Ableitungsrechner: Ableitung mit Rechenweg

Du gibst die Funktion in das Feld ein, etwa x^2 + 3*x, und klickst auf Ableiten. Der Rechner bestimmt die Ableitung f'(x), vereinfacht sie und zeigt das Ergebnis – im Beispiel 2·x + 3. Dazu erscheint immer ein Rechenweg nach Regeln.

Standardmäßig wird nach x abgeleitet; über das zweite Feld kannst du eine andere Variable wählen, über das Feld Ableitung die 2. bis 5. Ableitung. Über die Beispiel-Schaltflächen übernimmst du typische Funktionen wie sin(x) oder e^x direkt.

Der angezeigte Rechenweg benennt dabei jede Regel explizit: Für x^2 wendet er die Potenzregel an (Ergebnis: 2·x), für 3·x die Faktorregel (Ergebnis: 3); beide Teilergebnisse addiert die Summenregel zum Endergebnis 2·x + 3.

So lässt sich nachvollziehen, warum die Ableitung genau so aussieht. Das Ergebnis lässt sich direkt in Kurvendiskussion und Optimierungsaufgaben einsetzen, zum Beispiel um Steigung oder Wendestellen zu bestimmen.

Das Malzeichen bei Produkten ist optional (3x und 3*x werden gleich gelesen), Potenzen schreibst du mit dem Dach-Zeichen oder hochgestellt (x^2, x²), Dezimalzahlen mit Komma (0,5x), Funktionen mit Klammern: sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), sqrt(x).

Die e-Funktion schreibst du als e^x oder exp(x), den natürlichen Logarithmus als ln(x). Auch sin²(x) wird als (sin(x))² gelesen. Achte auf paarweise Klammern.

Ist die Eingabe korrekt, erscheint sofort das Ergebnis; bei einem Syntaxfehler weist dich der Rechner mit einem Hinweis darauf hin.

Rationale Ausdrücke wie (x^2 + 1)/(x − 1) schreibst du mit Schrägstrich und je einer äußeren Klammer für Zähler und Nenner; fehlt eine davon, leitet der Rechner einen falschen Ausdruck ab.

Willst du eine Summe potenzieren, sind Klammern zwingend: (x + 1)^2 statt x + 1^2, weil 1^2 sonst zuerst ausgerechnet wird. Das gilt genauso für verschachtelte Ausdrücke wie (sin(x))^2 oder (x + 1)^3.

Die Kreiszahl π schreibst du als pi, zum Beispiel cos(pi*x). Negative Exponenten wie x^(-2) benötigen ebenfalls Klammern um den Exponenten.

Der Rechner wendet die Potenzregel an – die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1) – sowie die Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Damit deckt er Polynome, Brüche und verschachtelte Ausdrücke ab.

Für die Standardfunktionen gilt: die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die von cos(x) ist −sin(x), e^x bleibt e^x und ln(x) wird zu 1/x. Beispiel Produktregel: Für x^2 * sin(x) ergibt sich 2·x·sin(x) + x²·cos(x).

Das Ergebnis wird anschließend automatisch vereinfacht. Die Kettenregel kannst du an sin(x^2) prüfen: Der Rechner liefert 2·x·cos(x²), also innere mal äußere Ableitung. Und 1/x wird zu −(1 / x²).

Damit ist er deutlich mächtiger als der verwandte Integralrechner, der Produkt- und Kettenregel bewusst nicht beherrscht – Ableiten ist regelbasiert immer möglich, Integrieren nicht.

Für die Quotientenregel rechne im Beispiel (x^2)/sin(x): Der Rechner gibt (2·x − x²·cos(x) / sin(x)) / sin(x) aus – das ist gleichwertig zu (u'v − uv')/v² und im Rechenweg als Quotientenregel benannt.

Damit lassen sich auch geschachtelte Brüche wie (e^x)/(x^2 + 1) zuverlässig ableiten.

Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung: Die Ableitung von e^x ist wieder e^x. Das macht sie in der Analysis besonders. Der natürliche Logarithmus ln(x) hat die Ableitung 1/x.

