Integralrechner: Stammfunktion und Integral berechnen

Mathematik

Funktionen online integrieren: Stammfunktion mit Rechenweg und bestimmtes Integral...

Kilian AchatzFachredaktion Mathematik

Geprüft: Review-Team Mathematik (Juli 2026)Quelle: Regelbasierte Integration (Standardfälle), mathjs-Parser; Integrationsregeln der AnalysisStand: Juli 2026

Kurzantwort: Integralrechner: Funktion f(x) eingeben und die Stammfunktion mit Rechenweg berechnen. Grenzen a und b liefern zusätzlich das bestimmte Integral (Fläche).

Funktion f(x)

Variable

von (optional)

bis (optional)

Beispiele

Regelbasiert: Potenzregel, Linearität und die Stammfunktionen von sin, cos, e^x, 1/x und sqrt. Produkt-, Ketten- und partielle Integration werden nicht unterstützt. Grenzen a und b liefern zusätzlich das bestimmte Integral.

Stammfunktion F(x)

Gib eine Funktion ein und klicke auf „Integrieren“.

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Überblick

Was ist der Integralrechner?

Starte mit der kurzen Einordnung, bevor du Eingaben und Ergebnis interpretierst.

Der Integralrechner bestimmt die Stammfunktion einer Funktion und – bei Angabe von Grenzen – das bestimmte Integral. Die zentrale Frage: Welche Funktion hat f(x) als Ableitung, und wie groß ist die Fläche unter dem Graphen?

Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Der Rechner beherrscht die Standardfälle: Polynome, Brüche der Form 1/x, Wurzeln sowie die Grundintegrale von Sinus, Kosinus und e-Funktion.

Er richtet sich an Schülerinnen und Schüler der Oberstufe und an Studierende, die eine Stammfunktion schnell prüfen, den Rechenweg nachvollziehen oder eine Fläche berechnen wollen.

Eingaben

So nutzt du den Rechner

Hier siehst du, welche Werte erwartet werden und wie die Felder zusammenhängen.

Du gibst die Funktion in gewohnter Schreibweise ein: Potenzen mit dem Dach-Zeichen wie x^2, Multiplikation mit dem Stern wie 3*x, und Funktionen als sin(x), cos(x) oder e^x. Standardmäßig wird nach x integriert; über das Variablenfeld kannst du eine andere wählen.

Optional trägst du in die Felder von und bis die Integrationsgrenzen a und b ein – dann berechnet der Rechner zusätzlich das bestimmte Integral als F(b) − F(a). Ein häufiger Fehler ist das fehlende Malzeichen (3x statt 3*x). Über die Beispiel-Schaltflächen übernimmst du typische Funktionen direkt.

Berechnung

So funktioniert die Berechnung

Verstehe den Formelweg.

Grundlage ist die Potenzregel der Integration: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) für n ≠ −1 – aus x^2 wird also x^3/3. Für n = −1, also 1/x, ist die Stammfunktion ln|x|.

Die Linearität erlaubt es, jeden Summanden einzeln zu integrieren und konstante Faktoren vorzuziehen. Beispiel: ∫(x^2 + 3*x) dx = x^3/3 + 3*x^2/2 + C. Die Grundintegrale lauten: ∫sin(x) dx = −cos(x), ∫cos(x) dx = sin(x) und ∫e^x dx = e^x. Jedes unbestimmte Integral erhält die Integrationskonstante + C.

Hinweise

Wichtige Hinweise zur Nutzung

Schnelle Qualitätsprüfung für dein Ergebnis.

Prüfe dein Ergebnis, indem du die Stammfunktion ableitest – kommt die Ausgangsfunktion heraus, stimmt sie. Genau diese Kontrolle bietet der Ableitungsrechner.

Vergiss beim unbestimmten Integral nie die Konstante + C. Für eine Fläche unter dem Graphen trägst du die Grenzen a und b ein; das Ergebnis ist F(b) − F(a).

Achtung: Liegt der Graph teils unter der x-Achse, liefert das bestimmte Integral die vorzeichenbehaftete Bilanz, nicht unbedingt die geometrische Fläche – dafür müsstest du die Nullstellen abschnittsweise berücksichtigen.

Anwendung

Praxisbeispiel und Einordnung

So wird das Ergebnis in einer realen Entscheidung nutzbar.

Praxisfall: Gesucht ist die Fläche unter f(x) = x^2 zwischen 0 und 2. Schritt 1 – Stammfunktion: Der Rechner liefert F(x) = x^3/3 + C. Schritt 2 – Grenzen: Mit von = 0 und bis = 2 berechnet er das bestimmte Integral als F(2) − F(0) = 8/3 − 0 ≈ 2,667.

