Extrempunkte berechnen: Hoch- und Tiefpunkte bestimmen

Ein Extrempunkt ist die Stelle, an der eine Funktion ein lokales Maximum (Hochpunkt) oder Minimum (Tiefpunkt) hat; den reinen Funktionswert dort nennt man Extremum oder Extremwert.

Notwendig ist f'(x₀) = 0 – die Tangente verläuft an dieser Stelle waagerecht. Schritt für Schritt: 1. Erste Ableitung f'(x) bilden. 2. f'(x) = 0 lösen und Kandidaten x₀ bestimmen. 3.

Mit der zweiten Ableitung klassifizieren: f''(x₀) > 0 → Tiefpunkt, f''(x₀) < 0 → Hochpunkt. 4. y-Koordinate als f(x₀) berechnen. Trage deine Funktion in den Extrempunkt-Rechner ein, er übernimmt alle vier Schritte automatisch.

Konkret liefert f(x) = x³ − 3x die Ableitung f'(x) = 3x² − 3 mit Nullstellen bei x = ±1; f''(−1) = −6 < 0 ergibt den Hochpunkt H(−1 | 2), f''(1) = 6 > 0 den Tiefpunkt T(1 | −2).

Die Suche läuft dabei nur im festen Bereich [−10, 10] – weiter außen liegende Extrempunkte findet der Rechner nicht.

Hochpunkt und Tiefpunkt werden mit demselben Verfahren berechnet, nur das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidet, welcher der beiden vorliegt: f''(x₀) < 0 liefert einen Hochpunkt, f''(x₀) > 0 einen Tiefpunkt.

Für f(x) = x² − 4x + 3 ergibt sich f'(x) = 2x − 4 mit der einzigen Nullstelle x = 2; da f''(x) = 2 konstant positiv ist, liegt hier nur ein Tiefpunkt T(2 | −1) vor, kein Hochpunkt.

Bei Funktionen höheren Grades treten dagegen beide Typen gemeinsam auf, etwa bei f(x) = 2x⁴ − 8x² + 6 mit Hochpunkt H(0 | 6) und zwei Tiefpunkten bei x = ±√2.

Gib deine Funktion in den Rechner ein, um zu sehen, ob überhaupt beide Typen vorkommen, statt sie von Hand zu unterscheiden. Beachte dabei die feste Grenze: Der Rechner sucht ausschließlich im Bereich [−10, 10] nach Kandidaten.

Ein lokales Extremum ist ein Punkt, der nur in seiner unmittelbaren Umgebung am höchsten oder niedrigsten liegt, während ein globales Extremum der höchste oder niedrigste Wert der gesamten Funktion oder eines betrachteten Intervalls ist.

Beispiel: f(x) = x³ − 3x hat lokale Extrema bei x = ±1, aber kein globales Extremum, weil f(x) für x → ±∞ selbst über alle Grenzen wächst beziehungsweise fällt.

Auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] nimmt eine stetige Funktion dagegen immer ein globales Maximum und Minimum an – dafür vergleichst du alle lokalen Extremwerte zusätzlich mit den Randwerten f(a) und f(b).

Für f(x) = x³ − 3x auf [−2, 2]: Randwerte f(−2) = −2 und f(2) = 2, lokale Werte f(−1) = 2 und f(1) = −2 → globales Maximum 2, globales Minimum −2.

Trage die Randwerte deshalb immer von Hand nach, der Rechner selbst liefert nur die lokalen Kandidaten im Bereich [−10, 10].

Das Vorzeichenwechselkriterium prüft, ob die erste Ableitung f' links und rechts eines Kandidaten x₀ ihr Vorzeichen ändert, und greift genau dann, wenn f''(x₀) = 0 keine Aussage mehr zulässt.

Wechselt f' von positiv nach negativ, liegt ein Hochpunkt vor; von negativ nach positiv ein Tiefpunkt; bleibt das Vorzeichen gleich, handelt es sich um einen Sattelpunkt statt um ein Extremum.

