Wendepunkte berechnen: Rechner mit Rechenweg online

Ein Wendepunkt entsteht in vier Schritten: Erstens die zweite Ableitung f''(x) bilden, zweitens f''(x) = 0 setzen und die Kandidaten x₀ lösen, drittens den Vorzeichenwechsel von f'' links und rechts von x₀ prüfen, viertens die y-Koordinate über y₀ = f(x₀) aus der Ausgangsfunktion bestimmen.

Für f(x) = x^3 − 3x liefert das f''(x) = 6x mit Kandidat x = 0. Da f''(−0,1) = −0,6 negativ und f''(0,1) = 0,6 positiv ist, wechselt das Vorzeichen tatsächlich, und der Wendepunkt lautet W(0 | 0).

Im Wendepunkt-Rechner trägst du die Funktion in das Feld ein und klickst auf „Wendepunkte berechnen“: Der Rechner übernimmt Ableitung, Nullstellensuche und Vorzeichenprüfung automatisch und zeigt f'(x), f''(x) und f'''(x) im Kasten „Ableitungen“ sowie den Lösungsweg mit Wendetangente und Krümmungsintervallen.

Bei Polynomen löst er f″ = 0 exakt, bei anderen Funktionen sucht er numerisch im Bereich [−10, 10], den du über „Suche von … bis“ ändern kannst; Wendepunkte eines Polynoms außerhalb des Bereichs nennt er ausdrücklich.

Eine Wendestelle ist nur der x-Wert x₀, an dem die Krümmung wechselt, während ein Wendepunkt das vollständige Koordinatenpaar W(x₀ | y₀) bezeichnet – die beiden Begriffe werden in der Praxis oft synonym verwendet, sind aber genau genommen unterschiedlich präzise.

Für f(x) = x^3 − 3x ist x₀ = 0 die Wendestelle, während W(0 | 0) der zugehörige Wendepunkt ist, weil zusätzlich der Funktionswert y₀ = f(0) = 0 eingesetzt wird.

Bei f(x) = x^4 − 6x^2 lauten die Wendestellen x₁ = −1 und x₂ = 1, die Wendepunkte dagegen W₁(−1 | −5) und W₂(1 | −5), weil beide y-Werte −5 betragen.

Der Wendepunkt-Rechner gibt dir stets das vollständige Paar aus, nicht nur die x-Stelle: Nach dem Klick auf „Wendepunkte berechnen“ erscheint direkt W(x | y), sodass du die y-Koordinate nicht separat durch Einsetzen in f nachrechnen musst.

Eine Funktion hat an einer Stelle x₀ genau dann einen Wendepunkt, wenn f''(x₀) = 0 gilt und f'' dort zusätzlich das Vorzeichen wechselt – die reine Nullstelle von f'' allein reicht nicht aus.

Gegenbeispiel: f(x) = x^4 hat f''(x) = 12x^2, also f''(0) = 0, doch f'' bleibt für alle x ≠ 0 positiv und wechselt nie das Vorzeichen, weshalb x = 0 kein Wendepunkt ist.

Ganz ohne Wendepunkt bleiben zudem Funktionen mit konstanter Krümmung, etwa e^x mit f''(x) = e^x > 0 für jedes x oder e^(−x) mit demselben Verhalten.

Der Wendepunkt-Rechner meldet in solchen Fällen nicht stillschweigend nichts, sondern gibt aktiv „Keine Wendepunkte im Bereich [−10, 10] gefunden“ aus.

Prüfe bei einer verneinten Ausgabe zuerst, ob die Funktion überhaupt eine Krümmungsänderung besitzt, bevor du einen Fehler in der Eingabe vermutest.

Ohne dritte Ableitung weist du einen Wendepunkt über den direkten Vorzeichenwechsel-Test nach: Setze zwei Werte knapp links und rechts des Kandidaten x₀ in f'' ein und prüfe, ob sich das Vorzeichen unterscheidet.

