Sattelpunkt-Rechner: Sattelpunkte bestimmen online

Ein Sattelpunkt ist eine Stelle x₀, an der gleichzeitig f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0 gelten, die erste Ableitung f' dort aber ihr Vorzeichen nicht wechselt.

Anschaulich legt der Graph an dieser Stelle kurz eine waagerechte Tangente ein, kehrt seine Richtung jedoch nicht um, sondern steigt oder fällt danach weiter – anders als am Hoch- oder Tiefpunkt.

Das Standardbeispiel ist f(x) = x³: Dort gilt f'(0) = 0 und f''(0) = 0, und weil f'(x) = 3x² beidseitig von null positiv bleibt, entsteht der Sattelpunkt S(0 | 0).

Gib eine eigene Funktion in den Sattelpunkt-Rechner ein, um alle Kandidaten samt Vorzeichentest zu sehen. Die Suche läuft nur im Bereich [−10, 10]; liegt ein Sattelpunkt außerhalb, meldet der Rechner keinen Treffer.

In der Schule wird derselbe Punkt auch Terrassenpunkt genannt.

Man berechnet Sattelpunkte, indem man erste, zweite und dritte Ableitung bildet und die gemeinsamen Nullstellen von f' und f'' prüft. Schritt 1: f'(x) und f''(x) bestimmen.

Schritt 2: f'(x) = 0 lösen und die Kandidaten in f'' einsetzen – wird f'' dort ebenfalls null, liegt ein Sattelpunkt-Kandidat vor.

Schritt 3: das Vorzeichen von f' knapp links und rechts vergleichen (der Rechner nutzt x₀ ± 0,15); bleibt es gleich, ist der Sattelpunkt bestätigt, sonst liegt ein gewöhnliches Extremum vor.

Für f(x) = x³ − 3x² + 3x liefert das f'(x) = 3(x − 1)² mit Nullstelle x = 1, f''(1) = 0, und f' ist beidseitig positiv – Ergebnis S(1 | 1).

Der Sattelpunkt-Rechner übernimmt alle drei Schritte automatisch und zeigt f', f'' sowie die Testwerte tabellarisch.

Trage die eigene Funktion ein, statt jeden Schritt von Hand nachzurechnen; bei mehreren Kandidaten listet der Rechner jeden einzeln mit eigenem Vorzeichentest auf, sodass auch Funktionen höheren Grades mit mehreren Nullstellen von f' zuverlässig ausgewertet werden.

Ein Terrassenpunkt wird genauso berechnet wie ein Sattelpunkt, denn beide Begriffe bezeichnen in der Schulmathematik dasselbe: eine Stelle mit f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0, an der f' das Vorzeichen nicht wechselt.

Namensgebend ist das Bild einer kurzen Terrasse im sonst monoton steigenden oder fallenden Graphen.

Für f(x) = x⁵ − 5x³ liegt bei x₀ = 0 ein Terrassenpunkt vor: f'(−0,5) ≈ −3,44 und f'(0,5) ≈ −3,44 behalten dasselbe Vorzeichen, die Funktion fällt auf beiden Seiten weiter, und die Koordinate lautet S(0 | 0).

An den zusätzlichen Nullstellen x = ±√3 dagegen liegen ein Hoch- und ein Tiefpunkt, keine Terrassenpunkte, weil f'' dort ungleich null ist.

Trage die eigene Funktion in den Rechner ein, um alle Kandidaten automatisch zu klassifizieren, statt jeden Kandidaten einzeln von Hand zu prüfen.

Ein Sattelpunkt hat immer die Steigung null, denn f'(x₀) = 0 ist Teil seiner Definition – die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht.

Das unterscheidet den Sattelpunkt nicht von Hoch- oder Tiefpunkten, denn auch dort ist die Steigung null; der Unterschied liegt darin, was direkt links und rechts von x₀ passiert.

Beim Sattelpunkt bleibt das Vorzeichen von f' auf beiden Seiten gleich, sodass der Graph nach der kurzen waagerechten Passage in dieselbe Richtung weiterläuft.

Bei f(x) = x³ ist f'(x) = 3x² um x = 0 herum beidseitig positiv, die Steigung wird bei x = 0 exakt null und wechselt dort nicht das Vorzeichen.

Der Sattelpunkt-Rechner gibt zu jedem Kandidaten explizit f'(x₀ − 0,15) und f'(x₀ + 0,15) aus, sodass sich die Steigung unmittelbar links und rechts der Stelle direkt ablesen lässt.

Notwendig für einen Sattelpunkt sind zwei Bedingungen zugleich: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0. Diese Bedingung allein reicht aber nicht aus, denn auch f(x) = x⁴ erfüllt bei x = 0 beide Gleichungen, hat dort aber einen Tiefpunkt.

Hinreichend wird die Aussage erst durch den Vorzeichentest: Wechselt f' bei x₀ das Vorzeichen nicht, liegt ein echter Sattelpunkt vor; wechselt es, handelt es sich um ein Extremum.

Als Abkürzung gilt zusätzlich: Ist f'''(x₀) ≠ 0, ist ein Vorzeichenwechsel von f' ausgeschlossen, und der Sattelpunkt ist bewiesen – für f(x) = x³ etwa liefert f'''(0) = 6 ≠ 0 genau diesen Nachweis.

