Integralrechner: Stammfunktion und Integral berechnen

Eine Stammfunktion zu suchen heißt, die Frage umzudrehen: Welche Funktion F(x) hat als Ableitung genau das, was du eingibst? Genau diese Rückwärtsfrage beantwortet der Rechner, wenn du dein Integral berechnen lässt.

Für x^2 + 3*x liefert er x^3/3 + 3*x^2/2 + C — jeder Summand wird einzeln integriert, und der Rechenweg zeigt die Schritte offen.

Die Konstante + C gehört zwingend dazu: Weil sie beim Ableiten wegfällt, gibt es unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Höhenverschiebung unterscheiden.

Integriert wird standardmäßig nach x; über das Variablenfeld wählst du eine andere. Für die Eingabe gilt die mathjs-Syntax: Potenzen mit ^, Produkte ausdrücklich mit * (3*x, nicht 3x), Funktionsargumente in Klammern.

Die Felder „von“ und „bis“ bleiben leer, solange du nur die Stammfunktion brauchst – füllst du beide, kommt zusätzlich das bestimmte Integral dazu.

Für sin(x) ergibt sich als Stammfunktion −cos(x) + C, was sich durch Ableiten sofort überprüfen lässt: d/dx(−cos(x)) = sin(x).

Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion f(x) ergibt.

Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist, unterscheiden sich zwei Stammfunktionen nur um eine Konstante – deshalb schreibt man beim unbestimmten Integral immer + C. Beispiel: x^3/3, x^3/3 + 5 und x^3/3 − 2 haben alle die Ableitung x^2.

Erst beim bestimmten Integral mit Grenzen fällt die Konstante heraus, weil sie in F(b) − F(a) subtrahiert wird.

Der Rechner gibt die Stammfunktion daher grundsätzlich mit + C an; die Integrationskonstante ist fester Bestandteil jeder unbestimmten Stammfunktion, nicht nur eine Formalität.

In der Praxis wird C erst dann konkret, wenn eine Anfangsbedingung gegeben ist: Ist zum Beispiel F(0) = 3 gefordert, setzt du x = 0 in x^3/3 + C ein und erhältst C = 3.

Geometrisch entsprechen verschiedene C-Werte vertikal verschobenen Kurven, die alle denselben Anstieg an jedem Punkt haben.

Trage zusätzlich zur Funktion die Grenzen in die Felder von (a) und bis (b) ein, um ein bestimmtes Integral zu berechnen. Der Rechner berechnet dann den Wert als F(b) − F(a) nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Beispiel: Für f(x) = x^2 mit den Grenzen 0 und 2 ergibt sich 2^3/3 − 0^3/3 = 8/3 ≈ 2,667. Weil x^2 im Intervall durchgehend positiv ist, entspricht dieser Wert der Fläche unter der Parabel.

Ein zweites Beispiel: Für f(x) = 2*x + 1 von 1 bis 3 lautet die Stammfunktion x^2 + x; eingesetzt ergibt sich F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1) = 10, der Flächeninhalt des Trapezes unter der Geraden.

Der Hauptsatz besagt: Jedes bestimmte Integral einer stetigen Funktion lässt sich exakt als Stammfunktionsdifferenz berechnen — ohne Rechtecksummen zu bilden.

Negative Grenzen sind erlaubt: Für f(x) = x^3 von −1 bis 1 ergibt sich F(1) − F(−1) = 1/4 − 1/4 = 0, weil x^3 punktsymmetrisch ist und sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben.

Abgedeckt sind die Standardfälle der Schulmathematik: Polynome über die Potenzregel, Brüche der Form c/x und c/x^k, Wurzeln wie sqrt(x) sowie die Grundintegrale von sin(x), cos(x), e^x und ln(x).

Konstante Faktoren werden dabei korrekt vorgezogen und Summen Term für Term integriert.

Bewusst nicht unterstützt sind die Integrationsregeln für zusammengesetzte Funktionen: Produktintegration (etwa x*sin(x)), Integration durch Substitution (etwa sin(2*x+1)) und partielle Integration – also alle Fälle, die eine Kettenregel- oder Produktregel-Umkehrung brauchen.

Solche Funktionen lehnt der Rechner mit einem Hinweis ab, statt ein falsches Ergebnis zu liefern.