Genau das macht der Wendepunkt-Rechner automatisch: bei Polynomen über die Vielfachheit der Nullstelle von f″, bei anderen Funktionen mit einem kleinen Abstand links und rechts jeder Nullstelle von f''.

Der Test funktioniert sogar dann, wenn f'''(x₀) selbst null ist und die übliche Abkürzung „f'''(x₀) ≠ 0 genügt als Nachweis“ versagt: Bei f(x) = x^5 gilt f''(x) = 20x^3 mit Kandidat x = 0, und obwohl f'''(0) = 60·0^2 = 0 ist, bestätigt f''(−0,1) = −0,02 gegenüber f''(0,1) = 0,02 den echten Vorzeichenwechsel und damit einen Wendepunkt bei W(0 | 0).

Diese Methode ist universeller als die Prüfung von f''' und bleibt auch bei höheren Sonderfällen zuverlässig, solange die numerische Suche nicht an sehr flachen Kurvenverläufen scheitert.

Ist f'''(x₀) = 0, entscheidet die dritte Ableitung nicht mehr, ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt – dann bleibt nur der direkte Vorzeichenwechsel-Test von f'' als Nachweis.

Das bedeutet nicht automatisch, dass kein Wendepunkt existiert: Bei f(x) = x^5 ist f''(x) = 20x^3 und f'''(x) = 60x^2, also f'''(0) = 0, doch f'' wechselt bei x = 0 trotzdem von negativ (x < 0) zu positiv (x > 0) das Vorzeichen – ein echter Wendepunkt bei W(0 | 0), zusätzlich sogar ein Sattelpunkt, weil auch f'(0) = 0 gilt.

Zum Vergleich: Bei f(x) = x^4 ist f'''(x) = 24x mit f'''(0) = 0, aber f'' = 12x^2 wechselt dort gar nicht das Vorzeichen, weshalb x = 0 kein Wendepunkt ist.

Der Wendepunkt-Rechner zeigt in beiden Fällen nur den tatsächlichen Vorzeichenwechsel-Befund an, unabhängig davon, ob f''' zufällig null ist.

Ein Wendepunkt ist jede Stelle mit Krümmungswechsel: f''(x₀) = 0 mit bestätigtem Vorzeichenwechsel. Ein Sattelpunkt ist der Spezialfall, bei dem zusätzlich f'(x₀) = 0 gilt – die Tangente verläuft dort waagerecht.

Bei f(x) = x^3 liegt bei x = 0 ein Sattelpunkt vor: f'(0) = 0 und f''(0) = 0, und f' wechselt dabei nicht das Vorzeichen (kein Extremum).

Der Wendepunkt-Rechner findet auch Sattelpunkte, weil sie eine Unterart der Wendepunkte sind; der Rechner kennzeichnet den Sattelpunkt in der Ergebnisliste („Sattelpunkt, f′ = 0“) und gibt die waagerechte Wendetangente an.

Für f(x) = x^3 − 3x dagegen nennt der Rechner W(0 | 0) als gewöhnlichen Wendepunkt, denn f'(0) = −3 ≠ 0: eine schräge Wendetangente y = −3x, also kein Sattelpunkt.

Für eine gezielte Sattelpunkt-Prüfung mit automatischem f'-Nachweis nutzt du den separaten Sattelpunkt-Rechner.

Linkskrümmung (konvex, f'' > 0) bedeutet, dass der Graph wie eine Schüssel nach oben geöffnet ist und eine Linkskurve beschreibt, Rechtskrümmung (konkav, f'' < 0) bedeutet, dass er wie ein Hügel nach unten gewölbt ist und eine Rechtskurve beschreibt – am Wendepunkt wechselt genau diese Richtung.

Bei f(x) = x^4 − 2x^2 zeigt der Rechenweg f''(x) = 12x^2 − 4: Zwischen den beiden Wendepunkten bei x ≈ −0,5774 und x ≈ 0,5774 ist f'' negativ, der Graph also rechtsgekrümmt, außerhalb dieses Bereichs ist f'' positiv und der Graph linksgekrümmt.