Schritt 3 – Deutung: Weil x^2 im Intervall durchgehend positiv ist, entspricht dieser Wert der tatsächlichen Fläche unter der Parabel. Schritt 4 – Kontrolle: Leitet man x^3/3 ab, erhält man wieder x^2 – die Stammfunktion stimmt.

So verbindet der Rechner Stammfunktion, Rechenweg und Flächenberechnung.

Fallstricke

Häufige Fehler und fachliche Einordnung

Typische Anfängerfehler. Sicherer anwenden.

Der häufigste Fehler ist, beim unbestimmten Integral die Konstante + C zu vergessen. Zweiter Fehler: die Potenzregel falsch anzuwenden und den Exponenten nicht um eins zu erhöhen.

Dritter Fehler: 1/x mit der Potenzregel zu behandeln – für n = −1 ist die Stammfunktion ln|x|, nicht x^0/0. Vierter Fehler: das bestimmte Integral mit der geometrischen Fläche gleichzusetzen, obwohl Abschnitte unter der x-Achse negativ zählen.

Fünfter Fehler: eine Funktion mit Produkt oder Verkettung einzugeben – Produkt-, Ketten- und partielle Integration deckt der Rechner bewusst nicht ab.

Nächster Schritt

Kurzfazit und nächster sinnvoller Schritt

Die Kernaussage für die direkte Weiterentscheidung.

Der Integralrechner bestimmt die Stammfunktion mit Rechenweg und – bei gesetzten Grenzen – das bestimmte Integral. Im Beispiel wird aus f(x) = x^2 + 3*x die Stammfunktion x^3/3 + 3*x^2/2 + C.

Am besten gibst du jetzt deine Funktion ein, ergänzt bei Bedarf die Grenzen a und b für eine Fläche und kontrollierst die Stammfunktion, indem du sie ableitest. Für die Umkehrung nutzt du den Ableitungsrechner.

Der Rechner deckt die Standardfälle ab, ohne Produkt- oder partielle Integration.

Vertiefung

Beispielrechnungen

Step-by-Step Walkthroughs. Realistische Szenarien.

Beispiel 1 · Einfach · F(x) = -cos(x) + C

Grundintegral: sin(x)

Funktion f(x): sin(x)
Variable: x

Beispiel 2 · Mittel · F(x) = ln(abs(x)) + C

Sonderfall: 1/x

Funktion f(x): 1/x
Variable: x

Beispiel 3 · Komplex · F(2) − F(0) = 8/3 ≈ 2,667

Bestimmtes Integral: x^2 von 0 bis 2

Funktion f(x): x^2
von: 0
bis: 2

Expertenmodus

Häufige Fragen zu Integralrechner

Spezielle Fragen geklärt. Tiefer verstehen.

Wie berechne ich eine Stammfunktion mit dem Rechner?

Gib die Funktion in das Feld ein, etwa x^2 + 3*x, und klicke auf Integrieren. Der Rechner bestimmt die Stammfunktion F(x) über die Integrationsregeln und zeigt das Ergebnis – im Beispiel x^3/3 + 3*x^2/2 + C.

Bei mehreren Summanden erscheint zusätzlich ein Rechenweg, der jeden Term einzeln integriert. Standardmäßig wird nach x integriert; über das Variablenfeld kannst du eine andere Variable wählen.

Vergiss nicht, dass das unbestimmte Integral immer die Konstante + C enthält.

Was ist eine Stammfunktion und warum das + C?

Eine Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die Ausgangsfunktion f(x) ergibt.

Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist, unterscheiden sich zwei Stammfunktionen nur um eine Konstante – deshalb schreibt man beim unbestimmten Integral immer + C. Beispiel: x^3/3, x^3/3 + 5 und x^3/3 − 2 haben alle die Ableitung x^2.

Erst beim bestimmten Integral mit Grenzen fällt die Konstante heraus, weil sie in F(b) − F(a) subtrahiert wird. Der Rechner gibt die Stammfunktion daher grundsätzlich mit + C an.

Wie berechne ich das bestimmte Integral bzw. eine Fläche?

Trage zusätzlich zur Funktion die Grenzen in die Felder von (a) und bis (b) ein. Der Rechner berechnet dann das bestimmte Integral als F(b) − F(a). Beispiel: Für f(x) = x^2 mit den Grenzen 0 und 2 ergibt sich 2^3/3 − 0^3/3 = 8/3 ≈ 2,667.

Weil x^2 im Intervall durchgehend positiv ist, entspricht dieser Wert der Fläche unter der Parabel. Als Grenzen sind auch Ausdrücke wie e oder pi erlaubt. Ohne Grenzen gibt der Rechner nur die Stammfunktion aus.

Welche Funktionen kann der Rechner integrieren?