Wichtig ist die Abgrenzung zur Potenzfunktion: Die Ableitung von e^x ist e^x, die von x^e dagegen e·x^(e−1) nach der Potenzregel – die Basis entscheidet.

Gib den Logarithmus als ln(x) ein; der Rechner rechnet intern mit dem natürlichen Logarithmus und zeigt das Ergebnis wieder als ln an.

Kombiniert man e^x mit der Kettenregel, liefert der Rechner für e^(2*x) das Ergebnis 2·e^(2·x): Die äußere Ableitung e^(2*x) bleibt gleich, die innere Ableitung von 2*x ergibt den Faktor 2.

Ebenso bei ln(x^2): innere Ableitung 2*x geteilt durch x^2 ergibt 2/x.

Diese Kettenregel-Schritte zeigt der Rechner bei solchen zusammengesetzten Ausdrücken im Rechenweg mit äußerer und innerer Ableitung; du siehst also nicht nur das Endergebnis, sondern auch die einzelnen Ableitungsschritte.

Brüche der Form 1/x behandelst du am einfachsten als Potenz: 1/x ist x^(−1), und die Potenzregel liefert die Ableitung −1/x^2. Für 2/x ergibt sich entsprechend −2/x^2 – der konstante Faktor bleibt einfach erhalten.

Wurzeln schreibst du ebenfalls als Potenz: √x entspricht x^(1/2), sodass die Potenzregel ein Halb mal x hoch minus ein Halb liefert, also 1/(2·√x).

Gib die Wurzel direkt als sqrt(x), √x oder x^(1/2) ein; das Ergebnis ist gleichwertig, nur unterschiedlich geschrieben: Für sqrt(x) zeigt der Rechner 1 / (2·√x), für x^(1/2) die Potenzform x^(−1 / 2) / 2.

Komplexere Brüche wie (x^2 + 1)/(x − 1) verlangen dagegen die Quotientenregel, die der Rechner automatisch anwendet, sobald du Zähler und Nenner je in eine eigene Klammer setzt.

Ein Grenzfall: An der Stelle x = 0 ist 1/x nicht definiert, die Ableitung −1/x^2 existiert dort ebenfalls nicht – das Ergebnis gilt also nur für x ungleich 0.

Bei Wurzeln gilt entsprechend x größer 0, weil die Wurzel für negative x nicht reell definiert ist.

Für den schnellen Überblick lohnt sich eine kleine Ableitungstabelle mit den Grundfunktionen: Die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1), von sin(x) ist es cos(x), von cos(x) ist es −sin(x), von e^x bleibt es e^x, und von ln(x) wird es 1/x.

Diese fünf Regeln reichen für die meisten Schulaufgaben, weil sich zusammengesetzte Funktionen über Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel darauf zurückführen lassen.

Der Ableitungsrechner zeigt dir zu jeder eingegebenen Funktion nicht nur das Ergebnis, sondern auch den passenden Rechenweg, sodass du die Tabelle direkt an einem Beispiel nachvollziehen kannst – etwa an x^3, das mit der Potenzregel zu 3·x^2 wird.

Willst du eine allgemeine Exponentialfunktion wie 2^x ableiten, brauchst du zusätzlich den Faktor ln(a): Die Ableitung von a^x ist a^x·ln(a), bei 2^x also 2^x·ln(2).

Notiere dir diese Grundableitungen als Karteikarte, denn Klausuren setzen sie meist ohne Herleitung voraus.

Die zweite Ableitung erhältst du, indem du im Feld Ableitung die 2. Ableitung wählst; der Rechner leitet dann zweimal ab und listet beide Zwischenergebnisse. Beispiel: Aus f(x) = x^3 − 3*x wird f'(x) = 3·x² − 3 und f''(x) = 6·x.

Die zweite Ableitung brauchst du in der Kurvendiskussion, um zu prüfen, ob eine Extremstelle ein Hoch- oder Tiefpunkt ist: Ist f'' an der Stelle positiv, liegt ein Tiefpunkt vor, ist sie negativ, ein Hochpunkt.

