Erdkrümmung Rechner: Horizont, Absenkung und verdeckte Höhe

Auf 100 Kilometern liegt die Erdoberfläche 784,8 Meter unter einer waagerechten Linie, mit der Refraktionsannahme k = 0,13 sind es 682,8 Meter.

Zum Nachrechnen trägst du 100 km Entfernung sowie 0 m Augenhöhe und 0 m Höhe des Ziels ein; die Zeile „Absenkung der Erdoberfläche auf dieser Entfernung“ zeigt den Wert. Verwechsle ihn nicht mit dem, was dir die Krümmung tatsächlich verdeckt.

Stehst du mit 1,7 Metern Augenhöhe am Ufer, liegt dein Horizont bereits 4,65 Kilometer entfernt, und ein Ziel in 100 Kilometern wird nur bis 713,45 Meter Höhe verdeckt.

Ein Berg von 1.000 Metern Höhe ragt dort also noch heraus, ein Windrad von 150 Metern nicht. Stelle für deine eigene Lage Augenhöhe und Zielhöhe ein, statt nur die 784,8 Meter zu zitieren, denn diese Zahl gilt für Sicht ohne Beobachterhöhe.

Mit k = 0,13 verdeckt die Krümmung in diesem Fall nur 616,34 Meter, ein Unterschied von knapp 100 Metern, den du ohne Refraktionsannahme gar nicht sehen würdest.

Pro Kilometer gibt es keinen festen Wert, denn die Absenkung wächst mit dem Quadrat der Entfernung.

Die Faustregel lautet 7,85 Zentimeter mal Entfernung in Kilometern zum Quadrat; im angloamerikanischen Raum kennt man sie als acht Zoll je Meile zum Quadrat.

Die Tabelle im Rechner zeigt es: Bei 1 km sind es 7,85 cm, bei 2 km 31,39 cm, bei 5 km 1,96 m und bei 10 km 7,85 m. Verdoppelst du die Strecke von 5 auf 10 km, vervierfacht sich der Wert.

Zwischen 9 und 10 km sinkt der Boden dadurch von 6,36 auf 7,85 Meter, also um fast anderthalb Meter in nur einem Kilometer. Mit Refraktion gelten rund 13 Prozent weniger, bei 1 km also 6,83 Zentimeter.

Wer „pro Kilometer“ sucht, meint meist seine konkrete Strecke: Trage sie ein und lies die Absenkung direkt ab. Auf 20 km summiert sie sich bereits auf 31,39 Meter.

Die Entfernung zum Horizont hängt nur von deiner Augenhöhe ab.

Auf einem Hochsitz oder einer Leiter in 3 Metern Höhe siehst du 6,18 Kilometer weit, auf einer Brücke oder einem Schiffsdeck in 10 Metern 11,29 Kilometer, aus 30 Metern 19,55 Kilometer und aus 100 Metern Höhe 35,70 Kilometer.

Mit der Annahme k = 0,13 kommen jeweils etwa sieben Prozent dazu, aus 10 Metern sind es dann 12,10 Kilometer. Das ist die Entfernung bis zu dem Punkt, an dem der Boden gerade noch sichtbar ist.

Ein hohes Ziel siehst du deutlich weiter, weil du seinen oberen Teil auch hinter dem Horizont noch erkennst; dafür liefert der Rechner die größte Sichtweite zur Zielspitze.

Die Horizontentfernung selbst ändert sich nicht, wenn du Entfernung oder Zielhöhe variierst. Trage zuerst deine Augenhöhe ein und lies sie ab.

Wer an der Küste Schiffe beobachtet, nimmt dafür die Höhe der Augen über dem Wasser, nicht die der Düne, auf der er steht.

Ein Ziel bleibt sichtbar, solange die Entfernung kleiner ist als die Summe beider Horizonte, also deiner Augenhöhe und der Zielhöhe. Die Zeile „Größte Sichtweite zur Zielspitze“ rechnet das aus.

Ein 60 Meter hoher Turm ist bei 1,7 Metern Augenhöhe bis 32,30 Kilometer zu sehen, mit k = 0,13 bis 34,63 Kilometer. Bei 32 Kilometern ragen ohne Refraktion nur noch 1,31 Meter der Spitze heraus, 58,69 Meter verdeckt die Krümmung.

Das ist die geometrische Obergrenze. Bei einem Leuchtfeuer kommt hinzu, dass sein Licht nur so weit trägt, wie Lichtstärke und Luftklarheit es zulassen; weit sichtbar ist es also nur, wenn beides passt.

Prüfe deshalb zuerst die Geometrie im Rechner und gleiche das Ergebnis dann mit den Angaben der Seekarte ab, bevor du eine Peilung oder Ankunftszeit darauf stützt.

Rückt das Schiff auf 25 Kilometer heran, zeigt derselbe Turm schon 27,51 von 60 Metern.

