Bogenlänge berechnen: Kreisbogen, Sehne und Sektorfläche

Die Bogenlänge b ergibt sich aus der Formel b = r × α, wobei α der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist.

Für einen Kreis mit Radius 10 und einem Mittelpunktswinkel von 90° liefert das b = 10 × 1,5708 ≈ 15,708 – exakt der Startwert im Modus „Aus Winkel“ dieses Rechners.

Wichtig ist, dass nur ein Winkel im Bogenmaß eingesetzt werden darf: Grad-Werte müssen vorher mit π ÷ 180 multipliziert werden, sonst entsteht ein falsches Vielfaches.

Nutze als Kontrolle die Faustregel, dass ein Vollkreis (360°) die Bogenlänge 2πr besitzt, ein Halbkreis πr und ein Viertelkreis π·r/2.

Trägst du Radius und Winkel in Grad in den Rechner ein, erledigt er die Umrechnung automatisch und zeigt zusätzlich Sehne, Pfeilhöhe, Sektor- und Segmentfläche in einem Schritt.

Bogenmaß = Grad × π ÷ 180, umgekehrt gilt Grad = Bogenmaß × 180 ÷ π. Diese Umrechnung ist unabhängig vom Radius und wird für jede Bogenlängenformel benötigt, weil b = r × α nur mit α in Radiant korrekt rechnet.

Referenzwerte: 90° = π/2 ≈ 1,5708 rad, 180° = π ≈ 3,1416 rad, 270° = 3π/2 ≈ 4,7124 rad, 360° = 2π ≈ 6,2832 rad, und 1 Radiant entspricht rund 57,2958°.

Ein häufiger Fehler ist, den Wert in Grad direkt in eine Bogenmaß-Formel einzusetzen – bei 90° käme dann 900 statt 15,708 heraus, wenn r = 10 gilt.

Der Bogenlänge-Rechner nimmt die Eingabe wahlweise in Grad entgegen und wandelt intern um, sodass diese Verwechslung dort ausgeschlossen ist; die vollständige Umrechnungstabelle findest du im Referenzblock dieser Seite.

Ein Kreissektor – auch Kreisausschnitt genannt – wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt, wie ein Tortenstück, während ein Kreissegment nur von der Sehne und dem Bogen eingeschlossen wird, also der Bereich ohne das Dreieck zum Mittelpunkt.

Bei Radius 10 und 90° beträgt die Sektorfläche (r² × α ÷ 2) genau 78,5398, die Segmentfläche (r²/2 × (α − sin α)) dagegen nur 28,5398. Die Differenz von 50 entspricht exakt dem eingeschlossenen Dreieck aus zwei Radien und der Sehne.

Bei 180° werden Sektor und Segment gleich groß (jeweils 157,0796), weil das Dreieck dort keine Fläche mehr hat – die Sehne ist dann der Durchmesser.

Achte darauf, welchen Begriff eine Aufgabenstellung nennt: „Ausschnitt“ oder „Sektor“ meint immer die größere Fläche inklusive der beiden Radien, „Segment“ nur den Abschnitt zwischen Sehne und Bogenrand.

Ohne bekannten Winkel führen zwei Wege zum Ziel: Ist die Bogenlänge bereits gemessen, liefert α = b ÷ r den Winkel direkt – bei r = 10 und b = 25 ergibt das α = 2,5 rad ≈ 143,24°.

Ist stattdessen nur die Sehne und die Pfeilhöhe (der Abstand von Sehnenmitte zum Bogenscheitel) bekannt, rekonstruiert der Rechner zunächst den Radius über r = (s² ÷ (4h) + h) ÷ 2 und daraus den Winkel.

Für s = 14 und h = 3 ergibt das r ≈ 9,6667 und eine Bogenlänge von 15,6558.

Dieser zweite Weg ist in der Praxis oft der einzig mögliche, weil an einem bestehenden Bauwerk nur die gerade Sehne und der Stich mit dem Maßband messbar sind, während Mittelpunkt und Winkel nicht zugänglich sind.

Beide Modi sind im Rechner als „Aus Bogenlänge“ und „Aus Sehne + Pfeilhöhe“ hinterlegt.

Der Radius folgt aus r = (s² ÷ (4h) + h) ÷ 2, wobei s die Sehne und h die Pfeilhöhe (Stich) ist.

Für eine Sehne von 20 m und eine Pfeilhöhe von nur 0,5 m ergibt das einen Radius von rund 100,25 m – ein typischer Wert für einen flachen Gleis- oder Straßenbogen.

Genau dieses Verfahren nutzt die Vermessung: Ein Kurvenradius lässt sich oft nicht direkt am Mittelpunkt messen, wohl aber die Sehne zwischen zwei Punkten und der seitliche Abstand zur Bogenmitte.

Aus Radius und Sehne berechnet der Rechner anschließend automatisch den zugehörigen Mittelpunktswinkel (hier nur 11,4496°) und die Bogenlänge (20,0333 m).

Je kleiner die Pfeilhöhe im Verhältnis zur Sehne ausfällt, desto größer und flacher wird der rekonstruierte Radius – bei h nahe null entsteht rechnerisch ein nahezu gerader Bogen.

Der Mittelpunktswinkel ergibt sich durch Umstellen der Grundformel zu α = b ÷ r, wobei das Ergebnis zunächst im Bogenmaß vorliegt und für die Gradanzeige noch mit 180 ÷ π multipliziert wird.

