Integralrechner: Stammfunktion und Integral berechnen

Eine Stammfunktion zu suchen heißt, die Frage umzudrehen: Welche Funktion F(x) hat als Ableitung genau das, was du eingibst? Genau diese Rückwärtsfrage beantwortet der Rechner.

Für x^2 + 3*x liefert er x^3/3 + 3*x^2/2 + C — jeder Summand wird einzeln integriert, und der Rechenweg zeigt die Schritte offen.

Die Konstante + C gehört zwingend dazu: Weil sie beim Ableiten wegfällt, gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Höhenverschiebung unterscheiden. Wer sie vergisst, gibt eine von unendlich vielen Lösungen als die eine aus.

Integriert wird standardmäßig nach x; über das Variablenfeld wählst du eine andere. Für die Eingabe gilt die mathjs-Syntax: Potenzen mit ^, Produkte ausdrücklich mit * (3*x, nicht 3x), Funktionsargumente in Klammern.

Die Felder "von" und "bis" bleiben leer, solange du nur die Stammfunktion brauchst – füllst du beide, kommt zusätzlich das bestimmte Integral dazu.

Für sin(x) ergibt sich als Stammfunktion −cos(x) + C, was sich durch Ableiten sofort überprüfen lässt: d/dx(−cos(x)) = sin(x).

Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion f(x) ergibt.

Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist, unterscheiden sich zwei Stammfunktionen nur um eine Konstante – deshalb schreibt man beim unbestimmten Integral immer + C. Beispiel: x^3/3, x^3/3 + 5 und x^3/3 − 2 haben alle die Ableitung x^2.

Erst beim bestimmten Integral mit Grenzen fällt die Konstante heraus, weil sie in F(b) − F(a) subtrahiert wird. Der Rechner gibt die Stammfunktion daher grundsätzlich mit + C an.

In der Praxis wird C erst dann konkret, wenn eine Anfangsbedingung gegeben ist: Ist zum Beispiel F(0) = 3 gefordert, setzt du x = 0 in x^3/3 + C ein und erhältst C = 3.

Für Differentialgleichungen erster Ordnung bedeutet das: Die allgemeine Lösung enthält stets + C, und die Anfangsbedingung wählt die eine konkrete Lösungskurve aus einer ganzen Kurvenschar.

Geometrisch entsprechen verschiedene C-Werte vertikal verschobenen Kurven, die alle denselben Anstieg an jedem Punkt haben.

Trage zusätzlich zur Funktion die Grenzen in die Felder von (a) und bis (b) ein. Der Rechner berechnet dann das bestimmte Integral als F(b) − F(a). Beispiel: Für f(x) = x^2 mit den Grenzen 0 und 2 ergibt sich 2^3/3 − 0^3/3 = 8/3 ≈ 2,667.

Weil x^2 im Intervall durchgehend positiv ist, entspricht dieser Wert der Fläche unter der Parabel. Als Grenzen sind auch Ausdrücke wie e oder pi erlaubt. Ohne Grenzen gibt der Rechner nur die Stammfunktion aus.

Ein zweites Beispiel: Für f(x) = 2*x + 1 von 1 bis 3 lautet die Stammfunktion x^2 + x; eingesetzt ergibt sich F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 10. Der Wert entspricht dem Flächeninhalt des Trapezes unter der Geraden.

Das Hauptsatz der Analysis besagt: Jedes Integral einer stetigen Funktion lässt sich exakt als Stammfunktionsdifferenz berechnen — ohne Rechtecksummen.

Negative Grenzen sind erlaubt: Für f(x) = x^3 von −1 bis 1 ergibt sich F(1) − F(−1) = 1/4 − 1/4 = 0, weil x^3 eine ungerade Funktion ist und sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben.

Abgedeckt sind die Standardfälle der Schulmathematik: Polynome über die Potenzregel, Brüche der Form 1/x und c/x^k, Wurzeln wie sqrt(x) sowie die Grundintegrale von sin(x), cos(x) und e^x.

Konstante Faktoren werden dabei korrekt vorgezogen und Summen Term für Term integriert. Bewusst nicht unterstützt sind Produkt-, Ketten- und partielle Integration – also Ausdrücke wie x*sin(x) oder sin(2*x+1).

Solche Funktionen lehnt der Rechner mit einem Hinweis ab, statt ein falsches Ergebnis zu liefern.

Der Grund für diese Grenze ist grundsätzlicher Natur: Ableiten folgt festen Regeln und gelingt immer, Integrieren ist dagegen ein Suchproblem – manche elementaren Funktionen wie e^(x^2) haben überhaupt keine elementare Stammfunktion.

Auch ln(x) beherrscht der Rechner und liefert x*ln(x) − x. Wird deine Funktion abgelehnt, hilft oft ein Umformen: sqrt(x) etwa wird als solches erkannt, x^(1/2) über die Potenzregel ebenso.

Als Faustregel gilt: Terme, die sich als Summe einfacher Potenzen, Brüche der Form c/x^k oder Grundfunktionen wie sin(x), cos(x) oder e^x schreiben lassen, akzeptiert der Rechner zuverlässig.

