Bogenlänge berechnen: Kreisbogen, Sehne und Sektorfläche

Die Bogenlänge b ergibt sich aus Radius r und Mittelpunktswinkel α im Bogenmaß: b = r × α. Im Gradmaß lautet die Formel b = r × α° × π ÷ 180. Für einen Kreis mit Radius 10 cm und Winkel 90° ergibt sich b = 10 × 1,5708 ≈ 15,708 cm.

Merkhilfe: Ein Vollkreis (360°) hat die Bogenlänge 2πr, also den gesamten Umfang. Ein Halbkreis liefert πr und ein Viertelkreis πr ÷ 2.

Die Formel zeigt, dass die Bogenlänge proportional zum Winkel wächst — doppelter Winkel bedeutet doppelte Bogenlänge.

Praktisch braucht man die Bogenlänge beim Ablängen von Metallbändern, beim Berechnen von Gleisbogen-Radien oder beim Zuschnitt von Kreisabschnitten in der Schneiderei.

Der Rechner auf dieser Seite wandelt Gradeingaben automatisch ins Bogenmaß um und gibt das Ergebnis gerundet aus. Im Modus Aus Winkel gibst du Radius und Winkel ein — die Bogenlänge wird sofort angezeigt.

Die Sehne s ist die gerade Verbindung der beiden Endpunkte eines Kreisbogens, die Bogenlänge b dagegen die gekrümmte Strecke entlang des Kreisrandes.

Die Sehne ist immer kürzer als der zugehörige Bogen, außer bei einem Winkel von 0° — dort fallen beide auf null zusammen. Berechnet wird die Sehne über s = 2r × sin(α ÷ 2).

Bei Radius 10 cm und Winkel 90° ergibt sich s = 2 × 10 × sin(45°) ≈ 14,142 cm, während die Bogenlänge 15,708 cm beträgt. Der Unterschied wächst mit dem Winkel: Bei 180° ist die Sehne der Durchmesser 2r = 20 cm, der Bogen aber πr ≈ 31,416 cm.

Dieses Verhältnis ist in der Vermessung wichtig: Ein GPS-Gerät misst Luftlinien (Sehnen), die tatsächliche Wegstrecke auf einer gekrümmten Straße entspricht der Bogenlänge.

Auch in der Architektur bestimmen Sehne und Bogen gemeinsam die Geometrie von Rundbögen und Gewölben.

Die Pfeilhöhe h (auch Stich oder Sagitta) ist der senkrechte Abstand zwischen der Mitte der Sehne und dem Scheitelpunkt des Bogens. Die Formel lautet h = r × (1 − cos(α ÷ 2)). Bei Radius 10 cm und 90° ergibt sich h = 10 × (1 − cos(45°)) ≈ 2,929 cm.

Die Pfeilhöhe gibt an, wie stark ein Bogen nach außen gewölbt ist. In der Praxis ist sie unverzichtbar beim Brückenbau: Der Stich einer Bogenbrücke bestimmt die lichte Durchfahrtshöhe.

Auch Schreiner nutzen die Pfeilhöhe, um die Wölbung von Türrahmen und Fensterbögen festzulegen. Ein häufiger Irrtum ist, dass die Pfeilhöhe mit der Bogenlänge gleichmäßig wächst.

Tatsächlich steigt h bei kleinen Winkeln nur langsam — bei 30° beträgt h nur 0,34 cm — und beschleunigt sich dann. Bei einem Halbkreis (180°) erreicht die Pfeilhöhe ihr Maximum von genau r, also 10 cm.

Die Fläche eines Kreissegments — das ist der Bereich zwischen einem Kreisbogen und seiner Sehne — berechnet sich mit A_Segment = r² ÷ 2 × (α − sin α), wobei α im Bogenmaß einzusetzen ist.

Bei Radius 10 cm und Winkel 90° (= π ÷ 2 rad) ergibt sich A = 100 ÷ 2 × (1,5708 − 1) ≈ 28,54 cm². Zur Einordnung: Die Sektorfläche (Kreisausschnitt mit den beiden Radien) beträgt hier 78,54 cm².

Das Segment ist also deutlich kleiner, weil das Dreieck zwischen Mittelpunkt und Sehne herausfällt. Genau dieses Dreieck hat die Fläche A_Dreieck = r² ÷ 2 × sin α ≈ 50 cm², und die Differenz 78,54 − 50 = 28,54 cm² bestätigt das Ergebnis.

Kreissegmente treten auf bei Füllstandsberechnungen in zylindrischen Tanks und Rohren, beim Berechnen von Fensterflächen über Rundbögen und bei der Ermittlung der überfluteten Querschnittsfläche in offenen Kreisgerinnen.