Die Zeile „Nötige Augenhöhe für freie Sicht auf die Spitze“ beantwortet genau das. Beispiel: Ein Ziel von 30 Metern Höhe liegt 25 Kilometer entfernt. Vom Strand mit 1,7 Metern Augenhöhe siehst du es nicht, denn die Krümmung verdeckt 32,49 Meter.

Der Rechner nennt 2,33 Meter als Mindesthöhe; schon eine Leiter oder ein Dünenkamm bringt die Spitze ins Bild. Mit k = 0,13 genügen sogar 1,11 Meter, und vom Strand aus ragen dann 2,66 Meter heraus.

Plane den Wert aber nicht auf Kante: Wellen, Dunst und Gelände zwischen dir und dem Ziel nehmen Höhe weg, deshalb solltest du ein bis zwei Meter Reserve einrechnen.

Steht dein Ziel selbst nur knapp über dem Horizont, wirkt eine kleine Änderung der Augenhöhe stark: Probiere im Rechner verschiedene Werte durch, bis „Sichtbare Höhe des Ziels“ deutlich über null liegt.

Die Zeile hilft auch umgekehrt: Wer einen Aussichtspunkt sucht, wählt eine Stelle oberhalb des angezeigten Werts.

Refraktion heißt, dass sich Licht in der Atmosphäre leicht zur Erde hin krümmt, weil die Luft unten dichter ist.

Das Modell fasst das im Refraktionskoeffizienten k zusammen; im Mittel gilt k = 0,13, und der Rechner ersetzt dafür den Erdradius durch R ÷ (1 − k).

Folge: Der Horizont rückt bei 1,7 Metern Augenhöhe von 4,65 auf 4,99 Kilometer, und die Absenkung auf 100 Kilometern sinkt von 784,8 auf 682,8 Meter. Der Mittelwert ist aber keine Garantie.

Nach Angaben zur terrestrischen Refraktion schwankt k zwischen −4 und 15, negative Werte treten über heißen, spiegelnden Flächen auf. Über kaltem Wasser kann die Brechung stärker ausfallen.

Rechne deshalb zuerst ohne Refraktion und betrachte die Variante mit k = 0,13 als möglichen Zugewinn, nicht als Zusage für den Tag, an dem du beobachtest.

Die Annahme wirkt wie eine um 13 Prozent schwächere Krümmung; k = 0 entspricht der Auswahl „Ohne Refraktion“.

Die Abweichungen haben vier Ursachen. Erstens meinen Rechner mit „Erdkrümmung“ Verschiedenes: die Absenkung unter einer Waagerechten oder die verdeckte Höhe hinter dem Horizont.

Bei 100 Kilometern sind das 784,8 Meter, mit 1,7 Metern Augenhöhe 713,45 Meter. Zweitens setzen manche die Refraktion an, andere nicht; mit k = 0,13 werden daraus 616,34 Meter.

Drittens verwenden Seiten verschiedene Erdradien, etwa 6.371 oder 6.378 Kilometer, was nur wenige Promille ausmacht. Viertens nutzen einige die Näherung 3,57 · √h für den Horizont, andere die genauere Wurzel mit h².

Dieser Rechner nimmt den IUGG-Radius 6.371,0088 Kilometer, schaltet die Refraktion getrennt zu und zeigt den Rechenweg, sodass du Unterschiede Schritt für Schritt nachvollziehen kannst.

Kläre bei jedem Vergleich zuerst, welche Größe die andere Seite überhaupt meint, und notiere Radius, Refraktion und Bezugshöhe. Prüfe außerdem, ob die Seite Kilometer oder Seemeilen verwendet. Erst dann ist ein Vergleich der Zahlen sinnvoll.

Je höher du stehst, desto weiter reicht der Horizont. Von der Zugspitze in 2.962 Metern Höhe sind es 194,30 Kilometer, mit k = 0,13 etwa 208,30 Kilometer.

Vom Gipfel eines 8.849 Meter hohen Berges liegt der Horizont 335,91 Kilometer entfernt, aus einem Flugzeug in 12.000 Metern Höhe 391,21 Kilometer, mit Refraktion 419,40 Kilometer. Diese Zahlen gelten für eine glatte Kugel auf Meeresniveau.

Im Gebirge begrenzen Täler, Wolken und Dunst die Sicht lange vor dem geometrischen Horizont, und der Eingabebereich endet bei 500 Kilometern Entfernung.

Setze für einen Gipfel die Höhe über Meer als Augenhöhe, wenn das Ziel am Meer liegt, und prüfe mit der Horizonttabelle unter dem Rechner, ob dein Ergebnis in der richtigen Größenordnung liegt, bevor du eine Planung darauf aufbaust.

Beispiel: Vom Strand mit 1,7 Metern Augenhöhe ist ein Gipfel von 2.962 Metern in 150 Kilometern Entfernung noch auf 1.304,07 Metern zu sehen, 1.657,93 Meter verdeckt die Krümmung.