Neben Hoch- und Tiefpunkten liefert die zweite Ableitung auch die Wendepunkte einer Kurve: Setze f''(x) = 0 und prüfe, ob die dritte Ableitung dort ungleich null ist – dann liegt ein echter Wendepunkt vor. Wähle dazu die 3.

Ableitung: Für f(x) = x^3 − 3*x ist f'''(x) = 6, was bestätigt, dass x = 0 ein Wendepunkt ist.

Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null wird. Leite die Funktion also ab, setze f'(x) = 0 und löse diese Gleichung. Beispiel: Für f(x) = x^3 − 3*x ist f'(x) = 3*x^2 − 3; aus 3*x^2 − 3 = 0 folgt x^2 = 1, also x = 1 und x = −1.

Ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, prüfst du mit der zweiten Ableitung. Im Beispiel ist f''(x) = 6*x: An x = 1 ergibt das 6 (positiv → Tiefpunkt), an x = −1 ergibt es −6 (negativ → Hochpunkt).

Zum Lösen der Nullstellengleichung hilft bei quadratischen Termen der Rechner für quadratische Gleichungen.

Steht die zweite Ableitung nicht zur Verfügung, nutzt du den Vorzeichenwechsel-Test: Werte f'(x) links und rechts der Nullstelle aus – wechselt das Vorzeichen von Plus zu Minus, liegt ein Hochpunkt vor, von Minus zu Plus ein Tiefpunkt.

Für x = 1 im obigen Beispiel gilt f'(0,9) = 3·0,81 − 3 ≈ −0,57 (negativ) und f'(1,1) ≈ 0,63 (positiv) – der Vorzeichenwechsel bestätigt den Tiefpunkt.

Erscheint ein Hinweis, dass die Funktion nicht abgeleitet werden konnte, liegt fast immer ein Schreibfehler vor. Prüfe die häufigsten Ursachen: nicht geschlossene Klammern, ein unbekannter Funktionsname oder ein Tippfehler wie sinx statt sin(x).

Auch sehr ungewöhnliche oder nicht unterstützte Ausdrücke werden bewusst abgelehnt, statt ein falsches Ergebnis zu raten. Korrigiere die Schreibweise anhand der Beispiele – danach berechnet der Rechner die Ableitung zuverlässig.

Der schnellste Weg zur Fehlersuche: Klicke eines der Beispiele wie x^2 + 3*x an und baue deine Funktion Schritt für Schritt daraus um. So siehst du sofort, welche Änderung den Fehler auslöst.

Beachte außerdem: Eine leere Eingabe ist kein Syntaxfehler – dann bittet dich der Rechner lediglich, überhaupt eine Funktion einzugeben.

Hyperbelfunktionen wie sinh(x) oder cosh(x) sind ebenfalls unterstützt – wenn sie nicht erkannt werden, prüfe, ob du sie exakt so geschrieben hast, da der Rechner diese Schreibweisen ohne Leerzeichen und mit Klammern erwartet.

Eine partielle Ableitung bildest du, indem du die Funktion nur nach einer Variablen ableitest und alle anderen Buchstaben als Konstanten behandelst.

Gib die Funktion mit mehreren Variablen ein, etwa x^2*y, und trage im Feld „Ableiten nach“ die gewünschte Variable ein: Nach x ergibt sich 2·y·x, nach y dagegen x².

Sobald die Funktion mindestens zwei Variablen enthält, zeigt der Rechner zusätzlich alle partiellen Ableitungen untereinander an; zusammen bilden sie den Gradienten (∂f/∂x, ∂f/∂y). Für f = sin(x)*y erhältst du ∂f/∂x = y*cos(x) und ∂f/∂y = sin(x).

Auch bei f = a*t^2 hängt das Ergebnis von der Wahl ab: Nach t ergibt sich 2*a*t, nach a dagegen t^2. Gemischte Ableitungen wie ∂²f/∂x∂y bekommst du, indem du das Ergebnis erneut eingibst und nach der zweiten Variablen ableitest.

Für Funktionen mit horizontalem oder schiefem Grenzwertverhalten bietet der Asymptoten-Rechner die Anschlussanalyse.