Ja, aus Sehne s und Pfeilhöhe h lassen sich Radius und Winkel eindeutig rekonstruieren. Der Radius ergibt sich aus r = (s² + 4h²) ÷ (8h). Bei einer Sehne von 14,142 cm und einer Pfeilhöhe von 2,929 cm ergibt das r = (200 + 34,3) ÷ 23,43 ≈ 10 cm.

Der Mittelpunktswinkel folgt dann über α = 2 × arcsin(s ÷ (2r)).

Diese Rückrechnung ist in der Praxis häufiger als die Vorwärtsrechnung, denn an einem bestehenden Bauwerk misst man Sehne und Stich direkt mit dem Maßband und Lot, während Radius und Mittelpunkt oft nicht zugänglich sind.

Der Rechner bietet dafür den Modus Aus Sehne, in dem du s und h eingibst und alle anderen Größen automatisch erhältst.

Typische Anwendungen sind die Vermessung historischer Gewölbe, die Bestimmung der Krümmung von Eisenbahnschienen und die Nachkonstruktion beschädigter Rundbögen in der Denkmalpflege.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt — wie ein Tortenstück.

Das Kreissegment wird dagegen nur vom Bogen und der Sehne begrenzt — es ist der Bereich zwischen Sehne und Bogen ohne den Dreieckskern zum Mittelpunkt.

Die Sektorfläche berechnet sich mit A_Sektor = r² × α ÷ 2, die Segmentfläche mit A_Segment = r² ÷ 2 × (α − sin α). Die Differenz ist das Dreieck mit den beiden Radien als Schenkeln: A_Dreieck = r² ÷ 2 × sin α.

Bei r = 10 cm und 90° ergeben sich A_Sektor ≈ 78,54 cm², A_Dreieck = 50 cm² und A_Segment ≈ 28,54 cm². Bei kleinen Winkeln nähert sich das Segment null, weil Sehne und Bogen fast aufeinanderliegen.

Bei 180° hat das Dreieck die Fläche null (die Sehne ist der Durchmesser), sodass Sektor und Segment identisch werden — beide sind dann ein Halbkreis mit A = πr² ÷ 2 ≈ 157,08 cm².

Die Umrechnung lautet: Bogenmaß = Grad × π ÷ 180. Umgekehrt: Grad = Bogenmaß × 180 ÷ π. Wichtige Referenzwerte: 90° = π ÷ 2 ≈ 1,5708 rad, 180° = π ≈ 3,1416 rad, 360° = 2π ≈ 6,2832 rad, 1 rad ≈ 57,296°.

Die Formeln für Bogenlänge und Fläche setzen den Winkel stets im Bogenmaß voraus. Ein häufiger Fehler ist, den Winkel in Grad direkt in die Formel b = r × α einzusetzen — bei 90° käme dann 900 cm statt der korrekten 15,708 cm heraus.

Der Rechner nimmt die Eingabe in Grad entgegen und wandelt intern um, sodass dieser Fehler dort nicht passieren kann.

Wer von Hand rechnet, sollte zuerst umrechnen und das Ergebnis auf Plausibilität prüfen: Die Bogenlänge eines Viertelkreises liegt bei etwa 1,57 × r.

Für Kreise mit Radius 1 sind Bogenmaß und Bogenlänge identisch — das ist der geometrische Ursprung des Bogenmaßes als Einheit.

Die Bogenlänge begegnet dir in vielen technischen und handwerklichen Bereichen.

Im Straßenbau bestimmt sie die tatsächliche Fahrbahnlänge in Kurven — eine Autobahnkurve mit Radius 500 m und Richtungsänderung 60° ergibt eine Kurvenlänge von 500 × 1,047 ≈ 524 m.

In der Metallverarbeitung gibt die Bogenlänge die Abwicklung beim Biegen von Rohren und Blechen an: Aus einem geraden Blechstreifen von 15,7 cm Länge wird bei Radius 10 cm ein Viertelkreisbogen.

Auch im Sport ist sie relevant: Ein 400-m-Leichtathletik-Oval hat Kurvenradien von 36,5 m, und die Bogenlänge jeder Halbkreiskurve beträgt π × 36,5 ≈ 114,67 m.

In der Kartografie beruht die Entfernungsmessung auf Großkreisbögen — die Bogenlänge auf der Erdkugel ergibt die kürzeste Flugstrecke zwischen zwei Punkten.

Selbst beim Pizzabacken hilft die Formel: Der Krustenrand eines Viertelstücks einer 30-cm-Pizza ist π × 15 ÷ 4 ≈ 11,8 cm lang.