Der Grund für diese Grenze ist grundsätzlicher Natur: Ableiten folgt festen Regeln und gelingt immer, Integrieren ist dagegen ein Suchproblem – manche elementaren Funktionen wie e^(x^2) haben überhaupt keine elementare Stammfunktion.

Wird deine Funktion abgelehnt, hilft oft ein Umformen: sqrt(x) etwa wird als solches erkannt, x^(1/2) über die Potenzregel ebenso.

Als Faustregel gilt: Terme, die sich als Summe einfacher Potenzen, Brüche der Form c/x^k oder Grundfunktionen wie sin(x), cos(x), e^x oder ln(x) schreiben lassen, akzeptiert der Rechner zuverlässig.

Die Potenzregel ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) funktioniert für alle n außer n = −1, denn dort stünde im Nenner n+1 = 0, also eine Division durch null. Genau dieser Fall ist 1/x = x^(−1).

Seine Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus: ∫1/x dx = ln|x| + C. Die Betragsstriche sind wichtig, weil der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.

Der Rechner erkennt diesen Sonderfall automatisch und gibt ln(abs(x)) aus, statt die Potenzregel unzulässig anzuwenden – dasselbe gilt für Vielfache wie 4/x, deren Stammfunktion 4*ln|x| lautet.

Sei bei 1/x mit Grenzen jedoch vorsichtig: Der Rechner setzt stur F(b) − F(a) ein und prüft nicht, ob zwischen a und b eine Polstelle liegt.

Für 1/x von −1 bis 1 zeigt er deshalb 0 an, obwohl das Integral wegen der Polstelle bei x = 0 gar nicht existiert. Achte selbst darauf, dass dein Intervall die Definitionslücke nicht überspringt.

Ein verwandtes Beispiel: 1/x^2 = x^(−2) hat nach der Potenzregel die Stammfunktion −1/x + C – hier liegt keine Division durch null vor, weil n+1 = −1 gilt.

Eine Wurzelfunktion integrierst du, indem du sie als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreibst: sqrt(x) entspricht x^(1/2).

Nach der Potenzregel wird der Exponent um 1 erhöht und durch den neuen Exponenten geteilt, sodass sich x^(3/2) geteilt durch 3/2 ergibt – also (2/3)*x^(3/2) + C.

Der Rechner erkennt sowohl die Schreibweise sqrt(x) als auch x^(1/2) und liefert dasselbe Ergebnis.

Ein konstanter Vorfaktor bleibt dabei einfach stehen: Für 3*sqrt(x) lautet die Stammfunktion 2*x^(3/2) + C, und mit den Grenzen 0 und 4 ergibt sich ein bestimmtes Integral von genau 16 – ein Wert, der sich leicht per Hand nachrechnen lässt (2 mal 4 hoch drei Halbe gleich 2 mal 8 gleich 16).

Dieselbe Logik gilt für höhere Wurzeln: Die dritte Wurzel aus x lässt sich als x^(1/3) schreiben und ebenso über die Potenzregel integrieren.

Wichtig ist nur, dass die Wurzel isoliert von x abhängt und nicht Teil einer verschachtelten Funktion wie sqrt(x^2+1) ist – solche Wurzeln aus zusammengesetzten Ausdrücken erfordern Substitution und werden vom Rechner abgelehnt.

Diese vier Grundintegrale gehören zum Kernbestand der Integralrechnung und werden vom Rechner direkt erkannt, wenn das Argument genau die Integrationsvariable ist.

Für sin(x) lautet die Stammfunktion −cos(x) + C, für cos(x) dagegen sin(x) + C – das Minuszeichen beim Sinus wird häufig vergessen.

Die e-Funktion ist ihre eigene Stammfunktion: ∫e^x dx = e^x + C, was e^x zu einer der wenigen Funktionen macht, die sich beim Integrieren nicht verändert.

Für den natürlichen Logarithmus gilt ∫ln(x) dx = x*ln(x) − x + C, eine Formel, die man sich am besten durch Ableiten der rechten Seite bestätigt: Die Produktregel liefert ln(x) + x*(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x).

Konkret rechnet der Rechner für e^x zwischen 0 und 1 das bestimmte Integral e^1 − e^0 = e − 1 ≈ 1,718282 aus – ein Wert, der zeigt, dass die Fläche unter der e-Funktion in diesem Intervall etwas größer als der Wert e minus eins ist.