Abgedeckt sind die Standardfälle der Schulmathematik: Polynome über die Potenzregel, Brüche der Form 1/x und c/x^k, Wurzeln wie sqrt(x) sowie die Grundintegrale von sin(x), cos(x) und e^x.

Konstante Faktoren werden dabei korrekt vorgezogen und Summen Term für Term integriert. Bewusst nicht unterstützt sind Produkt-, Ketten- und partielle Integration – also Ausdrücke wie x*sin(x) oder sin(2*x+1).

Solche Funktionen lehnt der Rechner mit einem Hinweis ab, statt ein falsches Ergebnis zu liefern.

Warum ist 1/x ein Sonderfall der Potenzregel?

Die Potenzregel ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) funktioniert für alle n außer n = −1, denn dort stünde im Nenner n+1 = 0, also eine Division durch null. Genau dieser Fall ist 1/x = x^(−1).

Seine Stammfunktion ist der natürliche Logarithmus: ∫1/x dx = ln|x| + C. Die Betragsstriche sind wichtig, weil der Logarithmus nur für positive Argumente definiert ist.

Der Rechner erkennt diesen Sonderfall automatisch und gibt ln(abs(x)) aus, statt die Potenzregel unzulässig anzuwenden.

Ist das bestimmte Integral immer gleich der Fläche?

Nicht unbedingt. Das bestimmte Integral liefert die vorzeichenbehaftete Bilanz: Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ.

Verläuft der Graph im Intervall teils über und teils unter der Achse, können sich Beiträge aufheben. Beispiel: Das Integral von sin(x) über eine volle Periode ist null, obwohl geometrisch Fläche vorhanden ist.

Für die echte geometrische Fläche musst du die Nullstellen bestimmen und die Beträge der Teilflächen einzeln addieren. Bei durchgehend positiven Funktionen wie x^2 stimmen Integral und Fläche dagegen überein.

Wie prüfe ich, ob die Stammfunktion stimmt?

Leite die Stammfunktion ab: Kommt die Ausgangsfunktion heraus, ist sie korrekt. Da Integrieren die Umkehrung des Ableitens ist, muss die Ableitung von F(x) genau f(x) ergeben.

Beispiel: Die Stammfunktion von x^2 ist x^3/3; leitet man x^3/3 ab, erhält man wieder x^2. Diese Gegenprobe ist die zuverlässigste Kontrolle und lässt sich mit dem Ableitungsrechner in Sekunden durchführen.

So kannst du auch in einer Übung sicher sein, dass dein von Hand berechnetes Integral stimmt.

Warum wird meine Funktion abgelehnt?

Der Rechner lehnt eine Funktion ab, wenn sie außerhalb der unterstützten Standardfälle liegt oder falsch geschrieben ist.

Häufige Ursachen sind Produkte zweier von x abhängiger Faktoren wie x*sin(x), verkettete Funktionen wie sin(2*x) oder ein fehlendes Malzeichen (3x statt 3*x).

Solche Integrale erfordern Produkt-, Ketten- oder partielle Integration, die der regelbasierte Rechner bewusst nicht ausführt, um keine falschen Ergebnisse zu erzeugen.

Prüfe zuerst die Schreibweise; lässt sich der Ausdruck nicht in eine unterstützte Form bringen, musst du ihn von Hand integrieren.

Weiterführende Rechner und Themen

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FlächenrechnerFläche berechnen für Quadrat, Rechteck, Dreieck, Kreis, Trapez, Parallelogramm und weitere Formen – Formel wird je gewählter Form angezeigt.AbleitungsrechnerLeitet Funktionen ab (Polynome, Wurzeln, sin, cos, e^x, ln) und zeigt die Ableitung mit Rechenweg Term für Term.Quadratische GleichungQuadratische Gleichung lösen mit der Mitternachtsformel, Lösungen, Scheitelpunkt und Diskriminante.PotenzenrechnerPotenzen mit positiven, negativen und gebrochenen Exponenten berechnen – inkl. wissenschaftlicher Notation.Wurzelrechnern-te Wurzel einer Zahl berechnen und als Potenz darstellen – mit Plausibilitätsprüfung.ProzentrechnerProzentwert, Prozentsatz oder Grundwert berechnen – universeller Prozentrechner.DreisatzrechnerGerader und ungerader Dreisatz für proportionale und antiproportionale Zusammenhänge.BruchrechnerZwei Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren – mit automatischem Kürzen, gemischter Zahl, Dezimalwert und Rechenweg.Analysis Rechner gezielt auswählenDirekter Hub für weitere Rechner aus Analysis mit demselben Themenkontext.Mathematik als Themenhub weiter öffnenCluster-Wechsel in benachbarte Themen derselben Kategorie.Integralrechner über alle Filter weiter eingrenzenSuche für weitere Varianten, Kategorien und Rechentypen mit ähnlichem Intent.