Der Sattelpunkt-Rechner prüft beide Bedingungen automatisch und zeigt bei jedem Kandidaten, ob f''(x₀) tatsächlich null und der Vorzeichenwechsel tatsächlich ausgeblieben ist – inklusive Begründungstext je Ergebnis.

Ja, jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, aber nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt.

Ein Wendepunkt liegt vor, sobald f'' das Vorzeichen wechselt; ein Sattelpunkt erfüllt zusätzlich f'(x₀) = 0, besitzt also eine waagerechte statt einer schrägen Tangente.

Der Unterschied zeigt sich am Beispiel f(x) = x³ − 3x: Bei x = 0 gilt f''(0) = 0 mit Krümmungswechsel, also liegt ein Wendepunkt vor – doch f'(0) = −3 ≠ 0, die Tangente ist schräg, also kein Sattelpunkt.

Bei f(x) = x³ dagegen ist f'(0) = 0 zusätzlich erfüllt, weshalb derselbe Wendepunkt hier zum Sattelpunkt S(0 | 0) wird.

Der Sattelpunkt-Rechner filtert gezielt nach dieser Zusatzbedingung und zeigt nur die Wendepunkte mit waagerechter Tangente als Ergebnis an, gewöhnliche schräge Wendepunkte bleiben außen vor.

Nein, ein Sattelpunkt ist kein Extrempunkt, obwohl beide dieselbe notwendige Bedingung f'(x₀) = 0 teilen.

Der entscheidende Unterschied ist der Vorzeichenwechsel von f': Bei einem Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) wechselt f' das Vorzeichen, beim Sattelpunkt nicht.

Am Beispiel f(x) = x⁴ wird das greifbar: f'(0) = 0 und f''(0) = 0 erfüllen zwar die notwendige Bedingung eines Sattelpunkt-Kandidaten, doch f'(x) = 4x³ wechselt bei x = 0 von negativ auf positiv – damit liegt ein Tiefpunkt vor, kein Sattelpunkt.

Bei f(x) = x³ dagegen bleibt f' beidseitig positiv, und aus demselben Kandidaten wird ein echter Sattelpunkt S(0 | 0).

Der Sattelpunkt-Rechner verwirft Kandidaten mit Vorzeichenwechsel automatisch und weist sie als „verworfenen Kandidaten“ statt als Ergebnis aus, samt der genauen Testwerte f'(x₀ − 0,15) und f'(x₀ + 0,15), an denen sich der Wechsel ablesen lässt.

Prüfe bei eigenen Funktionen deshalb immer beide Vorzeichen, statt dich allein auf f''(x₀) = 0 zu verlassen.

Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle lautet f''(x₀) = 0 – die zweite Ableitung muss an dieser Stelle verschwinden.

Notwendig heißt hier: Jede Wendestelle erfüllt diese Gleichung, aber nicht jede Nullstelle von f'' ist automatisch eine Wendestelle.

Hinreichend wird die Aussage erst, wenn f'' bei x₀ tatsächlich das Vorzeichen wechselt (Krümmungswechsel) oder alternativ f'''(x₀) ≠ 0 gilt.

Ein Sattelpunkt ist der Sonderfall einer Wendestelle mit zusätzlich f'(x₀) = 0: Bei f(x) = x³ ist f''(x) = 6x, die Nullstelle liegt bei x = 0, und f'''(0) = 6 ≠ 0 bestätigt den Wendepunkt – weil zusätzlich f'(0) = 0 gilt, ist er hier sogar ein Sattelpunkt.

Der Sattelpunkt-Rechner prüft automatisch beide Bedingungen und meldet nur jene Wendestellen, die zusätzlich die waagerechte Tangente besitzen; gewöhnliche Wendepunkte mit schräger Tangente – etwa bei f(x) = x³ − 3x an der Stelle x = 0 – tauchen im Ergebnis bewusst nicht auf.

Ist f'''(x₀) zusätzlich null, entscheidet nicht mehr die dritte Ableitung, sondern allein der Vorzeichentest von f', den der Sattelpunkt-Rechner ohnehin für jeden Kandidaten durchführt.

Ein reales Beispiel liefert f(x) = x⁵: Bei x₀ = 0 verschwinden f'', f''' und sogar f'''' – f'''(0) = 0 gibt also keine Auskunft.

Der Rechner wertet stattdessen f'(x₀ − 0,15) ≈ 0,00253 und f'(x₀ + 0,15) ≈ 0,00253 aus; beide Werte sind positiv, das Vorzeichen bleibt gleich, und S(0 | 0) wird korrekt als Sattelpunkt bestätigt.

Erst die fünfte Ableitung wäre hier von null verschieden (f⁽⁵⁾(0) = 120), doch dafür muss niemand so weit ableiten – der Vorzeichenwechsel-Test liefert dasselbe Ergebnis in einem Schritt.

Bei sehr flachen Kurven kann dieser Test allerdings unscharf werden, weil der Rechner nur einen festen Abstand von 0,15 auswertet; dann hilft es, die Funktion zusätzlich per Hand an mehreren Stellen nahe x₀ zu prüfen, statt sich allein auf einen einzigen Testpunkt zu verlassen.