Ableitungsrechner: Ableitung mit Rechenweg

Du gibst die Funktion in das Feld ein, etwa x^2 + 3*x, und klickst auf Ableiten. Der Rechner bestimmt die Ableitung f'(x), vereinfacht sie und zeigt das Ergebnis – im Beispiel 2*x + 3.

Bei mehreren Summanden erscheint zusätzlich ein Rechenweg, der jeden Term einzeln ableitet. Standardmäßig wird nach x abgeleitet; über das zweite Feld kannst du eine andere Variable wählen.

Über die Beispiel-Schaltflächen übernimmst du typische Funktionen wie sin(x) oder e^x direkt.

Der angezeigte Rechenweg benennt dabei jede Regel explizit: Für x^2 wendet er die Potenzregel an (Ergebnis: 2*x), für 3*x ebenfalls (Ergebnis: 3); beide Teilergebnisse addiert die Summenregel zum Endergebnis 2*x + 3.

So lässt sich nachvollziehen, warum die Ableitung genau so aussieht. Enthält die Funktion mehrere verschiedene Terme, erscheint der Rechenweg automatisch – bei einem einzigen Term zeigt der Rechner nur das Ergebnis.

Das Ergebnis lässt sich direkt in Kurvendiskussion und Optimierungsaufgaben einsetzen, zum Beispiel um Steigung oder Wendestellen zu bestimmen.

Verwende ein Malzeichen für Produkte (3*x, nicht 3x), das Dach-Zeichen für Potenzen (x^2) und Klammern für Funktionen: sin(x), cos(x), tan(x), sqrt(x). Die e-Funktion schreibst du als e^x oder exp(x), den natürlichen Logarithmus als ln(x).

Das fehlende Malzeichen ist die häufigste Fehlerquelle – 3x wird nicht erkannt. Achte außerdem auf paarweise Klammern. Ist die Eingabe korrekt, erscheint sofort das Ergebnis; bei einem Syntaxfehler weist dich der Rechner mit einem Hinweis darauf hin.

Rationale Ausdrücke wie (x^2 + 1)/(x − 1) schreibst du mit Schrägstrich und je einer äußeren Klammer für Zähler und Nenner; fehlt eine davon, leitet der Rechner einen falschen Ausdruck ab.

Willst du eine Summe potenzieren, sind Klammern zwingend: (x + 1)^2 statt x + 1^2, weil 1^2 sonst zuerst ausgerechnet wird. Das gilt genauso für verschachtelte Ausdrücke wie (sin(x))^2 oder (x + 1)^3.

Die Kreiszahl π schreibst du als pi, zum Beispiel cos(pi*x). Negative Exponenten wie x^(-2) benötigen ebenfalls Klammern um den Exponenten.

Der Rechner wendet die Potenzregel an – die Ableitung von x^n ist n·x^(n−1) – sowie die Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Damit deckt er Polynome, Brüche und verschachtelte Ausdrücke ab.

Für die Standardfunktionen gilt: die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die von cos(x) ist −sin(x), e^x bleibt e^x und ln(x) wird zu 1/x. Beispiel Produktregel: Für x^2 * sin(x) ergibt sich 2*x*sin(x) + x^2*cos(x).

Das Ergebnis wird anschließend automatisch vereinfacht. Die Kettenregel kannst du an sin(x^2) prüfen: Der Rechner liefert 2*x*cos(x^2), also innere mal äußere Ableitung. Und 1/x wird zu −(1/x^2).

Damit ist er deutlich mächtiger als der verwandte Integralrechner, der Produkt- und Kettenregel bewusst nicht beherrscht – Ableiten ist regelbasiert immer möglich, Integrieren nicht.

Für die Quotientenregel rechne im Beispiel (x^2)/sin(x): Der Rechner gibt (2*x*sin(x) − x^2*cos(x))/(sin(x))^2 aus – also nach dem Muster (u'v − uv')/v^2. Damit lassen sich auch geschachtelte Brüche wie (e^x)/(x^2 + 1) zuverlässig ableiten.

Die zweite Ableitung erhältst du, indem du das Ergebnis der ersten Ableitung erneut in das Funktionsfeld eingibst und noch einmal ableitest.

Beispiel: Aus f(x) = x^3 − 3*x wird f'(x) = 3*x^2 − 3; gibst du 3*x^2 − 3 erneut ein, liefert der Rechner f''(x) = 6*x.

Die zweite Ableitung brauchst du in der Kurvendiskussion, um zu prüfen, ob eine Extremstelle ein Hoch- oder Tiefpunkt ist: Ist f'' an der Stelle positiv, liegt ein Tiefpunkt vor, ist sie negativ, ein Hochpunkt.

Neben Hoch- und Tiefpunkten liefert die zweite Ableitung auch die Wendepunkte einer Kurve: Setze f''(x) = 0 und prüfe, ob die dritte Ableitung dort ungleich null ist – dann liegt ein echter Wendepunkt vor.