Und für cos(x) zwischen 0 und π/2 ergibt sich exakt 1, weil sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1 gilt.

Ableiten und Integrieren sind zueinander inverse Operationen: Der Ableitungsrechner bestimmt aus einer Funktion ihre Steigung, der Integralrechner sucht umgekehrt die Funktion, deren Ableitung ein gegebener Ausdruck ist.

Beim Ableiten gibt es für jede Kombination eine feste Regel – etwa die Kettenregel für verschachtelte Funktionen (äußere Ableitung mal innere Ableitung) und die Produktregel für Produkte zweier Funktionen (u'v + uv').

Beim Integrieren fehlen die direkten Gegenstücke dieser beiden Regeln: Es gibt keine allgemeine „Umkehr-Kettenregel“ und keine allgemeine „Umkehr-Produktregel“, die für jede Funktion mechanisch funktioniert.

Stattdessen braucht man für verschachtelte Ausdrücke die Integration durch Substitution und für Produkte zweier Funktionen die partielle Integration – beides Verfahren, bei denen man geschickt raten und ausprobieren muss, statt eine feste Formel anzuwenden.

Genau deshalb lehnt der regelbasierte Rechner Ausdrücke wie x*sin(x) (Produkt zweier von x abhängiger Faktoren) oder sin(2*x+1) (verkettete Funktion) ab, statt ein falsches Ergebnis zu raten.

Die Summenregel dagegen gilt beim Integrieren genauso einfach wie beim Ableiten: Jeder Summand darf einzeln integriert werden.

Nicht unbedingt. Das bestimmte Integral liefert die vorzeichenbehaftete Bilanz: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ.

Verläuft der Graph im Intervall teils über und teils unter der Achse, können sich Beiträge aufheben.

Konkret: Für f(x) = x − 1 von 0 bis 2 liefert der Rechner 0, weil sich die negative Fläche links von x = 1 und die positive Fläche rechts exakt aufheben; die geometrische Gesamtfläche beträgt dagegen 1, wenn man die Beträge der beiden Teilflächen (je 0,5) addiert.

Ein zweites Beispiel: Das Integral von sin(x) über eine volle Periode ist null, obwohl geometrisch Fläche vorhanden ist – über eine halbe Periode von 0 bis π liefert derselbe Rechner dagegen den positiven Wert 2, weil der Sinus dort durchgehend über der x-Achse verläuft.

Für die echte geometrische Fläche musst du bei Vorzeichenwechseln die Nullstellen bestimmen, das Intervall dort aufteilen und die Beträge der Teilflächen einzeln addieren.

Der Rechner führt diese Aufspaltung nicht automatisch durch; du musst die Nullstellen selbst bestimmen und separate Integrale eingeben.

Leite die Stammfunktion ab: Kommt die Ausgangsfunktion heraus, ist sie korrekt. Da Integrieren die Umkehrung des Ableitens ist, muss die Ableitung von F(x) genau f(x) ergeben.

Beispiel: Die Stammfunktion von x^2 + 3*x ist x^3/3 + 3*x^2/2; leitet man das ab, erhält man d/dx(x^3/3 + 3*x^2/2) = x^2 + 3*x — stimmt.

Diese Gegenprobe ist die zuverlässigste Kontrolle und lässt sich mit dem Ableitungsrechner auf dieser Seite in Sekunden durchführen: Kopiere die vom Integralrechner ausgegebene Stammfunktion in den Ableitungsrechner und vergleiche das Ergebnis mit deiner Eingangsfunktion.

Unterscheiden sie sich durch eine Konstante, liegt kein Fehler vor (die Integrationskonstante + C darf beliebig sein); unterscheiden sie sich in einem Term oder Vorzeichen, liegt ein Rechenfehler vor.

Für e^x etwa gibt der Rechner als Stammfunktion ebenfalls e^x + C aus – eine der wenigen Funktionen, die ihrer eigenen Stammfunktion entspricht, und für sqrt(x) ergibt die Probe: d/dx((2/3)*x^(3/2)) = (2/3)*(3/2)*x^(1/2) = x^(1/2) = sqrt(x), also wieder die Ausgangsfunktion.