Beide Wendepunkte liegen bei W(−0,5774 | −0,5556) und W(0,5774 | −0,5556).

Praktisch erkennst du die Richtung direkt am Vorzeichen des angezeigten f''(x)-Terms, ohne selbst einen Wert einzusetzen: Ist f'' für ein x positiv, ist die Kurve dort linksgekrümmt, bei negativem f'' rechtsgekrümmt.

Der Rechner listet die Krümmungsintervalle zwischen den Wendepunkten ausdrücklich auf.

Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n − 2 Wendepunkte, weil f'' dann Grad n − 2 besitzt.

Eine quadratische Funktion (Grad 2) hat keinen Wendepunkt, eine kubische (Grad 3) genau einen, ein Polynom vom Grad 4 bis zu zwei, ein Polynom vom Grad 5 bis zu drei.

Periodische Funktionen wie sin(x) haben dagegen unendlich viele Wendepunkte im Abstand von π ≈ 3,1416; der Rechner zeigt nur die im Suchbereich [−10, 10] gefundenen an, bei sin(x) sind das sieben Stück bei x ≈ −9,4248; −6,2832; −3,1416; 0; 3,1416; 6,2832; 9,4248.

Im Rechner bestätigt sich die Grad-Regel direkt: x^3 − 3x (Grad 3) liefert genau W(0 | 0), x^4 − 6x^2 (Grad 4) liefert zwei Wendepunkte W(−1 | −5) und W(1 | −5), und x^5 − 5x^3 (Grad 5) liefert drei Wendepunkte bei x ≈ −1,2247; 0; 1,2247.

Die zweite Ableitung entsteht durch zweimaliges Ableiten der Funktion. Für f(x) = x^4 − 6x^2 gilt f'(x) = 4x^3 − 12x und f''(x) = 12x^2 − 12.

Bei Produkten wird es aufwendiger: Für f(x) = x^2·sin(x) liefert die Produktregel f'(x) = 2x·sin(x) + x^2·cos(x), und die zweite Ableitung braucht erneut Produkt- und Kettenregel – im Bereich [−10, 10] findet der Rechner dabei neun Wendepunkte, unter anderem bei x ≈ −1,5199 und x = 0.

Der Wendepunkt-Rechner übernimmt diese Rechenschritte automatisch über mathjs und zeigt f'(x) sowie f''(x) im Kasten „Rechenweg“ an, sodass du die Ableitungsregeln nicht von Hand anwenden musst.

Zur Eingabe-Schreibweise: Potenzen als x^3 oder x³, Produkte wahlweise mit Malzeichen (3*x) oder ohne (3x) – beide Schreibweisen liest der Rechner gleich.

Meldet der Rechner „Keine Wendepunkte im Bereich [−10, 10] gefunden“, hat die Funktion dort keine Krümmungsänderung.

Mögliche Gründe: Die Funktion ist durchgehend konvex oder konkav – etwa e^x mit f''(x) = e^x > 0 für jedes x – oder die Wendepunkte liegen außerhalb des eingestellten Suchbereichs (Standard [−10, 10]).

Ein Beispiel dafür ist f(x) = (x − 20)^3: f''(x) = 6(x − 20) wird erst bei x = 20 null.

Weil das ein Polynom ist, löst der Rechner f''(x) = 0 exakt und meldet „1 Wendepunkt(e) liegen außerhalb des Suchbereichs [−10, 10]“; setzt du „Suche bis“ auf 30, zeigt er W(20 | 0) als Sattelpunkt.

Bei anderen Funktionen sucht er nur im Suchbereich – erweitere ihn dann über die Felder „Suche von“ und „Suche bis“.

Ein Gegenbeispiel mit Treffer: Die Gauß-Kurve e^(−x^2) hat zwei Wendepunkte bei x = ±0,7071 mit y = 0,6065, denn f''(x) = e^(−x^2)·(4x^2 − 2) wird bei x^2 = 0,5 null – beide Stellen liegen gut innerhalb des Suchbereichs und werden zuverlässig gefunden.