Gib dazu zunächst die zweite Ableitung in das Feld ein, leite erneut ab und erhalte so f'''(x). Für f(x) = x^3 − 3*x ist f'''(x) = 6, was bestätigt, dass x = 0 ein Wendepunkt ist.

Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung: Die Ableitung von e^x ist wieder e^x. Das macht sie in der Analysis besonders. Der natürliche Logarithmus ln(x) hat die Ableitung 1/x.

Wichtig ist die Abgrenzung zur Potenzfunktion: Die Ableitung von e^x ist e^x, die von x^e dagegen e·x^(e−1) nach der Potenzregel – die Basis entscheidet.

Gib den Logarithmus als ln(x) ein; der Rechner rechnet intern mit dem natürlichen Logarithmus und zeigt das Ergebnis wieder als ln an.

Kombiniert man e^x mit der Kettenregel, liefert der Rechner für e^(2*x) das Ergebnis 2*e^(2*x): Die äußere Ableitung e^(2*x) bleibt gleich, die innere Ableitung von 2*x ergibt den Faktor 2.

Ebenso bei ln(x^2): innere Ableitung 2*x geteilt durch x^2 ergibt 2/x.

Diese Kettenregel-Schritte zeigt der Rechner bei solchen zusammengesetzten Ausdrücken als mehrstufigen Rechenweg; du siehst also nicht nur das Endergebnis, sondern auch die einzelnen Ableitungsschritte.

Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null wird. Leite die Funktion also ab, setze f'(x) = 0 und löse diese Gleichung. Beispiel: Für f(x) = x^3 − 3*x ist f'(x) = 3*x^2 − 3; aus 3*x^2 − 3 = 0 folgt x^2 = 1, also x = 1 und x = −1.

Ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt, prüfst du mit der zweiten Ableitung. Im Beispiel ist f''(x) = 6*x: An x = 1 ergibt das 6 (positiv → Tiefpunkt), an x = −1 ergibt es −6 (negativ → Hochpunkt).

Zum Lösen der Nullstellengleichung hilft bei quadratischen Termen der Rechner für quadratische Gleichungen.

Steht die zweite Ableitung nicht zur Verfügung, nutzt du den Vorzeichenwechsel-Test: Werte f'(x) links und rechts der Nullstelle aus – wechselt das Vorzeichen von Plus zu Minus, liegt ein Hochpunkt vor, von Minus zu Plus ein Tiefpunkt.

Für x = 1 im obigen Beispiel gilt f'(0,9) = 3·0,81 − 3 ≈ −0,57 (negativ) und f'(1,1) ≈ 0,63 (positiv) – der Vorzeichenwechsel bestätigt den Tiefpunkt.

Erscheint ein Hinweis, dass die Funktion nicht abgeleitet werden konnte, liegt fast immer ein Schreibfehler vor.

Prüfe die häufigsten Ursachen: ein fehlendes Malzeichen (3x statt 3*x), nicht geschlossene Klammern, ein unbekannter Funktionsname oder ein Tippfehler wie sinx statt sin(x).

Auch sehr ungewöhnliche oder nicht unterstützte Ausdrücke werden bewusst abgelehnt, statt ein falsches Ergebnis zu raten. Korrigiere die Schreibweise anhand der Beispiele – danach berechnet der Rechner die Ableitung zuverlässig.

Der schnellste Weg zur Fehlersuche: Klicke eines der sieben Beispiele wie x^2 + 3*x an und baue deine Funktion Schritt für Schritt daraus um. So siehst du sofort, welche Änderung den Fehler auslöst.

Beachte außerdem: Eine leere Eingabe ist kein Syntaxfehler – dann bittet dich der Rechner lediglich, überhaupt eine Funktion einzugeben.

Hyperbelfunktionen wie sinh(x) oder cosh(x) sind ebenfalls unterstützt – wenn sie nicht erkannt werden, prüfe, ob du sie exakt so geschrieben hast, da der Rechner diese Schreibweisen ohne Leerzeichen und mit Klammern erwartet.

Ja. Standardmäßig leitet der Rechner nach x ab, aber im zweiten Feld kannst du eine beliebige Variable angeben, etwa t oder a.

Das ist wichtig, wenn eine Funktion mehrere Buchstaben enthält: Bei f = a*t^2 hängt das Ergebnis davon ab, ob du nach t oder nach a ableitest. Nach t ergibt sich 2*a*t (a gilt als Konstante), nach a dagegen t^2.

Trage die Variable, nach der abgeleitet werden soll, exakt so ein, wie sie in der Funktion vorkommt.

In der Physik ist das Ableiten nach der Zeit t üblich: Für die Weg-Funktion s(t) = 5*t^2 gibt der Rechner nach t abgeleitet die Geschwindigkeit v = 10*t aus.

Enthält eine Eingabe Buchstaben, die nicht als Ableitungsvariable eingetragen sind, behandelt der Rechner sie als Konstante: Bei f = a*x^2 und Ableitung nach x ergibt sich 2*a*x, weil a konstant bleibt.

Für Funktionen mit horizontalem oder schiefem Grenzwertverhalten bietet der Asymptoten-Rechner die Anschlussanalyse.