Am Beispiel f(x) = x⁴ ist f'(0) = 0 und f''(0) = 0, doch f'(x) = 4x³ wechselt von negativ nach positiv → Tiefpunkt bei x = 0.

Bei f(x) = x³ dagegen wechselt f'(x) = 3x² um x = 0 nicht das Vorzeichen (beidseitig positiv) – der Rechner zeigt diesen Kandidaten deshalb bewusst nur als „Kandidat“ ohne feste Klassifikation an, denn hier liegt tatsächlich ein Sattelpunkt vor.

Prüfe bei einem solchen Kandidaten immer selbst das Vorzeichen von f' knapp links und rechts der Stelle, statt dich allein auf f''(x₀) zu verlassen.

Die Monotonietabelle zeigt, in welchen Intervallen eine Funktion steigt oder fällt, indem sie das Vorzeichen von f' zwischen den gefundenen Extremstellen auswertet: f' > 0 bedeutet streng monoton steigend, f' < 0 streng monoton fallend.

Der Rechner wertet dazu f' jeweils in der Mitte jedes Intervalls zwischen zwei benachbarten Extremstellen und den Rändern [−10, 10] aus.

Für f(x) = x³ − 3x mit Extremstellen bei x = −1 und x = 1 ergibt sich: (−10; −1) steigend, (−1; 1) fallend, (1; 10) steigend – drei Intervalle für zwei Extremstellen.

Bestimme die Monotonie einer eigenen Funktion, indem du sie in den Rechner einträgst; die Tabelle erscheint automatisch unter dem Rechenweg.

Ein praktischer Nutzen: Hat f' im betrachteten Bereich genau eine Nullstelle, ist die zugehörige Stelle zwingend ein globales Extremum, ganz ohne Randwertvergleich.

Beachte, dass die Tabelle die festen Fenstergrenzen −10 und 10 als Intervallenden verwendet, nicht das tatsächliche Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Lineare Funktionen wie f(x) = x haben keinen Extrempunkt, weil f'(x) = 1 überall konstant und nie null ist; ebenso hat f(x) = e^x keinen Extrempunkt, da f'(x) = e^x stets positiv bleibt und niemals die Nullstelle erreicht.

Auch f(x) = x³ hat bei x = 0 keinen Extrempunkt, obwohl f'(0) = 0 gilt, denn f' wechselt dort das Vorzeichen nicht (Sattelpunkt, siehe eigene Frage).

Der Rechner meldet in diesen Fällen „Keine Extrempunkte im Bereich [−10, 10] gefunden“ und zeigt stattdessen die Monotonie der gesamten Funktion.

Ebenso liefern streng monotone Funktionen wie f(x) = arctan(x) oder f(x) = √x keine Extrempunkte, weil ihre Ableitung ebenfalls nie das Vorzeichen wechselt.

Bei f(x) = |x| liegt zwar anschaulich ein globales Minimum bei x = 0 vor, doch der Ableitungstest versagt dort formal, weil die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist – gib eine solche Funktion probeweise ein, um die leere Ausgabe selbst nachzuvollziehen.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen berechnet man Extrempunkte genauso über f'(x) = 0, wendet dabei aber zusätzlich die Quotientenregel an, weil Zähler und Nenner getrennte Terme sind.

Für f(x) = x/(x² + 1) ergibt die Quotientenregel f'(x) = (1 − x²)/(x² + 1)², deren Zähler bei x = ±1 null wird (der stets positive Nenner beeinflusst die Nullstellen nicht).

Einsetzen liefert f(−1) = −0,5 und f(1) = 0,5; mit f''(−1) > 0 und f''(1) < 0 ergeben sich Tiefpunkt T(−1 | −0,5) und Hochpunkt H(1 | 0,5).