Die Potenzregel ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) funktioniert für alle n außer n = −1, denn dort stünde im Nenner n+1 = 0, also eine Division durch null. Genau dieser Fall ist 1/x = x^(−1).

Seine Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus: ∫1/x dx = ln|x| + C. Die Betragsstriche sind wichtig, weil der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.

Der Rechner erkennt diesen Sonderfall automatisch und gibt ln(abs(x)) aus, statt die Potenzregel unzulässig anzuwenden.

Sei bei 1/x mit Grenzen jedoch vorsichtig: Der Rechner setzt stur F(b) − F(a) ein und prüft nicht, ob zwischen a und b eine Polstelle liegt.

Für 1/x von −1 bis 1 zeigt er deshalb 0 an, obwohl das Integral wegen der Polstelle bei x = 0 gar nicht existiert. Achte selbst darauf, dass dein Intervall die Definitionslücke nicht überspringt.

Ein verwandtes Beispiel: 1/x^2 = x^(−2) hat nach der Potenzregel die Stammfunktion −1/x + C – hier liegt keine Division durch null vor, weil n+1 = −1 gilt.

Nicht unbedingt. Das bestimmte Integral liefert die vorzeichenbehaftete Bilanz: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ.

Verläuft der Graph im Intervall teils über und teils unter der Achse, können sich Beiträge aufheben. Beispiel: Das Integral von sin(x) über eine volle Periode ist null, obwohl geometrisch Fläche vorhanden ist.

Für die echte geometrische Fläche musst du die Nullstellen bestimmen und die Beträge der Teilflächen einzeln addieren. Bei durchgehend positiven Funktionen wie x^2 stimmen Integral und Fläche dagegen überein.

Konkret: Für f(x) = x − 1 von 0 bis 2 liefert der Rechner 0, weil sich die negative Fläche links von x = 1 und die positive Fläche rechts exakt aufheben; die geometrische Gesamtfläche beträgt dagegen 1.

Um sie zu erhalten, teilst du das Intervall an den Nullstellen auf und addierst die Beträge der Teilintegrale. Der Rechner führt diese Aufspaltung nicht automatisch durch; du musst die Nullstellen selbst bestimmen und separate Integrale eingeben.

Leite die Stammfunktion ab: Kommt die Ausgangsfunktion heraus, ist sie korrekt. Da Integrieren die Umkehrung des Ableitens ist, muss die Ableitung von F(x) genau f(x) ergeben.

Beispiel: Die Stammfunktion von x^2 ist x^3/3; leitet man x^3/3 ab, erhält man wieder x^2. Diese Gegenprobe ist die zuverlässigste Kontrolle und lässt sich mit dem Ableitungsrechner in Sekunden durchführen.

So kannst du auch in einer Übung sicher sein, dass dein von Hand berechnetes Integral stimmt. Konkret: Die Stammfunktion von x^2 + 3*x ist x^3/3 + 3*x^2/2. Leite das ab: d/dx(x^3/3 + 3*x^2/2) = x^2 + 3*x — stimmt.

Bei zusammengesetzten Ausdrücken hilft der Ableitungsrechner auf dieser Seite: Kopiere die vom Integralrechner ausgegebene Stammfunktion in den Ableitungsrechner und vergleiche das Ergebnis mit deiner Eingangsfunktion.

Unterscheiden sie sich durch eine Konstante, liegt ein Vorzeichenfehler oder ein vergessener Faktor vor. Für e^x etwa gibt der Rechner als Stammfunktion ebenfalls e^x + C aus – eine der wenigen Funktionen, die ihrer eigenen Stammfunktion entspricht.

Der Rechner lehnt eine Funktion ab, wenn sie außerhalb der unterstützten Standardfälle liegt oder falsch geschrieben ist.

Häufige Ursachen sind Produkte zweier von x abhängiger Faktoren wie x*sin(x), verkettete Funktionen wie sin(2*x) oder ein fehlendes Malzeichen (3x statt 3*x).

Solche Integrale erfordern Produkt-, Ketten- oder partielle Integration, die der regelbasierte Rechner bewusst nicht ausführt, um keine falschen Ergebnisse zu erzeugen.

Prüfe zuerst die Schreibweise; lässt sich der Ausdruck nicht in eine unterstützte Form bringen, musst du ihn von Hand integrieren. Manchmal lässt sich ein abgelehnter Ausdruck in eine erlaubte Form umschreiben.

Aus 2*x*(x + 3) wird durch Ausmultiplizieren 2*x^2 + 6*x — das ist ein Polynom und wird akzeptiert. Aus (x^2 + 1)/x wird x + 1/x, was ebenfalls der Rechner versteht.

Konstante Faktoren vor einer Summe kannst du vorziehen: 3*(x^2 + 2) ergibt 3*x^2 + 6. Produkt-, Ketten- und partielle Integration dagegen lassen sich nicht auf diese Weise vermeiden; dort ist ein CAS-System wie WolframAlpha das richtige Werkzeug.