hersteller prüft n = 50 Bauteile mit einer Fehlerquote von p = 0,02.

Die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 fehlerhaftes Teil zu finden, ist P(X ≤ 1) ≈ 0,7358. Medizin: Ein Medikament wirkt mit p = 0,8. Bei n = 20 Patienten beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 18 ansprechen, P(X ≥ 18) ≈ 0,2061.

Marketing: Eine Werbekampagne hat eine Konversionsrate von p = 0,03. Bei n = 200 Kontakten erwartet man E = 6 Konversionen mit σ ≈ 2,41. Biologie: Bei einem Kreuzungsversuch ist p = 0,25 für ein rezessives Merkmal.

Unter n = 12 Nachkommen beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Träger P(X = 3) ≈ 0,2581.

Bildung: In einem Multiple-Choice-Test mit 4 Optionen (p = 0,25) und n = 20 Fragen liegt die Wahrscheinlichkeit, rein durch Raten mindestens 10 richtig zu beantworten, bei P(X ≥ 10) ≈ 0,0139 – also unter 1,4 %.