Trage den Term probeweise als „x/(x^2+1)“ in den Rechner ein, um Zähler und Nenner nicht getrennt ableiten zu müssen.

Achte bei gebrochen-rationalen Funktionen zusätzlich auf Definitionslücken: Wird der Nenner an einer Stelle null, liefert dort weder Funktion noch Ableitung ein gültiges Ergebnis, und ein vermeintlicher Extrempunkt in der Nähe kann tatsächlich eine Polstelle sein.

Bei einer e-Funktion berechnet man Extrempunkte über die Produkt- und Kettenregel, da die Exponentialfunktion selbst nie null wird und deshalb nur der restliche Faktor der Ableitung die Nullstelle liefert.

Für f(x) = x·e^(−x) ergibt die Produktregel f'(x) = e^(−x)·(1 − x), und weil e^(−x) niemals null ist, bleibt allein 1 − x = 0 als Bedingung übrig → x = 1.

Mit f''(x) = e^(−x)·(x − 2) folgt f''(1) = −e^(−1) < 0, also ein Hochpunkt H(1 | 0,3679) mit dem gerundeten Wert 1/e. Trage „x*exp(-x)“ in den Rechner ein, um Produkt- und Kettenregel nicht von Hand kombinieren zu müssen.

Vorsicht bei zusammengesetzten e-Funktionen wie e^(−x²): Hier liefert die Kettenregel einen zusätzlichen Faktor −2x, sodass die Ableitung anders aussieht als bei einem reinen Produkt aus x und e^(−x) – prüfe deshalb immer, ob die Variable im Exponenten oder als eigener Faktor auftritt.

Extremwertaufgaben löst du in vier Schritten: Zielfunktion aufstellen, Extrempunkte berechnen, Art bestimmen (Hoch- oder Tiefpunkt) und Randbedingungen prüfen.

Praktisches Beispiel: Gesucht ist das größte Rechteck, das symmetrisch unter der Parabel y = 9 − x² liegt, für x zwischen 0 und 3. Die Flächenfunktion lautet A(x) = 2x·(9 − x²) = 18x − 2x³.

Eingabe von „2*x*(9-x^2)“ in den Rechner liefert den Hochpunkt bei x = √3 ≈ 1,7321 mit A ≈ 20,7846 Flächeneinheiten – die zweite Ableitung A''(x) = −12x bestätigt mit A''(√3) < 0 das Maximum.

Die Randwerte x = 0 und x = 3 ergeben A = 0 und scheiden als Lösung aus, sodass nur der innere Hochpunkt bei √3 übrig bleibt.

Prüfe bei eigenen Extremwertaufgaben immer, ob das gefundene x im sinnvollen Bereich liegt (hier 0 < x < 3), denn ein rechnerisches Extremum außerhalb der Randbedingungen ist keine gültige Lösung der Aufgabe.

Ein Extrempunkt ist ein Koordinatenpaar (x₀, y₀) mit x- und y-Koordinate, der Extremwert dagegen nur die y-Koordinate y₀ = f(x₀), also der Funktionswert an der Extremstelle; die x-Koordinate allein heißt Extremstelle.

Beispiel: f(x) = x² − 4x + 3 hat den Extrempunkt T(2 | −1), die Extremstelle x₀ = 2 und den Extremwert y₀ = −1.

Für Prüfungen ist die Unterscheidung wichtig, weil die Aufgabenstellung sie vorgibt: „Bestimme die Extremstelle“ verlangt nur x₀ = 2, „Bestimme den Extrempunkt“ das vollständige Paar T(2 | −1).

Vergiss deshalb nie den letzten Rechenschritt, x₀ in f(x) einzusetzen – f'(x) = 0 liefert allein die Stelle, nie den Punkt; der Rechner gibt immer beide Koordinaten gemeinsam aus.

Den Ableitungsterm, aus dem die kritischen Stellen folgen, liefert bei Bedarf zusätzlich der Ableitungsrechner mit vollständigem Rechenweg.