Bei einem Radius von 10 und einer gemessenen Bogenlänge von 25 folgt α = 2,5 rad, also rund 143,2394°.

Zur Kontrolle: Die zugehörige Sehne beträgt dann 18,9797 und die Pfeilhöhe 6,8468 – beide Werte lassen sich unabhängig nachrechnen, weil ein Winkel über 143° bereits deutlich größer als ein rechter Winkel ist und die Sehne entsprechend länger ausfällt als bei 90°.

Dieser Rechenweg ist immer dann gefragt, wenn die Bogenlänge direkt vor Ort mit einem Maßband oder Messrad ermittelt wurde, der Öffnungswinkel selbst aber nicht messbar ist, etwa bei einer bereits verlegten Rohrschelle oder einem fertigen Rundbogen.

Die Pfeilhöhe h, auch Sagitta oder Stich genannt, ist der senkrechte Abstand zwischen der Mitte der Sehne und dem höchsten Punkt des Bogens; sie berechnet sich mit h = r × (1 − cos(α ÷ 2)).

Bei Radius 10 und 90° ergibt das h = 10 × (1 − cos 45°) ≈ 2,9289. Die Pfeilhöhe wächst nicht gleichmäßig mit dem Winkel: Bei 30° beträgt sie nur rund 0,34, bei 180° erreicht sie exakt den Radius (hier also 10), weil der Bogen dann zum Halbkreis wird.

In der Praxis ist die Pfeilhöhe zentral für den Brückenbau, wo sie die lichte Durchfahrtshöhe unter einem Bogen bestimmt, und für die Denkmalpflege, wenn Sehne und Stich eines historischen Gewölbes vor Ort gemessen werden, um daraus Radius und Winkel zu rekonstruieren.

Nur bei sehr kleinen Winkeln nahe 0° wird die Pfeilhöhe praktisch vernachlässigbar.

Die Sehne s ist die gerade Verbindungslinie der beiden Endpunkte eines Kreisbogens und berechnet sich mit s = 2r × sin(α ÷ 2).

Bei Radius 10 und 90° ergibt das s = 20 × sin 45° ≈ 14,1421, während die Bogenlänge mit 15,708 spürbar länger ausfällt, weil sie dem gekrümmten Weg entlang des Kreisrandes folgt.

Die Sehne ist niemals länger als die Bogenlänge – ein Ergebnis, bei dem die Sehne größer ist als die Bogenlänge, zeigt immer einen Eingabefehler an.

Bei 180° wird die Sehne zum Durchmesser (2r, hier also 20), während die Bogenlänge dann πr ≈ 31,4159 beträgt.

In der Vermessung entspricht die Sehne der Luftlinie zwischen zwei Punkten, etwa bei einer GPS-Messung, während die tatsächlich zurückgelegte Strecke auf einer gekrümmten Straße oder Schiene der Bogenlänge entspricht – der Unterschied wird als „Umweg“ einer Kurve bezeichnet.

Kreisbogenberechnungen bestimmen im Straßen- und Gleisbau die tatsächliche Fahrbahn- oder Schienenlänge in Kurven: Eine Autobahnkurve mit Radius 500 m und einer Richtungsänderung von 60° hat eine Bogenlänge von 500 × 1,0472 ≈ 523,60 m, deutlich mehr als die Sehne von genau 500 m.

Auf der Aschenbahn im Leichtathletikstadion beträgt der Kurvenradius rund 36,5 m, sodass jede Halbkreiskurve (180°) eine Bogenlänge von π × 36,5 ≈ 114,67 m ergibt.

Im Handwerk liefert die Bogenlängenberechnung die Zuschnittlänge für gebogene Leisten, etwa bei einem Bogenfenster mit Radius 60 cm und 120° Öffnungswinkel (Bogenlänge ≈ 125,66 cm, Segmentfläche für die Verglasung ≈ 2.211 cm²).

Auch bei Rundbögen in der Architektur, bei CNC-gefrästen Rundungen und bei der Rekonstruktion von Gleisbogenradien aus Sehne und Pfeilhöhe kommt derselbe Formelsatz zum Einsatz.

Rechne zuerst den Mittelpunktswinkel: 360° ÷ 5 = 72°. Ohne Winkelmesser nutzt du stattdessen die Zirkelöffnung, also den Abstand zweier benachbarter Teilpunkte auf der Kreislinie: s = 2r × sin(180° ÷ 5).

Bei einem Radius von 10 cm liefert der Modus „Kreis in n gleiche Teile teilen“ eine Sehne von 11,7557 cm, gerundet 11,76 cm.

Zeichne den Kreis, setze die Zirkelnadel auf einen Punkt der Kreislinie, stelle die Öffnung auf 11,76 cm und schlage von dort aus nacheinander Markierungen auf die Linie. Nach fünf Schritten kommst du wieder am Ausgangspunkt an.

Trifft der letzte Punkt nicht genau, hat sich die Öffnung verstellt oder die Rundung wirkt sich aus: Korrigiere die Öffnung in kleinen Schritten und beginne neu.

Je Teil beträgt die Bogenlänge 12,5664 cm und die Sektorfläche 62,8319 cm²; fünf Teile ergeben zusammen die Kreisfläche von 314,16 cm².